追及与相遇问题知识详解及典型例题Word文件下载.docx
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养成根据题意画出物体运动示意图的习惯。
特别对较复杂的运动，画出草图可使运动过程直观，物理图景清晰，便于分析研究。
2分析研究对象的运动过程，搞清整个运动过程按运动性质的转换可分为哪几个运动阶段，各个阶段遵循什么规律，各个阶段间存在什么联系。
特别是，若被追赶的物体做匀减速运动，一定要注意追上前该物体是否停止运动
3仔细审题，注意抓住题目中的关键字眼，充分挖掘题目中的隐合条件，如“刚好”、“恰巧”、“最多”、“至少”等。
往往对应一个临界状态，由此找出满足相应的临界条件。
还要注意：
由于公式较多，且公式间有相互联系，因此，题目常可一题多解。
解题时要思路开阔，联想比较，筛选最简捷的解题方案。
解题时除采用常规的公式解析法外，图象法、比例法、极值法、逆向转换法（如将一匀减速直线运动视为反向的匀加速直线运动）等也是解题中常用的方法。
【典型例题】
［例1］火车以速度V1向前行驶。
司机忽然发现，在前方同一轨道上距车为S处有另一辆火车，它沿相同的方向以较小的速度V2作匀速运动，于是他立即使车作匀减速运动，加速度大小为a，要使两车不致相撞，则a应满足的关系式为
分析：
司机使火车作匀减速运动，当后面的火车与前方火车时的速度相等时，两车再也不能接近了，也就是后面的火车与前面火车的速度相等时，后面火车的位移与前面火车的位移之差要小于S时，两车才不致相撞，本题解法中有四种。
解法一：
当两车速度相等时，两车没有相撞，以后再也不会相撞，前车减速的时间为t,则
解法二：
以前车为参照系，后车的速度为■-1'
1'
，当后车的速度减为零时,
其位移小于S,两车不会相撞，即
解法三：
作出两车运动的速度一时间图像如图所示，由图像可知：
在两图像相交前与时间轴所围面积之差（即图中阴影部分）小于S时，两车不会相撞。
解法四：
后车的位移为'
'
前车的位移为=,要使两车不相撞,
r、at
S1-S2=（V1-V2）/--<
s
+s>
IJ-I
说明此二次函数无解，即
以上四种解法中，以第二种解法最简捷
［例2］甲、乙两车相距S,同时同向运动，乙在前面做加速度为ai、初速度为零的匀加速运动，甲在后面做加速度为32、初速度为V。
的匀加速运动，试讨论两车在运动过程中相遇次数与加速度的关系。
解析：
由于两车同时同向运动，故有V甲=v0+a2t，V乙=ait
1当a1<
a2时，aιt<
a2t,可得两车在运动过程中始终有V甲>
V乙，由于原来甲在后，乙在前，所以甲、乙两车的距离在不断缩短，经过一段时间后甲车必然超过乙车，且甲超过乙后相距越来越大，因此甲、乙两车只能相遇一次；
②当31=32
时，aιt=a2t,可得V甲>
v乙，因此甲、乙两车也只能相遇一次：
③当a1>
a2时，3ιt>
32t，V甲和V乙的大小关系会随着运动时间的增加而发生变化，刚开始，3it
和a2t相差不大且甲有初速V。
，所以，V甲>
v乙，随着时间的推移，ait和a2t相差越来越大；
当ait—a2t=v0时，V甲=V乙，接下来ait—a2t>
V0，则有V甲VV乙，若在V甲=V乙之前，甲车还没有超过乙车，随后由于V甲VV乙，甲车就没有机会超过乙车，即两车不相遇；
若在V甲=V乙时，两车刚好相遇，随后V甲=V乙，甲车又要落后乙车，这样两车只能相遇一次；
若在V甲=V乙前甲车己超过乙车，即已相遇过一次，随后由于V甲VV乙，甲、乙距离又缩短，直到乙车反超甲车时，再相遇一次，别两车能相遇两次。
↑↑
22
由于X甲=vot+1a2t,X乙=[ait,
相遇时有X甲一X乙=X,
]1↑
则：
vot+[a2t2—[ad2=x,]（ai—a2）t2—vot+X=O
%±
尼「2S严』jr
所以t=①
a2时，①式t只有一个正解，别相遇一次。
]1
2当a1=a2时，X甲一X乙=Vot十[a2t2—[aιt2=vot=x，
X
所以t=「，t只有一个解，则相遇一次。
3当ai>
a2时，若打<
2（ai—a2）X,①式无解，即不相遇,
若[∣=2（ai—a2）X,①式t只有一个解，即相遇一次。
若打>
2（ai—a2）X,①式t有两个正解，即相遇两次。
利用v—t图象求解,
①当a1<
a2时，甲、乙两车的运动图线分别为如右上图中：
的I和U,其中划斜线部分的面积表示t时间内甲车比乙车多发生的位移，若此面积为S,则t时刻甲车追上乙车而相遇，以后在相等时间内甲车发生的位移都比乙车多，所以只能相遇一次。
2当a1<
a2时，甲、乙两车的运动图线分别为如上左图中的I和U，讨论方法同①，所以两车也只能相遇一次
3当a1=a2时，甲、乙两车的运动图线分别为如上右图中的I和U,其中划实斜线部分的面积表示甲车比乙车多发生的位移。
若划实斜线部分面积小于S,则
不能相遇；
若划实斜线部分面积等于S,说明甲车刚追上乙车又被反超，则相遇一次；
若划实斜线部分的面积大于S,如图中0-tι内划实斜线部分的面积为S,说明tι时刻甲车追上乙车，以后在ti—t时间内，甲车超前乙车的位移为ti—t时间内划实斜线部分的面积，随后在t-t2时间内，乙车比甲车多发生划虚线部分的面积，如果两者相等，则t2时刻乙车反超甲车，故两车先后相遇两次。
【模拟试题】
1.甲、乙两物体由同一位置出发沿同一直线运动，其速度图象由图所示，下列说法正确的是（）
A.甲做匀速直线运动，乙做匀变速直线运动
B.两物体两次相遇的时刻分别为2S末和6S末
C.乙在前4S内的平均速度等于甲的速度
D.
2S后甲、乙两物体的速度方向相反
2.在足够长的平直公路上，一辆汽车以加速度a启动时，有一辆匀速前进的自行车以速度Vo从旁边经过，则以下说法正确的是（）
A.汽车追不上自行车，因为汽车启动时速度小
B.以汽车为参考系，自行车时向前匀速运动的
C.汽车与自行车之间的距离开始是不断增加的，直到两车速度相等，然后距离减小，直到两车相遇
D.汽车追上自行车的时间是L:
'
3.
甲乙丙三辆汽车以相同的速度同时经过某一个路标，从此开始甲车一直匀速运动，乙车先加速后减速，丙车先减速后加速，它们经过下一个路标时速度又相等，则（）
4.两辆完全相同的汽车，沿水平直路一前一后匀速行驶，速度均为Vo,若前车
突然以恒定的加速度刹车，在它刚停住时，后车以前车刹车的加速度开始刹车。
已知前车在刹车过程中所行驶的距离为S,若要保证两辆车在上述情况中不相
撞，则两车在匀速行驶时保持的距离至少应为（）
A.1sB.2sC.3sD.4s
5.汽车A在红绿灯前停住，绿灯亮起时起动，以0.4m/s2的加速度做匀加速运
动，经过30S后以该时刻的速度做匀速直线运动.设在绿灯亮的同时，汽车B以8m/s的速度从A车旁边驶过，且一直以相同的速度做匀速直线运动，运动方向与A车相同，则从绿灯亮时开始（）
A.A车在加速过程中与B车相遇
B.A、B相遇时速度相同
C.相遇时A车做匀速运动
D.两车不可能再次相遇
6.同一直线上的A、B两质点，相距S,它们向同一方向沿直线运动（相遇时互不影响各自的运动），A做速度为V的匀速直线运动，B从此时刻起做加速度为
a、初速度为零的匀加速直线运动。
若A在B前，两者可相遇,若B在
A前，两者最多可相遇。
7.从相距30km的甲、乙两站每隔15min同时以30km/h的速率向对方开出一辆汽车。
若首班车为早晨5时发车，则6时从甲站开出的汽车在途中会遇到_辆从乙站开出的汽车。
8.一矿井深125m在井口每隔一段时间落下一个小球，当第11个小球刚从井
口开始下落时，第1个小球恰好到达井底，贝
（1）相邻两个小球下落的时间间隔是S;
（2）这时第3个小球与第5个小球相距（g取10m/s）
9.如图，某时刻A、B两物体相距7mA以4m/S的速度向右做匀速直线运动，此时B的速度为10n/s，方向向右，在摩擦力作用下以2m/s2的加速度做匀减速运动。
从该时刻经多长时间A追上B?
地段，在肇事汽车的出事点B急刹车，恰好也在C点停下来，在事故现场测得
AB=17.5m、BC=14.0m、BD=2.6m。
问：
（1）该肇事汽车的初速度VA是多大？
（2）游客横过马路的速度是多大？
15.如图所示，长L=75cm的静止直筒中有一不计大小的小球，筒与球的总质量为4kg现对筒施加一竖直向下，大小为21N的恒力，使筒竖直向下运动，经t=0.5s时间，小球恰好跃出筒口。
求：
小球的质量。
（g=10m∕S2）
16.
如图所示，升降机以匀加速度a上升，当上升速度为V时，有一螺帽自升降机天花板上松落，已知天花板距升降机底面为hm求落至底面的时间。
17.杂技演员把三只球依次竖直向上抛出，形成连续的循环，在循环中，他每抛出一球后，再过一段与刚抛出的球在手中停留时间相等的时间，又接到下一个球，
这样，在总的循环过程中，便形成有时空中有3个球，有时空中有两个球，而演员手中则有一半时间内有球，有一半时间内没有球。
设每个球上升的高度为
2
1.25m,取LjF,求每个球每次在手中停留的时间是多少？
18.某升降机以1.6m∕s的速度匀速上升，机内一人自离升降机地板6.5m高处将一小球释放，球与底板间的碰撞无任何损失，则第一次反弹的最高点比释放点高
（或低）了多少？
19.将两小石块AB同时竖直上抛，A上升的最大高度比B的高出35m返回地面的时间比B迟2s。
（1）AB的初速度分别为多少?
（2）AB分别达到的高度最大值各为多少？
（二UTT）
20.甲、乙、丙三辆车行驶在平直公路上，车速分别为6m/s、8m/s、9m/s。
当
甲、乙、丙三车依次相距5m时，乙驾驶员发现甲车开始以1m∕s2的加速度做减速运动，于是乙也立即做减速运动，丙车亦同样处理。
如图所示。
直到三车都停下来时均未发生撞车事故。
求丙车减速运动的加速度至少应为多大？
【试题答案】
1.B2.C3.B4.B5.C6.1；
27.7辆8.0.5；
35m
9.8S10.150S
11.
（1）V0>
1-
（2）
<
V0<
:
H'
1
解析
:
两球相遇时位移之和等于
h。
即：
1gt+（Vot-
--gt2）=h
所以
h
t=C
1⅛
而B球上升的时间：
t1=二，B球在空中运动的总时间：
t2=二
h_⅛
（1）欲使两球在B球上升过程中相遇，则有
tVt1,即4<
L，所以Vo>
'
-τ
（2）欲使两球在B球下降过程中相遇，则有：
t1<
t<
t2
2⅞A⅛⅛
即二VV二所以：
_VVoV：
用
12.解析：
画出两车v—t图象如图所示，可知，在自行车追上汽车前，二者速度相同时，相距最大，为阴影三角形面积。
汕=⅛0-6）×
8≈16W
OV2
13.解：
（1）如图（甲）所示，其相对位移为
VI
偽≥-⅛即I-
（甲）
（2）如图（乙）所示，当两车间距较小，即一•['
时，两车不发生碰撞的条件是，其相对速度为0,即二者有共同速度r。
AL（D*s<
hz^L
因为心，所以；
：
由此可得摩托车的加速度为
（乙）
21
（3）如图（丙）所示，两车间距较大，即4,汽车经过时间一：
L先停下,t-VI
¾
-—
摩托车经时间:
后停下，这种情况下两车不发生碰撞的条件为二岂：
。
有
这时摩托车的加速度为
14.
（1）21m/S
（2）1.53m/S
15.解：
筒受到竖直向下的力作用后做竖直向下的匀加速运动，且加速度大于重力加速度；
而小球则是在筒内做自由落体运动，小球跃出筒口时，筒的位移比小球的位移多一个筒的长度。
设筒与小球的总质量为M小球的质量为m筒在重力及恒力的共同作用下竖直向下做初速为零的匀加速运动，设加速度为a；
小球做自由落体运动设在时间t内，筒与小球的位移分别为hi、h2（球可视为质点），如图所示。
又有：
丄-•■，代入数据解得匚二'
丁
又因为筒受到重力（M-mg和向下作用力F,据牛顿第二定律
Fi（M-Yn]g~{M-m}a
16.解：
选升降机为参考系，螺帽受重力作用，相对加速度大小为g+a,竖直向
下，相对运动可视为以g+a为加速度的自由落体，有"
1'
^'
；
所以为所求。
17.解：
设一个球每次在手中停留的时间为：
〕，则手中连续抛出两球之间的时间
间隔为7,而对于同一个球，它连续两次自手中抛出的时间间隔则为
■■■■'
IrHl：
io在这段时间内，此球有寸的时间停留在手中，则有AI的时间停留
A=-g（-⅛）j
在空中，根据竖直上抛运动的规律得：
I-j
代入数值得：
JiI=X匚;
•••球一次竖直上抛运动的时间匚，则它每次在手中停留时间为0.2So
18.解：
设从放球到球与底板相碰需要时间t,放球时，球与底板的距离为h，
12
—
升降机速度为：
，在此期间球下降距离J,升降机上升距离为二，如图所示,因此有
J12
h=-gt+vZ
1O
65≈-x9.⅛i+16/
代入数据得1
解之得「二（负根舍去）这时球相对于地面的速度为■:
一P「「矗厂-
而球相对于底板的速度..,1^■■■■'
■由题意知，球与底板碰撞前后速度大小不变，即球被弹回时，球相对于底板的速度应为11.4m∕so由于升降机质量较小球大得多，所以碰撞对升降机速度不影响，仍为：
向上，所以碰撞后小球相对于地面向上的速度
Va=Vl+v=13.OwsZf
由此可知球第一次上升的高度为
因而第一次回跳的最高点比释放点高出的距离为
19.解析：
设AB初速度分别为：
二者上升的最大高度分别为'
1、T,A
V=0,i=—
B上升到最高点所经历的时间依次为二、亠。
在最高点，^有
⅛二—筋二—
gg
,VI,V2
将两式代入-'
Ir得'
二，；
二
A1-Λ⅛=—_—=35^
由题意知'
J-匸
所以：
〔11
Vl≈Jj+-gmlS-40?
«
/s
Va=（70-40）w∕s=3⅛∕f
Aa=（⅛-35）Wi=45ffl
20.
解：
先研究两车行驶中的一种特殊临界状态，两车同时停下且刚好接触在一起。
则
∆s=⅛I=
21
2%
V22
（1）若丄「■,要使其同时停下则必然相碰。
即是说L仍要增大，二按DC线所示规律变化，在D处时二者相距最近，如图所示。
由题意知，
（1）
（2）如果I.-'
■L..，则二还可再小些，二者不同时停下，停止时相对位移为,如图中I■'
线那样变化。
備=
二式联立得
IJ'
./
（2）
∆s,=匕匕一—=6m>
∆pf
将题中数据代入可得■
由
（1）式得
=——+¾
=14λ√s2
2∆^f
心巧厂讥J如
乙、丙两车间距
2¾
1.4
=2"
河=1.4⅛√∕
由
（2）式得
Vj+2¾
∆5f
一道“追及和相遇问题”试题的思考和引申
A、B两列火车在同一轨道上同向行驶，A在前，速度为VA=10m∕s,B在后，速度为
VB=30m∕s,因大雾能见度低，B车在距A车500m时，才发现前方有A车，这时B车立即刹车，但要经过1800mB车才能停下，问：
（1）车若要仍按原速前进，两车是否相撞？
试说明理由。
（2）B在刹车的同时发出信号，A车司机在收到信号1.5s后加速前进，A车加速度为多
大时，才能避免事故发生？
（不计信号从A传到B的时间）
第一问的解法如下:
先求B车从刹车到停下来所需时间tB
由SB=∣vB∙tB得
2sB1800
tB=冇=2×
-3Ts=120s
SA=VA∙tB=10×
120m=1200m
最后比较sA+S0和SB的大小关系即可判断结果
由于SA+S0=（1200+500）m=1700m故sa+s°
vSB由位置关系图可知两车会相撞。
提问1:
通过上面的计算我们知道两车能相撞，试问它们何时相撞？
设B车刹车后经过时间t两车相遇，依题意有Sa+S0=SB
而SA=VA∙t,SB=VB∙t+2at2（其中a为B车刹车过程中的加速度，根据已知条
件很易求出a=-0.25m∕s2）,
将SA、sB的表达式代入上式解得
提冋2：
为什么有两个解？
t2是否有意义？
tι=31s，
t2=129s
答：
A、B两车相撞两次，第一次是B车追上A车，第二次是A车追上B车。
两
车只能相撞一次，故t2没有意义。
提问3：
B车追上A车时，哪车的速度大?
vA_vB
a
B车的速度大，因为B车从减速到和A车的速度相等所需的时间为:
提问4:
若A、B两车相遇但不会相撞，A车又追上B车时，B车的速度是多大？
从B
车开始减速到两车第二次相遇共需多少时间?
由于B车刹车后经过120s后就停下来，故129s时它的速度仍为零。
由于B车停止后不能往后倒，故第二次相遇所需时间为：
t2'
sBvAs0=%5°
°
s=130s。
这是一个实际问题，要注意解的合理性。
VA10
提问5：
若开始两车相距700m,试问两车是否会相撞？
由于SA+So=12OO+7OOm=19OOm,而se=1800m,即sa+So>
Sb,故两车不会相撞。
提问6：
若用第二种方法，即设B刹车后经过时间t两车相撞，方程是否有解呢？
由SA+S0=SB得
VA∙t+So=Vb∙t+-at
即10t+700=30t-0.125t
移项并整理得
t-160t+5600=0
该方程的判别式为
△=160-4×
5600=3200>
0,
故该方程有解，即相撞，并且有相遇两次的可能。
原来先是B超过A,后来A又超过B,
我们不能认为开始时A在B的前面，后来A仍在B的前面，就得出两车不相撞的结论。
由此可见用简单的位移关系是得不出正确结果的。
提问7:
试问：
若要使两车不相撞，开始时两车间的距离So至少为多少?
设两车经过时间t后相撞，由位置关系易得出：
VA∙t+So=VB∙t+-at
即10t+s°
=30t-0∙125t
t-160t+8so=0
要使两车不相撞，即要使该方程无解，即AvO
即1602-4×
8s0v0
故so>
800m,即开始时两车间的距离至少为800m。
提问&
若两车刚好能相撞，相撞时两车的速度有何关系？
应该刚好相等，刚开始时B车的速度比A车的速度大，两车之间的距离减
小，当两车的速度达到相等时，距离最小，之后两车之间的
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