版数学浙江省学业水平考试专题复习总结精美全解析必修13docWord下载.docx
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过定点
（0,1）,即当x=0吋，y=[
单调性
在R上是增函数
在R上是减函数
奇偶性
非奇非偶函数
知识点三对数的概念及对数的运算
1.定义
一般地，如果/=/V（d>
0，且qHI），那么数兀叫做以么为底#的对数.记作x=iogjv,d叫做対数的底数,N叫做真数.
2.特殊对数
'
常用对数：
以10为底数，记作IgN.
.自然对数:
以e为底数，记作InN,其中e'
=2.71828….
3.对数和指数的关系
当°
>
0,oHl,N>
0时，a'
=N0x=\o&
N・
4.对数的性质
（1）负数和0没有对数.
⑵log“1=0.
⑶log“a=l.
⑷a'
呱“=理.
（5）log^，v=M
5.对数的运算
如果a>
0,且aHl,M>
0,N>
0.那么：
（1）log“（M・N）=log“M+lo环.
M
（2）102诵=logJV/—lo亞M
（3）logX-«
log.Al（HeR）.
⑷log^X=~loguM.
6.对数的重要公式
（1）换底公式：
10汕='
器;
（Q,b均大于零且不等于1）；
（2）10&
0=计肪，推log^-log/,c-logtJ=log^.
知识点四对数函数及其性质
1.对数函数的定义
一般地，我们把函数y=12g必（Q0,且qHI）叫做对数函数，其中乂是自变量，函数的定义域
是（0,+8）.
2.对数函数的图象及其性质
i
«
<
l
y\
x=]
"
y=logux（6/>
1）
y
A=1
•
o
/[（LO）*
p
y=log/（（）<
/<
1）
性
质
（0,+~）
（1,0）,即当x=l时，y=0
函数值的
变化
当0<
xvl时，）V）,当Ql时，y>
当0<
xvl时，y>
0,当兀>
1时，
y<
在（0,+°
）上是增函数
）上是减函数
知识点五幕函数
1.幕函数的概念
一般地，函数日1叫做幕函数，其屮乂是自变量，G是常数.
2.强函数的图象与性质
幕函数
7
尸L
A"
1
y=x2
卡
半
Jk
[0,+°
皿H0}
环工0}
奇函数
偶函数
非奇非偶
在R上是壇
函数
在（一8,0）±
是减函数；
在[0,+8）上是增函数
在[0,+8）上是增函数
在（-OO,0）上是减函数；
在（0,4-00）上是减函数
公共点
（1,1）
题型一指数幕、对数运算
例1
（1）（2017年4月学考）计算:
Ig4+lg25等于（）
A.
B.3
2
C・4D・10
⑵（2018年4月学考）已知函数fix）=log2（3+x）4-log2（3~x）,则夬1）等于（）
A.1B.Iog26
C.3D.log29
答案
（1）A
（2）C
解析（l）lg4+lg25=lg（4X25）=lg100=2.
（2V
（1）=log2（3+1）+log2（3-1）=2+1=3.
感悟与点拨
（1）在指数幕运算中可先将根式化成分数指数幕，再按照指数幕的运算性质进行运算，但应注意：
①必须同底数幕相乘，指数才能相加；
②运算的先后顺序.
（2）在对数运算中，要灵活使用对数的运算性质、换底公式和对数恒等式对式子进行恒等变形，多个对数式要尽量化成同底的形式.
logx,x>
0,（1、
跟踪训练1⑴已知函数Xa-）=|3_.v+1兀wo则AAD）X10g32j的值是（）
A.5B.3
C.—1D.#
⑵己知函数./W则/（10g23）+（log彩）=•
答案
（1）A
（2）1
解析（l）Vyd）=log2l=0,
・・・灿））=/（0）=2.
Vlog3|<
0,
••』log3*）=3J込+1=3“加+1=2+1=3.
•'
•fifi1））+/1。
诒）=2+3=5.
13'
（2笊兀）+夬一劝=尹所+尹所=1,
1_2
又log4Q=log223=-10g23,
・\Alog23）+/log4*）=l・
题型二函数的图象与性质
例2函数./U）=log2（2x）的图象大致是（）
答案A
解析函数fix）=log2（2x）=1+log2x,可由>
=log2x的图象向上平移1个单位得到.y=log2*的图象过（1,0）点且在（0,+->
）上递增，其图象向上平移1个单位后，得到函数Xx）=log2（2x）,图象过点（*,0）且在定义域内单调递增.
感悟与点拨
（1）①幕函数解析式一定要设为y=xa（a为常数的形式）；
②可以借助幕函数的图象理解函数的对称性、单调性.
（2）与指数函数有关的函数的图象的研究，往往利用相应指数函数的图象，通过平移、轴对称变换得到其图象.
（3）对复合函数的性质进行讨论时，要搞清复合而成的两个函数，然后对两层函数分别进行研究，有时也可利用平移等方法，从原来标准函数入手分析.
（4）函数的单调性是函数最重要的性质，可以用来比较函数值的大小、解不等式等.
跟踪训练2⑴已知lgd+lgb=0,则函数fix）=c（x与函数g（x）=—log/A的图象可能是（）
⑵已知函数J（x）=（x-a）（x-bX其中a>
b）的图象如图所示，则函数gM=ax+b的大致图象为
（）
答案
（1）B
（2）C
解析
（1）Vlga+lgb=Of/.Ig（7/2=0,即ab=\.
A项,・.・ga）的定义域为{x|x>
0},...A错误;
B项，由图象知指数函数单调递增，
・・・。
1,此时g（x）单调递增，满足条件；
C项，由图象知指数函数单调递减，
^7<
1,此时g（兀）单调递减，不满足条件；
D项，由图象知指数函数单调递增，
1,此时g（x）单调递增，不满足条件.
故选B.
（2）由二次函数的图象易得一l<
b<
（）,a>
\,则函数g（x）=a+b单调递增，当x=0时，g（0）=/+b=b+lW（O,1）,即函数图象在y轴上的截距在（0,1）内，故选C.
题型三幕函数、指数函数、对数函数的单调性
例3（2016年10月学考）设函数7W=（|）,^（x）=（|）v,英屮e为自然对数的底数，贝"
）
a.对于任意实数%恒有
B.存在正实数刘使得/U（））>
gg））
C.对于任意实数x恒有/（兀）Wg（x）
D.存在正实数也使得/Uo）vg（xo）
答案D
解析苗唸討乱所以作函数.心）和巩兀）的草图如图所示，易知D正确•
感悟与点拨
（1）函数的性质主要是指函数的单调性、奇偶性、对称性和周期性.对指数、对数、幕函数来说就是单调性.
（2）要熟练掌握单调增函数（或减函数）的特征，充分利用数形结合进行求解.
跟踪训练3若log“（/+l）vlog“2x0（a>
0且gHI）,则实数g的収值范围是（）
A.（0,1）B（*‘1）
D.（l，+°
答案B
解析因为a2+1—2cz=（c/—1）2>
所以/+1>
2a.
由log//+1）vlog“2a知，Ovav1.又log«
2a<
0=log“1,所以2a>
1,解得a>
*.
综上所述，*SV1.故选B.
题型四指数函数、对数函数的综合应用
例4已知定义在R上的奇函数j（x）=a-y+3~xfd为常数.
⑴求a的值；
（2）用单调性定义证明几兀）在［0,+8）上是减函数；
⑶解不等式.心一1）+/（2兀+3）<
0.
（1）解・・・夬力是定义在R上的奇函数，
・・・./（0）=0,即。
+1=0,解得。
=一1,
经检验，符合题意.
（2）证明由
（1）知几丫）=一3”+3一"
，
设X|>
X2>
则心）一畑=3叼-3刁+3一州一3一七,
VX|>
X2^0,—Xj<
—%2»
・・・3勺<
3"
3一，3一七,
即3七_3州<
0,3一碑_3一乃<
・\A兀J-Z（兀2）=3七—3"
+3一无—3一七<
5）在［0,+8）上是减函数.
（3）解・・・/匕）是奇函数且在［0,+8）上单调递减，
・・・夬兀）在R上是减函数.
・・・心一1）+夬2兀+3）<
/./（2x+3）<
—Xx—1）=/1—x）,
.*.2x+3>
l—x,解得x>
—y即不等式的解集为（一彳，+-）.
感悟与点拨解决指数函数、对数函数综合问题时，无论是讨论函数的性质，还是利用函数的性质，都要注意：
⑴要分清函数的底数是aW（0,l）,还是aW（l,+oo）；
（2）确定函数的定义域，无论研究函数的什么性质或利用函数的某个性质，都要在其定义域上进行；
（3）如果需将函数解析式变形，一定要保证其等价性，否则结论错误.
跟踪训练4己知函数夬兀）=1（壊/（3—or）.
⑴当xeio,2］时，函数沧）恒有意义，求实数。
的取值范围；
（2）是否存在这样的实数使得函数>
U）在区间［1,2］上为减函数，并且最大值为1?
如果存在,试求出g的值；
如果不存在，请说明理由.
解（l）Va>
0且aHl,
设心）=3—cu,
则心）=3—心为减函数,
当xe［0,21时，心:
）的最小值为3-26/,
又当%e［0,2］时，/U）恒有意义，
即当xE［0,2J时，3-ax>
0恒成立，
3
/•3—2a>
0,•'
•aV》
（2）假设存在实数a使几r）在［1,2］上为减函数,
则/（兀）的最大值为./
（1）=1o師（3—a）=1,
331
此时。
=刁7（x）=log33——兀，认2丿
当x=2时，7U）没有意义.
故不存在这样的实数G
使得函数/（兀）在区间［1,2］上为减函数，并且最大值为1.
一、选择题
1.（2017年4月学考）函数y=3°
的值域为（）
A.（0,+8）B.［1,+8）
C.（0,1］D.（0,3］
2.在同一直角坐标系屮，函数.心）=兀"
（兀$0）,g（x）=log*的图象可能是（）
解析根据函数/W="
t&
0）,g（x）=logM知函数图象为果函数的一部分和对数函数图象.A
选项没有幕函数图象，不符合；
B选项/U）=x"
（x$O）中«
＞1,而g（x）=lo%¥
（兀＞0）中o＜a＜l,不符合；
C选项/U）=x"
（x20）中（）＜。
＜1,而g（x）=log*（兀＞0）中。
＞1,不符合；
D选项两者都是OVdVl,符合，故选D.
3.设uE—1,1,3»
则使函数y=x^的定义域为R且为奇函数的所有a的值为（）
B.
A.1,3
C.—1,3
-1,1
D.一1丄3
解析・・•函数y=xa的定义域为R,
「•aH—1和*.
当a=l和3时，y=x1为奇函数，故选A.
4.下列函数中，既是偶函数又在区间（0,+-＞）上是单调增函数的是（）
A.y=\B.y=\x\—\
C.y=\gxD.
解析对于A,y=^为定义域上的奇函数，不满足题意；
对于B,y=W-1是定义域R上的偶函数，且在（0,+＜«
）上是单调增函数，满足题意;
对于C,y=\gx是非奇非偶的函数，不满足题意；
对于D,》，=（£
）闪是定义域上的偶函数，但在（0,+8）上是单调减函数，不满足题意.故选B.
B.（0,+8）
C-（0,4]
D.[4,+8）
答案c
解析令t=X1+2x—1,则/=（兀+1）2—2$—2,
又尸（分＞6
•••0V〉W4・
6.已知函数1，则方程./（兀）=0的实数解兀0为（）
[1十10g2“，X>
19
A.|,0B.-2,0
C.|D.0
解析当xWl时，/U）=3r-l=0,解得x=0；
当x>
l时，Xx）=l+log2x=0,解得兀=£
舍去.
故方程人兀）=0的实数解也为0.
7.下列不等式正确的是（）
B.log30.2<
3°
-2<
0.23
D.30>
2<
log30.2<
A.log30.2<
0.23<
-2
C.0.23<
解析log30.2<
log3l=0,
0.2°
=1,3o-2>
=1,/.log30.2<
30-2.
答案c解析方法一（特殊值法）取0=*,当x=2时，几2）=—1<
0,排除A,B；
当2时，人一2）=1>
0,排除D.故选C.
io.对于函数yu）=ig兀，定义域中任意兀2（兀1工兀2）有如下结论:
①/Ul+兀2）=/Ul）+加）；
®
AX\也）=/（兀1）+Ax2）；
上述结论中正确结论的序号有（）
A.①③B.②③C.②④D.①④
解析由运算律几丫1）+几丫2）=览兀1+lg兀2=览兀1兀2=几丫1兀2），所以①错误，②对;
因为几t）是定义域内的增函数，所以③正确；
1+亦,X|+兀2
（h丿=眩丁，
所以lg
咛？
lg时，所以④错误.故选B.
二、填空题
11.已知fix）=（m—m—1）•xnr~2n,~3是幕函数，且在（0,+°
）上是减函数，则实数加=答案2
解析由幕函数定义得m2—m—\=\9解得m=2或加=—1.当加=2时，J（x）=x~\在（0,+00）上是减函数；
当加=一1时，/（x）=x°
不符合题意.
••加=2.
12.在同一平而直角坐标系中，函数y=fix）的图象与〉=才的图象关于直线）=兀对称，函数
y=7W的图象与y=g（x）的图象关于y轴对称.若g伽）=—1,则m=.
答案4
解析由题意，得几y）=Inx.
由于函数y=Ax）的图象与y=g（x）的图象关于y轴对称，
可得g（x）=/（_x）=ln（_x）,g（/n）=_l,即ln（—/w）=—1,解得m=—e~i=—^.
c
13.已知点（m,a”）（nEN*）在函数y=e'
v的图象上,若满足Tn=\n«
j+lna2Inan>
k时n
的最小值为5,则R的取值范围是.
答案［10,15）
解析I点（n,WN*）在函数y=e”的图象上，
••cin=cl9••Incin=n^
%=lnai+ln©
Ind“=1+21）
又Tn>
k时〃的最小值为5,
:
・T0k<
T、,即10W£
15.
14.已知定义域为R的偶函数人兀）在［0,+8）上是增函数，且yQ）=0,则不等式Xlog^）>
的解集是.
答案」OVxV*或兀>
2-
•・
解析・・・/（兀）是偶函数，・\/（—£
h/Q）=o・
又・・・yy）在［0,+->
）上是增函数，
.fix）在（一8,0）上是减函数.
.*./（log4A）>
0,即10g^r>
*或10g我<
—£
解得x>
2或OVxV*.
三、解答题
15.已知函数/（x）=log/（Q>
0,JlaHl）.
（1）若a=3,（¥
）=—5,求兀的值；
⑵若求实数。
的取值范圉；
⑶若函数./U）在区间［d,2°
］上最大值是最小值的3倍，求d的值.
（i）^Tj=iog
=—5,
⑵①若°
i,则yu）在（o,+8）上是增函数,
A3a—\>
\,解得a>
l；
②若oSV1,则/U）在（0,+8）上是减函数,/.0<
3。
—\<
a,解得综上，d的取值范围是g,£
）u（l,+8）.
（3）由题意知，当Osvl时，10&
应=引0氐2。
，解得;
当q>
1时，10氐20=引0&
”，解得a=yf2.
16.
1-2V
已知定义域为R的函数几0=产京是奇函数.
⑴求。
的值；
⑵若对任意的炖R，不等式0恒成立，求实数k的取值范围.解
（1）・・VU）为定义域R上的奇函数，
解得a=2.经检验，符合题意.
⑵・・・几/2—2/）+夬2/2—灯<
在定义域内为单调递减函数.
.*.r—2/>
—2r+R,即3r—2t—k>
0恒成立.
.\k<
3r-2t对reR恒成立，
其中g（/）=3『一2/在乍R上的最小值为一壬，
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