版数学浙江省学业水平考试专题复习总结精美全解析必修13docWord下载.docx
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过定点
(0,1),即当x=0吋,y=[
单调性
在R上是增函数
在R上是减函数
奇偶性
非奇非偶函数
知识点三对数的概念及对数的运算
1.定义
一般地,如果/=/V(d>
0,且qHI),那么数兀叫做以么为底#的对数.记作x=iogjv,d叫做対数的底数,N叫做真数.
2.特殊对数
'
常用对数:
以10为底数,记作IgN.
.自然对数:
以e为底数,记作InN,其中e'
=2.71828….
3.对数和指数的关系
当°
>
0,oHl,N>
0时,a'
=N0x=\o&
N・
4.对数的性质
(1)负数和0没有对数.
⑵log“1=0.
⑶log“a=l.
⑷a'
呱“=理.
(5)log^,v=M
5.对数的运算
如果a>
0,且aHl,M>
0,N>
0.那么:
(1)log“(M・N)=log“M+lo环.
M
(2)102诵=logJV/—lo亞M
(3)logX-«
log.Al(HeR).
⑷log^X=~loguM.
6.对数的重要公式
(1)换底公式:
10汕='
器;
(Q,b均大于零且不等于1);
(2)10&
0=计肪,推log^-log/,c-logtJ=log^.
知识点四对数函数及其性质
1.对数函数的定义
一般地,我们把函数y=12g必(Q0,且qHI)叫做对数函数,其中乂是自变量,函数的定义域
是(0,+8).
2.对数函数的图象及其性质
i
«
<
l
y\
x=]
"
y=logux(6/>
1)
y
A=1
•
o
/[(LO)*
p
y=log/(()<
/<
1)
性
质
(0,+~)
(1,0),即当x=l时,y=0
函数值的
变化
当0<
xvl时,)V),当Ql时,y>
当0<
xvl时,y>
0,当兀>
1时,
y<
在(0,+°
)上是增函数
)上是减函数
知识点五幕函数
1.幕函数的概念
一般地,函数日1叫做幕函数,其屮乂是自变量,G是常数.
2.强函数的图象与性质
幕函数
7
尸L
A"
1
y=x2
卡
半
Jk
[0,+°
皿H0}
环工0}
奇函数
偶函数
非奇非偶
在R上是壇
函数
在(一8,0)±
是减函数;
在[0,+8)上是增函数
在[0,+8)上是增函数
在(-OO,0)上是减函数;
在(0,4-00)上是减函数
公共点
(1,1)
题型一指数幕、对数运算
例1
(1)(2017年4月学考)计算:
Ig4+lg25等于()
A.
B.3
2
C・4D・10
⑵(2018年4月学考)已知函数fix)=log2(3+x)4-log2(3~x),则夬1)等于()
A.1B.Iog26
C.3D.log29
答案
(1)A
(2)C
解析(l)lg4+lg25=lg(4X25)=lg100=2.
(2V
(1)=log2(3+1)+log2(3-1)=2+1=3.
感悟与点拨
(1)在指数幕运算中可先将根式化成分数指数幕,再按照指数幕的运算性质进行运算,但应注意:
①必须同底数幕相乘,指数才能相加;
②运算的先后顺序.
(2)在对数运算中,要灵活使用对数的运算性质、换底公式和对数恒等式对式子进行恒等变形,多个对数式要尽量化成同底的形式.
logx,x>
0,(1、
跟踪训练1⑴已知函数Xa-)=|3_.v+1兀wo则AAD)X10g32j的值是()
A.5B.3
C.—1D.#
⑵己知函数./W则/(10g23)+(log彩)=•
答案
(1)A
(2)1
解析(l)Vyd)=log2l=0,
・・・灿))=/(0)=2.
Vlog3|<
0,
••』log3*)=3J込+1=3“加+1=2+1=3.
•'
•fifi1))+/1。
诒)=2+3=5.
13'
(2笊兀)+夬一劝=尹所+尹所=1,
1_2
又log4Q=log223=-10g23,
・\Alog23)+/log4*)=l・
题型二函数的图象与性质
例2函数./U)=log2(2x)的图象大致是()
答案A
解析函数fix)=log2(2x)=1+log2x,可由>
=log2x的图象向上平移1个单位得到.y=log2*的图象过(1,0)点且在(0,+->
)上递增,其图象向上平移1个单位后,得到函数Xx)=log2(2x),图象过点(*,0)且在定义域内单调递增.
感悟与点拨
(1)①幕函数解析式一定要设为y=xa(a为常数的形式);
②可以借助幕函数的图象理解函数的对称性、单调性.
(2)与指数函数有关的函数的图象的研究,往往利用相应指数函数的图象,通过平移、轴对称变换得到其图象.
(3)对复合函数的性质进行讨论时,要搞清复合而成的两个函数,然后对两层函数分别进行研究,有时也可利用平移等方法,从原来标准函数入手分析.
(4)函数的单调性是函数最重要的性质,可以用来比较函数值的大小、解不等式等.
跟踪训练2⑴已知lgd+lgb=0,则函数fix)=c(x与函数g(x)=—log/A的图象可能是()
⑵已知函数J(x)=(x-a)(x-bX其中a>
b)的图象如图所示,则函数gM=ax+b的大致图象为
()
答案
(1)B
(2)C
解析
(1)Vlga+lgb=Of/.Ig(7/2=0,即ab=\.
A项,・.・ga)的定义域为{x|x>
0},...A错误;
B项,由图象知指数函数单调递增,
・・・。
1,此时g(x)单调递增,满足条件;
C项,由图象知指数函数单调递减,
^7<
1,此时g(兀)单调递减,不满足条件;
D项,由图象知指数函数单调递增,
1,此时g(x)单调递增,不满足条件.
故选B.
(2)由二次函数的图象易得一l<
b<
(),a>
\,则函数g(x)=a+b单调递增,当x=0时,g(0)=/+b=b+lW(O,1),即函数图象在y轴上的截距在(0,1)内,故选C.
题型三幕函数、指数函数、对数函数的单调性
例3(2016年10月学考)设函数7W=(|),^(x)=(|)v,英屮e为自然对数的底数,贝"
)
a.对于任意实数%恒有
B.存在正实数刘使得/U())>
gg))
C.对于任意实数x恒有/(兀)Wg(x)
D.存在正实数也使得/Uo)vg(xo)
答案D
解析苗唸討乱所以作函数.心)和巩兀)的草图如图所示,易知D正确•
感悟与点拨
(1)函数的性质主要是指函数的单调性、奇偶性、对称性和周期性.对指数、对数、幕函数来说就是单调性.
(2)要熟练掌握单调增函数(或减函数)的特征,充分利用数形结合进行求解.
跟踪训练3若log“(/+l)vlog“2x0(a>
0且gHI),则实数g的収值范围是()
A.(0,1)B(*‘1)
D.(l,+°
答案B
解析因为a2+1—2cz=(c/—1)2>
所以/+1>
2a.
由log//+1)vlog“2a知,Ovav1.又log«
2a<
0=log“1,所以2a>
1,解得a>
*.
综上所述,*SV1.故选B.
题型四指数函数、对数函数的综合应用
例4已知定义在R上的奇函数j(x)=a-y+3~xfd为常数.
⑴求a的值;
(2)用单调性定义证明几兀)在[0,+8)上是减函数;
⑶解不等式.心一1)+/(2兀+3)<
0.
(1)解・・・夬力是定义在R上的奇函数,
・・・./(0)=0,即。
+1=0,解得。
=一1,
经检验,符合题意.
(2)证明由
(1)知几丫)=一3”+3一"
,
设X|>
X2>
则心)一畑=3叼-3刁+3一州一3一七,
VX|>
X2^0,—Xj<
—%2»
・・・3勺<
3"
3一,3一七,
即3七_3州<
0,3一碑_3一乃<
・\A兀J-Z(兀2)=3七—3"
+3一无—3一七<
5)在[0,+8)上是减函数.
(3)解・・・/匕)是奇函数且在[0,+8)上单调递减,
・・・夬兀)在R上是减函数.
・・・心一1)+夬2兀+3)<
/./(2x+3)<
—Xx—1)=/1—x),
.*.2x+3>
l—x,解得x>
—y即不等式的解集为(一彳,+-).
感悟与点拨解决指数函数、对数函数综合问题时,无论是讨论函数的性质,还是利用函数的性质,都要注意:
⑴要分清函数的底数是aW(0,l),还是aW(l,+oo);
(2)确定函数的定义域,无论研究函数的什么性质或利用函数的某个性质,都要在其定义域上进行;
(3)如果需将函数解析式变形,一定要保证其等价性,否则结论错误.
跟踪训练4己知函数夬兀)=1(壊/(3—or).
⑴当xeio,2]时,函数沧)恒有意义,求实数。
的取值范围;
(2)是否存在这样的实数使得函数>
U)在区间[1,2]上为减函数,并且最大值为1?
如果存在,试求出g的值;
如果不存在,请说明理由.
解(l)Va>
0且aHl,
设心)=3—cu,
则心)=3—心为减函数,
当xe[0,21时,心:
)的最小值为3-26/,
又当%e[0,2]时,/U)恒有意义,
即当xE[0,2J时,3-ax>
0恒成立,
3
/•3—2a>
0,•'
•aV》
(2)假设存在实数a使几r)在[1,2]上为减函数,
则/(兀)的最大值为./
(1)=1o師(3—a)=1,
331
此时。
=刁7(x)=log33——兀,认2丿
当x=2时,7U)没有意义.
故不存在这样的实数G
使得函数/(兀)在区间[1,2]上为减函数,并且最大值为1.
一、选择题
1.(2017年4月学考)函数y=3°
的值域为()
A.(0,+8)B.[1,+8)
C.(0,1]D.(0,3]
2.在同一直角坐标系屮,函数.心)=兀"
(兀$0),g(x)=log*的图象可能是()
解析根据函数/W="
t&
0),g(x)=logM知函数图象为果函数的一部分和对数函数图象.A
选项没有幕函数图象,不符合;
B选项/U)=x"
(x$O)中«
>1,而g(x)=lo%¥
(兀>0)中o<a<l,不符合;
C选项/U)=x"
(x20)中()<。
<1,而g(x)=log*(兀>0)中。
>1,不符合;
D选项两者都是OVdVl,符合,故选D.
3.设uE—1,1,3»
则使函数y=x^的定义域为R且为奇函数的所有a的值为()
B.
A.1,3
C.—1,3
-1,1
D.一1丄3
解析・・•函数y=xa的定义域为R,
「•aH—1和*.
当a=l和3时,y=x1为奇函数,故选A.
4.下列函数中,既是偶函数又在区间(0,+->)上是单调增函数的是()
A.y=\B.y=\x\—\
C.y=\gxD.
解析对于A,y=^为定义域上的奇函数,不满足题意;
对于B,y=W-1是定义域R上的偶函数,且在(0,+<«
)上是单调增函数,满足题意;
对于C,y=\gx是非奇非偶的函数,不满足题意;
对于D,》,=(£
)闪是定义域上的偶函数,但在(0,+8)上是单调减函数,不满足题意.故选B.
B.(0,+8)
C-(0,4]
D.[4,+8)
答案c
解析令t=X1+2x—1,则/=(兀+1)2—2$—2,
又尸(分>6
•••0V〉W4・
6.已知函数1,则方程./(兀)=0的实数解兀0为()
[1十10g2“,X>
19
A.|,0B.-2,0
C.|D.0
解析当xWl时,/U)=3r-l=0,解得x=0;
当x>
l时,Xx)=l+log2x=0,解得兀=£
舍去.
故方程人兀)=0的实数解也为0.
7.下列不等式正确的是()
B.log30.2<
3°
-2<
0.23
D.30>
2<
log30.2<
A.log30.2<
0.23<
-2
C.0.23<
解析log30.2<
log3l=0,
0.2°
=1,3o-2>
=1,/.log30.2<
30-2.
答案c解析方法一(特殊值法)取0=*,当x=2时,几2)=—1<
0,排除A,B;
当2时,人一2)=1>
0,排除D.故选C.
io.对于函数yu)=ig兀,定义域中任意兀2(兀1工兀2)有如下结论:
①/Ul+兀2)=/Ul)+加);
®
AX\也)=/(兀1)+Ax2);
上述结论中正确结论的序号有()
A.①③B.②③C.②④D.①④
解析由运算律几丫1)+几丫2)=览兀1+lg兀2=览兀1兀2=几丫1兀2),所以①错误,②对;
因为几t)是定义域内的增函数,所以③正确;
1+亦,X|+兀2
(h丿=眩丁,
所以lg
咛?
lg时,所以④错误.故选B.
二、填空题
11.已知fix)=(m—m—1)•xnr~2n,~3是幕函数,且在(0,+°
)上是减函数,则实数加=答案2
解析由幕函数定义得m2—m—\=\9解得m=2或加=—1.当加=2时,J(x)=x~\在(0,+00)上是减函数;
当加=一1时,/(x)=x°
不符合题意.
••加=2.
12.在同一平而直角坐标系中,函数y=fix)的图象与〉=才的图象关于直线)=兀对称,函数
y=7W的图象与y=g(x)的图象关于y轴对称.若g伽)=—1,则m=.
答案4
解析由题意,得几y)=Inx.
由于函数y=Ax)的图象与y=g(x)的图象关于y轴对称,
可得g(x)=/(_x)=ln(_x),g(/n)=_l,即ln(—/w)=—1,解得m=—e~i=—^.
c
13.已知点(m,a”)(nEN*)在函数y=e'
v的图象上,若满足Tn=\n«
j+lna2Inan>
k时n
的最小值为5,则R的取值范围是.
答案[10,15)
解析I点(n,WN*)在函数y=e”的图象上,
••cin=cl9••Incin=n^
%=lnai+ln©
Ind“=1+21)
又Tn>
k时〃的最小值为5,
:
・T0k<
T、,即10W£
15.
14.已知定义域为R的偶函数人兀)在[0,+8)上是增函数,且yQ)=0,则不等式Xlog^)>
的解集是.
答案」OVxV*或兀>
2-
•・
解析・・・/(兀)是偶函数,・\/(—£
h/Q)=o・
又・・・yy)在[0,+->
)上是增函数,
.fix)在(一8,0)上是减函数.
.*./(log4A)>
0,即10g^r>
*或10g我<
—£
解得x>
2或OVxV*.
三、解答题
15.已知函数/(x)=log/(Q>
0,JlaHl).
(1)若a=3,(¥
)=—5,求兀的值;
⑵若求实数。
的取值范圉;
⑶若函数./U)在区间[d,2°
]上最大值是最小值的3倍,求d的值.
(i)^Tj=iog
=—5,
⑵①若°
i,则yu)在(o,+8)上是增函数,
A3a—\>
\,解得a>
l;
②若oSV1,则/U)在(0,+8)上是减函数,/.0<
3。
—\<
a,解得综上,d的取值范围是g,£
)u(l,+8).
(3)由题意知,当Osvl时,10&
应=引0氐2。
,解得;
当q>
1时,10氐20=引0&
”,解得a=yf2.
16.
1-2V
已知定义域为R的函数几0=产京是奇函数.
⑴求。
的值;
⑵若对任意的炖R,不等式0恒成立,求实数k的取值范围.解
(1)・・VU)为定义域R上的奇函数,
解得a=2.经检验,符合题意.
⑵・・・几/2—2/)+夬2/2—灯<
在定义域内为单调递减函数.
.*.r—2/>
—2r+R,即3r—2t—k>
0恒成立.
.\k<
3r-2t对reR恒成立,
其中g(/)=3『一2/在乍R上的最小值为一壬,