学年人教版八年级数学下册《172勾股定理的逆定理》同步达标测试题附答案.docx

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学年人教版八年级数学下册《172勾股定理的逆定理》同步达标测试题附答案

2021-2022学年人教版八年级数学下册《17-2勾股定理的逆定理》同步达标测试题（附答案）

一．选择题（共6小题，满分30分）

1．如图是用三块正方形纸片以顶点相连的方式设计的“毕达哥拉斯”图案．现有五种正方形纸片，面积分别是1，2，3，4，5，选取其中三块（可重复选取）按如图的方式组成图案，使所围成的三角形是面积最大的直角三角形，则选取的三块纸片的面积分别是（　　）

A．1，4，5B．2，3，5C．3，4，5D．2，2，4

2．在△ABC中，若a＝n2﹣1，b＝2n，c＝n2+1，则△ABC是（　　）

A．锐角三角形B．钝角三角形C．等腰三角形D．直角三角形

3．△ABC满足下列条件中的一个，其中不能说明△ABC是直角三角形的是（　　）

A．b2＝（a+c）（a﹣c）B．a：

b：

c＝1：

：

2

C．∠C＝∠A﹣∠BD．∠A：

∠B：

∠C＝3：

4：

5

4．如图，△ABC中，CD是AB边上的高，若AB＝1.5，BC＝0.9，AC＝1.2，则CD的值是（　　）

A．0.72B．2.0C．1.125D．不能确定

5．下列结论中，错误的有（　　）

①在Rt△ABC中，已知两边长分别为3和4，则第三边的长为5；

②△ABC的三边长分别为AB，BC，AC，若BC2+AC2＝AB2，则∠A＝90°；

③在△ABC中，若∠A：

∠B：

∠C＝1：

5：

6，则△ABC是直角三角形；

④若三角形的三边长之比为3：

4：

5，则该三角形是直角三角形；

A．0个B．1个C．2个D．3个

6．下面四组数中是勾股数的有（　　）

（1）1.5，2.5，2；

（2），，2；（3）12，16，20；（4）0.5，1.2，1.3．

A．1组B．2组C．3组D．4组

二．填空题（共6小题，满分30分）

7．△ABC的边AC、BC的中垂线交于AB上一点O，且OC＝BC，则∠A＝　　度．

8．三角形三边长分别为8，15，17，那么最长边上的高为　　．

9．如图所示，在△ABC中，AB：

BC：

CA＝3：

4：

5，且周长为36cm，点P从点A开始沿AB边向B点以每秒1cm的速度移动；点Q从点B沿BC边向点C以每秒2cm的速度移动，如果同时出发，则过3秒时，△BPQ的面积为　　cm2．

10．如图，已知∠ADC＝90°，AD＝8m，CD＝6m，BC＝24m，AB＝26m，则图中阴影部分的面积为　　．

11．如图，已知∠A＝90°，AC＝AB＝3，CD＝，BD＝2，则点C到BD的距离为　　．

12．三角形的三边长为a，b，c，且满足（a+b）2＝c2+2ab，则这个三角形是　　．

三．解答题（共8小题，满分60分）

13．如图，连接四边形ABCD的对角线AC，已知∠B＝90°，BC＝1，AB＝，CD＝2，AD＝2．

（1）求证：

△ACD是直角三角形；

（2）求四边形ABCD的面积．

14．已知等腰三角形ABC的底边BC＝20cm，D是腰AB上一点，且CD＝16cm，BD＝12cm．

（1）求证：

CD⊥AB；

（2）求该三角形的腰的长度．

15．如图，在△ABC中，∠A＝60°，AB＝4cm，AC＝12cm．动点P从点A开始沿AB边以1cm/s的速度运动，动点Q从点C开始沿CA边以3cm/s的速度运动．点P和点Q同时出发，当点P到达点B时，点Q也随之停止运动．设动点的运动时间为ts（0＜t＜4），解答下列问题：

（1）当t为何值时，点A在PQ的垂直平分线上？

（2）在运动过程中，是否存在某一时刻t，使△APQ是直角三角形？

若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．

16．一架梯子长25米，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙7米，

（1）这个梯子的顶端距地面有多高？

（2）如果梯子的顶端下滑了4米到A′，那么梯子的底端在水平方向滑动了几米？

17．如图，小亮将升旗的绳子拉到旗杆底端，绳子末端刚好接触地面，然后将绳子末端拉到距离旗杆8m处，发现此时绳子末端距离地面2m，请你求出旗杆的高度（滑轮上方的部分忽略不计）．

18．如图，在笔直的铁路上A，B两点相距20km，C，D为两村庄，DA＝8km，CB＝14km，DA⊥AB于A，CB⊥AB于B．现要在AB上建一个中转站E，使得C，D两村到E站的距离相等，求AE的长．

19．有一只喜鹊在一棵3m高的小树上觅食，它的巢筑在距离该树24m的一棵大树上，大树高14m，且巢离树顶部1m．当它听到巢中幼鸟的叫声，立即赶过去，如果它飞行的速度为5m/s，那它至少需要多少时间才能赶回巢中？

20．今年的气候变化很大，极端天气频繁出现．某沿海城市气象台监测到台风中心位于正东方向的海上．如图所示，城市所在地为A．台风中心O正以每小时40km的速度向北偏西60°的OB方向移动，经监测得知台风中心200km的范围内将会受台风影响．OA＝320km．该城市是否受到这次台风的影响？

若不受影响，请说明理由．若受到这次台风影响，请求出遭受这次台风影响的时间．

参考答案

一．选择题（共6小题，满分30分）

1．解：

当选取的三块纸片的面积分别是1，4，5时，围成的直角三角形的面积是＝，

当选取的三块纸片的面积分别是2，3，5时，围成的直角三角形的面积是＝；

当选取的三块纸片的面积分别是3，4，5时，围成的三角形不是直角三角形；

当选取的三块纸片的面积分别是2，2，4时，围成的直角三角形的面积是＝，

∵，

∴所围成的三角形是面积最大的直角三角形，则选取的三块纸片的面积分别是2，3，5，

故选：

B．

2．解：

∵（n2﹣1）2+（2n）2＝（n2+1）2，

∴三角形为直角三角形，

故选：

D．

3．解：

A、由b2＝（a+c）（a﹣c）可得：

c2+b2＝a2，可以组成直角三角形，故此选项不符合题意；

B、12+（）2＝22，可以组成直角三角形，故此选项不符合题意；

C、由∠C＝∠A﹣∠B，∠A+∠B+∠C＝180°，可得：

∠A＝90°，可以组成直角三角形，故此选项不符合题意；

D、∵∠A：

∠B：

∠C＝3：

4：

5，∠A+∠B+∠C＝180°，∴最大角∠C＝75°，∴不能构成直角三角形，故选项符合题意；

故选：

D．

4．解：

∵AB＝1.5，BC＝0.9，AC＝1.2，

∴AB2＝1.52＝2.25，BC2+AC2＝0.92+1.22＝2.25，

∴AB2＝BC2+AC2，

∴∠ACB＝90°，

∵CD是AB边上的高，

∴S△ABC＝，

1.5CD＝1.2×0.9，

CD＝0.72，

故选：

A．

5．解：

①在Rt△ABC中，已知两边长分别为3和4，则第三边的长为5或，错误；

②△ABC的三边长分别为AB，BC，AC，若BC2+AC2＝AB2，则∠C＝90°，错误；

③在△ABC中，若∠A：

∠B：

∠C＝1：

5：

6，则△ABC是直角三角形，正确；

④若三角形的三边长之比为3：

4：

5，则该三角形是直角三角形，正确；

故选：

C．

6．解：

（1）1.52+22＝2.52，但不是正整数，故错误；

（2）（）2+（）2＝22，能构成直角三角形，但不是整数，故错误；

（3）122+162＝202，三边是整数，同时能构成直角三角形，故正确；

（4）0.52+1.22＝1.32，但不是正整数，故错误．

故选：

A．

二．填空题（共6小题，满分30分）

7．解：

如图所示，OE，OF分别是边AC，BC的中垂线

∵OE，OF分别是边AC，BC的中垂线

∴△AEO≌△CEO，△OCF≌△OBF

∴AO＝CO，CO＝BO

∴△ACB为直角三角形．

∵CO＝BC

∴△OBC为等边三角形

∴∠B＝60°

∴∠A＝30°，

故填为30°．

8．解：

∵82+152＝172，

∴三角形为直角三角形，

设斜边上的高为h，

∵三角形的面积＝，

∴h＝．

9．解：

设AB为3xcm，BC为4xcm，AC为5xcm，

∵周长为36cm，

AB+BC+AC＝36cm，

∴3x+4x+5x＝36，

解得x＝3，

∴AB＝9cm，BC＝12cm，AC＝15cm，

∵AB2+BC2＝AC2，

∴△ABC是直角三角形，

过3秒时，BP＝9﹣3×1＝6（cm），BQ＝2×3＝6（cm），

∴S△PBQ＝BP•BQ＝×（9﹣3）×6＝18（cm2）．

故答案为：

18．

10．解：

在Rt△ADC中，

∵CD＝6m，AD＝8m，∠ADC＝90°，BC＝24m，AB＝26m，

∴AC2＝AD2+CD2＝82+62＝100，

∴AC＝10m，（取正值）．

在△ABC中，∵AC2+BC2＝102+242＝676，AB2＝262＝676．

∴AC2+BC2＝AB2，

∴△ACB为直角三角形，∠ACB＝90°．

∴S阴影＝AC×BC﹣AD×CD＝×10×24﹣×8×6＝96（m2）．

故答案是：

96m2

11．解：

∵∠A＝90°，AC＝AB＝3，

∴BC＝＝＝3，

∵CD＝，BD＝2，

（）2+（3）2＝

（2）2，

∴△BCD是直角三角形，

∴点C到BD的距离为×3÷2×2÷2＝．

故答案为：

．

12．解：

∵（a+b）2＝c2+2ab，

∴a2+2ab+b2﹣c2＝2ab，

∴a2+b2＝c2，

∴三角形是直角三角形．

故答案为直角三角形．

三．解答题（共8小题，满分60分）

13．

（1）证明：

∵∠B＝90°，BC＝1，AB＝，

∴AC＝，

∵CD＝2，AD＝2，

∴AC2+CD2＝AD2，

∴△ACD是直角三角形；

（2）解：

∵AB＝，BC＝1，

∴S四边形ABCD＝S△ABC+S△ACD＝．

14．解：

（1）∵BC＝20cm，CD＝16cm，BD＝12cm，

∴满足BD2+CD2＝BC2，

∴根据勾股定理逆定理可知，∠BDC＝90°，

即CD⊥AB；

（2）设腰长为x，则AD＝x﹣12，

由

（1）可知∠ADC＝90°，由勾股定理可知，AD2+CD2＝AC2，

即：

（x﹣12）2+162＝x2，

解得x＝，

∴腰长为cm．

15．解：

（1）若点A在线段PQ的垂直平分线上，则AP＝AQ，

∵AP＝t，AQ＝12﹣3t，

∴t＝12﹣3t，

解得：

t＝3，

答：

当t＝3时，点A在线段PQ的垂直平分线上；

（2）①若∠APQ＝90°，

则△APQ是直角三角形，

∵∠A＝60°，

∴∠AQP＝30°，

∴AQ＝2AP，

∴12﹣3t＝2t，

∴t＝，

②若∠AQP＝90°，

则△APQ是直角三角形，

∵∠A＝60°，

∴∠APQ＝30°，

∴AP＝2AQ，

∴t＝2（12﹣3t），

∴t＝．

∴当t＝或时，△APQ是直角三角形．

16．解：

（1）由题意得：

AC＝25米，BC＝7米，

AB＝＝24（米），

答：

这个梯子的顶端距地面有24米；

（2）由题意得：

BA′＝20米，

BC′＝＝15（米），

则：

CC′＝15﹣7＝8（米），

答：

梯子的底端在水平方向滑动了8米．

17．解：

设旗杆高度为x米，则AC＝AD＝x米，AB＝（x﹣2）米，BC＝8米，在Rt△ABC中，AB2+BC2＝AC2，即（x﹣2）2+82＝x2，

解得：

x＝17（米），

即旗杆的高度为17米．

18．解：

设AE＝x，则BE＝20﹣x，

由勾股定理得：

在Rt△ADE中，DE2＝AD2+AE2＝82+x2，

在Rt△BCE中，CE2＝BC2+BE2＝142+（20﹣x）2，

由题意可知：

DE＝CE，

所以：

82+x2＝142+（20﹣x）2，解得：

x＝13.3

所以，E应建在距A点13.3km．

19．解：

如图，由题意知AB＝3，CD＝14﹣1＝13，BD＝2