数学魔术Word格式.docx

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换句话说，如果其中一杯盐水的浓度是a/b，另一杯盐水的浓度是c/d，那么（a+c）/（b+d）一定介于a/b和c/d之间。

因此，（21a+34b）/（34a+55b）就一定介于21a/34a和34b/55b之间。

而21a/34a=21/34，34b/55b=34/55，可见不管a和b是多少，（21a+34b）/（34a+55b）都被夹在了和之间。

如果a和b都不大，用21a+34b的值除以来推测34a+55b是相当靠谱的。

有的读者可能已经发现了，不是别的数，正是神秘的黄金分割；

而上表中出现的系数1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,正是传说中的斐波那契数列。

算术中最富神秘色彩的两个概念在此交织，看来这个简单小魔术的来头并不简单啊。

二、魔术师玩数学：

简单陷阱骗到你数学魔术，时常要用到深奥的原理。

不过，简单的数学知识有时也可以达到的同样的效果，比如下面的几个例子。

读者们不妨来试一试，猜猜这些简单易行的魔术背后的原理是什么。

虽然简单，但也却未必就能很轻松猜到，来试试吧。

1、不看牌猜中不同花色的牌数表演者取出一副扑克牌，为表明没有动手脚，不妨请一位观众来洗几次牌。

然后，将扑克牌牌面向下一张一张把放到桌面上，观众可以随时叫停。

叫停之后，桌子上的牌归观众。

此时双方都不翻开各自手上的牌，表演者说，“我现在用心灵感应来猜一下我的牌里和你的牌里各有多少张红色的和黑色的”，随即要求观众从一叠牌里取出一定数量的牌放到另一叠里，例如“请你从你手上的牌里选1张红色牌、2张黑色牌放到我的这叠里”。

在此之后，表演者一阵心灵感应，就可以宣称，第一叠牌里的红色牌和另一叠牌里的黑色牌数量是相等的了。

如果观众验证的话，就会发现果真如此。

魔术揭秘：

为什么呢其实这个魔术的原理很简单，表演者只需要记住牌的数量，想办法让两叠牌的数量都是26张就可以。

而要求观众匀牌的过程，就是平分这副牌的过程。

当两叠牌数是相等的时候，那显然就会有：

第二叠牌中红牌数量+第二叠牌中黑牌数量=26第一叠牌中红牌数量+第二叠牌中红牌数量=26第一叠牌中红牌数量+第一叠牌中黑牌数量=26解方程组可得：

第一叠牌中红牌数量=第二叠牌中黑牌数量2、钢琴之手这是一个斗转星移式的魔术。

表演者先请一位观众将双手平铺在桌面上，依次将两张牌面叠在一起的扑克插到TA的两指之间，要注意的是，在观众左手的无名指和小指之间只放一张牌。

随后，表演者每次取出夹在手指间的一对牌，分别放到桌子的左右两边，这样的话，两边就会出现两叠同样数量的牌。

最后表演者拿起左手无名指和小拇指之间的那张单牌，亮给大家看，问观众：

“你们说这张单牌放到哪一边好呢”假如观众选择了左边，表演者就把它放到左边，然后说“下面我可以让这张牌从左边的这一叠隔空转移到右边”。

表演者随即拿起右边的一叠牌，一对一对数牌，当最后还剩下一张单牌时，就把这张牌亮出来看：

它正是刚刚最后应观众要求放到左边的那张，牌真的被移过去了！

实际上，魔术师唯一要做的手脚就是准备三张一样的牌，放在左手无名指和小拇指中间的那张单牌正是其中之一，另外两张则是插在其他位置的一对牌。

如此一来，分牌的时候就能保证每一叠牌里都有一张“备份”，只要找到这张备份，那就能顺利完成魔术了。

3、找到那张牌表演者拿一副牌，洗牌后，把牌牌面向下放到桌面上，“随意地”说出一张牌，比如红桃6，并宣称能不看牌就找出它。

首先请观众随便说一个1到26之间的数字，比如13，表演者从这叠牌的最上面一张一张地向外数牌放到旁边，到13为止。

然后翻开剩下牌里最上面的那张牌，结果不是红桃6，表演者说“没有关系，红桃6可能在这叠牌的下半部分，我现在把分出的13张牌再放回到牌的最上面，大家再给出一个大一点的数字，27到52之间的一个”。

假设观众给的数字是33，表演者像上次一样，从牌的最上面数出33张牌放到一边，然后翻开剩下牌最上面的一张，结果还不是红桃6，是不是魔术师不给力了呢魔术师接着说，“大家不要急，现在我把这33张牌再放回到原来牌的上面，大家可以把刚才的两个数字33和13相减，结果是20，我从牌的最上面数出20张牌，然后翻开第21张牌一看，果然是红桃6！

实际上，表演者只要记住洗牌之后最顶层的那张牌（也就是第一张牌）是什么就可以了。

而“随意”说的牌一定只能是这张。

而两次数牌的操作就是把最顶层的那一张放到两个数相减的对应位置上。

三、数学魔术系列之心灵感应你相信心灵感应存在吗在一次表演上，魔术师杰克父子两人为大家表演了扑克牌的心灵感应。

首先老杰克先上场，拿出一副扑克牌，在现场任意找了一位观众，让他抽出五张牌，老杰克用眼睛迅速扫了一下五张牌，分别是红桃4，梅花6，方片A,黑桃5和方片9，然后选出方片9交给观众，让观众将牌翻过去，自己将剩下的四张牌正面朝上一一摆放到桌面上，而刚刚发生的这一切，站在远处的小杰克完全无法看清楚。

之后，老杰克对这位观众说，“刚才我给你的这张牌是什么，只有你和我知道，但是我和我的弟弟小杰克在心理上有一种神秘的感应力量，他也可以猜得到这张牌是什么，下面就请小杰克走过来”。

小杰克走到放着扑克牌的桌子前，双手合拢放到胸前，沉思几秒钟，迅速说出了老杰克给观众的牌是方片9。

放在桌面上的四张牌：

拿走的方片9：

这个魔术从八十年代开始在美国流行，很多观众看完魔术后第一反应是老杰克和小杰克之间一定发生了某种信息交流，比如手势、身体语言，可是用一两个动作同时表示出一张牌的花色和大小并不是易事。

其实这个魔术是一个纯粹的数学游戏，最初由美国麻省理工学院一位数学博士发明。

为了增加魔术的趣味性，一些魔术师在表演这个魔术时，两个表演搭档身处两个城市甚至身处两个国家，通过电话、电子邮件通知自己的猜测，不过无论表演的方式如何改变，有一点是不变的，小杰克必须知道或看到五张牌中剩下的四张牌。

既然魔术的玄机在在这四张牌上，那么老杰克是如何通过这四张牌告诉小杰克第五张牌的花色和大小的呢有人会想到排列组合，四张不同的扑克牌一共有4*3*2*1=24种排列方式，是不是因为这个可是一副扑克牌（除去大小王52张），拿掉4张后，还剩40多张，24种排列方式也表示不了40多种可能性，而且每次抽出的五张牌中，还可能出现同样的数字，同样的花色，兄弟两人事先也不知道观众到底会抽出哪五张牌，接着想下去，真让人头疼。

实际上，这个魔术不是一个简单的排列组合，要经过几个步骤，第一步靠的是老杰克。

大家都知道，扑克牌只有四种花色，如果抽出五张牌，其中至少有两张牌是一种花色的，（相当于把5个苹果放到四个箱子里，至少会有一个箱子里有两个或以上的苹果），上面的五张牌中方片A和方片9就属于一个花色，老杰克给观众的牌不是任意给的，一定是两个相同花色牌中的一个，之后他把剩下的四张牌放到桌子上时，要保证第一张牌（方片A）和观众手中的牌（方片9）是一个花色，这样小杰克看到方片A之后，就可以推断出那张牌的花色也是方片。

有人会说，如果总是把和要猜的牌一样花色的牌放在第一个位置，会不会被人察觉到，其实兄弟两可以事先约定好放在第几个位置，未必一定是第一个。

知道了花色以后，老杰克又是怎样用红桃4，黑桃5和梅花6告诉小杰克那张牌的数字是9的呢剩下的这三张牌可能都是6，也可能都是梅花，但是有一点是确定的，来源于同一副扑克的这三张牌是互不相同的，魔术发明者的智慧正在于此。

老杰克和小杰克首先要制定一个比较任意两张牌谁大谁小的“规则”，例如在扑克52张牌中红桃的牌最大，黑桃的牌其次，然后是梅花、方片，同样花色的牌，K最大，A最小。

这样，任意三张牌中，都会有一个“大牌”，一个“中等牌”和一个“小牌”。

在摆放这三张牌时，有大中小、大小中、小大中、小中大、中大小，中小大六种摆放顺序，上面图中显然属于“大中小”方式。

这六种排列方式可以分别代表1、2、3、4、5、6六个数字，可是扑克牌一共有从A到K十三个数字，六个数字无论如何也表示不了十三个数字呀！

很多聪明的观众在自己思考这个魔术的原理时，或许也可以猜得出之前的所有秘密，但是最后一步却把他们难住了，这也正是这个魔术的画龙点睛之笔。

在魔术的第一步，一个和被藏起来的牌花色一样的牌被用来指示花色，但是它的角色其实还没有说完。

老杰克拿出了方片9给观众，但是没有拿方片A给观众，这也是有原因的。

我们可以在上图这个13张牌排成的环中找到9和A,然后逆时针从9数到A，要数8次；

如果从A数到9，只需要数5次。

剩下的“大中小”三张牌可以表示5，却表示不了8，所以老杰克把9给了观众，而当小杰克看到了A和5的信息后，在自己的脑海里从A逆时针数5下得到最后的答案9。

在整个魔术的过程中，老杰克和小杰克更像是完成了一次秘密通信，在表演开始前，两个人先要制定好这几条“通信协议”，之后有老杰克用那四张亮着的牌为藏在观众手中的牌进行加密，之后小杰克按照自己已经知道的规则进行解密，“感应”到那张牌的花色和数目。

四、数学魔术系列之一二三四，四三二一你还记得上一次心灵感应的那个扑克牌魔术吗老杰克和小杰克爷俩儿“合伙作案”，五张扑克牌把观众弄得一头雾水。

可是你听说了吗，最近老杰克和小杰克吵起来了，小杰克不甘心总是给父亲当助手，想上舞台来一次个人专场表演，可是老杰克不答应，认为小杰克还太年轻了。

小杰克自然也不甘示弱，上一回两人一起用五张扑克牌“心灵感应”，这一次我用四张扑克牌，以个人表演，和观众来个心灵感应，咱爷俩儿谁怕谁呀！

表演开始了，小杰克上场后先把准备好的四张扑克牌，红桃A,红桃2，红桃3，红桃4，从左到右依次摆到桌面上。

台下观众心里不禁想，这小家伙准备干什么呢看起来他怎么有点像幼儿园里教算术的老师呢接着，小杰克像往常一样在现场找了一位观众，然后对大家说，“今天我要读出你心中的一二三四”，“现在我背过身去，然后你在1、2、3、4四个数字中你选择一个最喜欢的，然后把这张数字的牌和红桃A互相交换位置，比如你选了红桃2，就要把红桃2放到红桃A的位置上，把红桃A放到红桃2的位置上，大家一定要记住这张牌。

当然你如果最喜欢的牌正是红桃A，就什么也不用做了。

这位观众想了想，选择了红桃3。

之后，魔术师小杰克说，“现在请你把四张牌都翻过去，然后，从左到右把四张牌叠到一起，最左面的那张牌自然放到最下面”。

等着这位观众把扑克牌收好之后，小杰克转过身来，“好了，四张扑克牌都在你的手中，我什么也看不到。

为了让你选的那张牌藏的毫无踪迹，下一步就是要把这四张牌洗乱，那么怎么洗呢这样，你每次从这叠牌的上面取一张、两张或者三张牌放到牌的最低下，经过十次“翻江倒海”之后，这四张牌的顺序一定完全打乱了，现在就开始吧”。

这位观众按照要求把手中的几张牌洗来洗去，结束后交给了小杰克。

“现在我把已经经历了“干洗机清洗”的四张扑克牌放到重新放到桌面子上”，他轻轻地用手翻开最上面的一张牌，是红桃2，摆在了最左面，然后把接下来的三张牌依次摆在的后面。

此时台下观众眼睛一望，四张牌的确已经和开始的时候顺序完全不一样了。

小杰克随后伸出双手，在四张牌的上面挥舞一番，施加起了他的“魔法”。

然后神秘兮兮地对这位观众说道，“你选的牌一定不是2，也不是A，只剩下了两张牌，3和4。

我的第六感觉告诉我，你选的牌一定是这两张中的红桃3”随后台下观众中响起一阵热烈的掌声，小杰克成功的答对了这道“四选一”的选择题。

读到这里，很到人要问，小杰克这项阅读别人心中一二三四的超能力是怎么来的呢我要是有他的这项能力就好了，以后每次考试，和学习好的同学来一次“超能力”，选择题就不愁了，ABCD一个也错不了。

你可能会说这位观众是小杰克的“托”，但是小杰克可以一千个一万个保证的是，观众一定是任意找的。

说起来，谜底并不复杂，请看以下这张图，如果最后小杰克放到桌子上的四张牌的顺序在红色的方格里，那么就可以断定，观众选的牌是红桃A，如果是在黄色的区域内，就一定是红桃2，绿色的方格内呢一定是红桃3。

蓝色的方格内，不用说了，红桃4。

小杰克脑子里记住这张图就可以了。

如果最后桌子上的牌不是这十六种之列怎么办那一定是这位观众太淘气了，没有按照小杰克的要求去做。

有一个有趣的问题：

这四张牌摆成一行，一共有多少种可能呢计算方法是4乘以3乘以2再乘以1，一共是24种，不过在魔术里，如果不出错的话，有8种永远也不会看到。

那么一副牌54张牌排成一列的话，一共有多少中可能性呢聪明的你一定可以猜到，算法是54乘以53，再乘以52，得到的结果再乘以51，最后再乘以2，得到的结果有多大呢23后面有71个0，这个数字大到了难以想象。

也就是说每一次你把一副洗好的扑克牌（当然不是像小杰克这样作弊）一张张摆开，几乎不可能出现两列完全相同的牌。

回到正题，你可能会问，“咦，这是怎么回事魔术中扑克牌不是都被洗乱了吗”小杰克说，“非也非也，听我慢慢道来”，“最开始的时候，观众选的是红桃3，和红桃A换完位置之后，是这样的，我们把这四张牌围成一个圆圈，我得翻江倒海洗牌大法表面上可以把扑克牌变得乱七八糟，可是实际上仔细想一想，不管每一次从牌的上面拿几张放到最下面，要不管一共拿多少次，只是相当于在旋转这个圈，四张牌的相对位置，左邻右舍都没有变，所以无论任何时候，这副牌都相当于把这条链子剪开，所以一定在这四种可能性之中。

”“可是故事还没有完，为了进一步迷惑观众，最开始收牌的时候最左面的牌是放在最下面，可是最后把牌放回桌子上的时候是把最上面的牌放到最左面，这样四张牌的顺序就开始的时候倒过来了，一二三四变成了四三二一，让人相信牌是洗过的。

”以后，你也像小杰克一样，给你的朋友来做一道四选一选择题吧。

五、数学魔术系列之Kruskal的魔力如果你的朋友告诉你，他今天要跟你打个赌：

他首先把一副扑克牌洗好，把除了两个王以外的52张牌依次扣在桌面上，然后他把第二张牌翻开，是方片5，他向前数5张牌，翻开后，是梅花4，然后又向前数了4张牌，以此类推，每一次翻开的牌上面的数字是几，就向前走几步（J,Q,K按1算）最后，当翻开红桃5时，已经接近牌的末尾，无法再向前数了。

接着，他把除了最后翻开的红桃5以外的所有牌都翻回去然后，同你讲“你可以从第一张牌到第十张牌任意选一张开始，然后重复我的过程，如果你最后的一张牌也停在红桃5，那么你就输了，要给我100元；

如果你的最后一张不是红桃5，我就输了，给你100元”。

你敢跟你的朋友打这个赌吗你可能会想，最后一张牌停在哪个位置有很多种可能性，最起码倒数的十张牌都要可能，估计不会这么巧，我的最后的一张牌正好和我朋友的完全一样，十有八九一百元钱归我了。

但是实际情况是，你的朋友是聪明的，十有八九要输的不是他，而是你。

经过概率计算，在一个班50位同学中有相同生日的概率高达97%，远远高出了绝大多数人的意料。

关于这个游戏的概率计算结果也同样会令你大吃一惊。

我们先来看一个例子，假设你选了从第一张牌开始，是梅花Q,按照规则向前走一步第二张是方片5，你的朋友刚刚翻过的，到这里，你应该猜得到，游戏不需要再进行下去了，你已经输了，因为在这之后，你会完全重复你朋友翻牌的路径，最后也终止于红桃5。

你或许会说，我应该不会这么不幸吧，我翻开的第二张牌正正好好是我朋友翻过的。

要是我不从第一张牌开始，从第三张牌、第四张牌、第十张牌开始，情况还会这么糟吗是的，你翻开的第二张牌不是你朋友翻过的牌的可能性还是很大的，可是以后向前翻牌的过程中只要有任意一张在你朋友走过的路径上，你就输定了。

尽管对于翻开的某一个单张牌“中招”的概率不是很大，可是连续翻很多张牌都不“中招”就并非易事了。

只有在整个过程中左夺右闪，小心翼翼，不掉进你朋友“设下的所有陷阱”，你才有可能赢得这个赌局。

我们可以粗略估计一下你取胜的可能性首先，由于J,Q,K都按1算，52张牌的数字平均大小小于5，暂且按5计算，那么你从头走到尾，平均要翻10张牌；

然后，对于这十张牌，每一张的数字可能为1到10十种可能性，如果这张牌的数字“大小合适”，翻开的下一张牌就会落入朋友的陷阱,按照这张牌前面十张牌中平均只有一张是你朋友翻过的算（实际因为有很多张“1”，十张牌中会出现多于一张的“危险牌”），那么你一次生还的概率是9/10，最后，你久经考验、到了最后一张牌仍然和你朋友的红桃5不重合的可能性就是9/10的10次方，只有35%。

而如果考虑了“1”牌的因素，用更精确的方法计算的结果为15%左右，你朋友在这场赌局中有85%获胜概率。

也就是说，你的最后一张牌和你朋友的最后一张牌在大多数情况下会是一样的。

这个数学小游戏最早由美国著名的应用数学家MartinDavidKruskal提出，被称作KruskalCount。

很多人应该都听说过离散数学中的Kruskal算法，MartinDavidKruskal的弟弟JosephKruskal正是这一个算法的发明者。

Kruskal算法成了众多电脑程序员不可或缺的武器，而KruskalCount也成了众多魔术师手中的法宝。

由于一副扑克牌只有52张牌，如果把这个游戏当作魔术进行表演的话，仍然有百分之十几的失手机会，但是如果用两副、三副或更多扑克牌，失败的可能性会降至很低（两副扑克牌就可以降至5%）。

除了用扑克，魔术师还可以要求你在长长的一篇英语文章中，从一个单词开始，看这个单词有几个字母组成就向前越过几个单词，以此类推，一直到文章的末尾，然后魔术师会表演他的“读心术”说出你停在的最后一个单词。

与这个纸牌游戏类似的一种用于破解密码的计算机算法称作波利德袋鼠算法。

这个算法中，两个数字的链条，被称为“两只袋鼠”，在解空间里面各自“跳跃”，其中一只为“驯化的袋鼠”，相当于你的朋友，它的参数都是确定的，而另一只为“野生的袋鼠”，相当于你，算法希望得到“野生的袋鼠”的参数。

驯化袋鼠每次跳跃之后都会做一个陷阱，如果野生袋鼠的某次跳跃碰到了这个陷阱，则表明他们的参数是一致的。

这样，就可以使用驯化袋鼠的参数来推导出野生袋鼠的参数，与纸牌游戏整个过程非常相似。

六、数学魔术系列之给暗号也要给得有艺术在赌神系列电影里，赌神可以让手里的五张牌鬼使神差地变为一套皇家同花顺（也就是同花色的10、J、Q、K、A五张牌）。

皇家同花顺是德州扑克赌桌上的绝杀，手里捏一把皇家同花顺便无人能敌了。

作为一个数学魔术控，我可没有传说中赌王、赌神、赌圣们那样的必杀技。

不过，我也有我自己的绝招。

如果给我五张皇家同花顺的扑克牌，把它们背面朝上排成一列，我可以“读出”每张牌各是哪一个。

魔术是这样表演的。

首先，魔术师本人按兵不动，由魔术师的助手先上场。

他手里拿着这五张牌，现场找一位观众，让观众把这五张牌的顺序洗乱。

洗完牌后，把五张牌正面朝上依次摆在桌面上，以验证这些牌都没有被更换过。

观众把洗好的牌依次放在桌面上。

验证环节结束之后，这五张牌全都被翻了过去。

桌上的五张牌都被翻了过去。

然后魔术师的助手说：

“其实我并不是真正的魔术师，下面请大师登场。

”魔术师上场后，助手继续说：

“首先，我抛砖引玉，随便翻开两张牌。

比如第三张是张K；

再翻开第四张一张10。

剩下三张背面朝上的牌都是什么，就要看魔术大师的功力了。

”助手翻开了一张K。

助手翻开了一张10。

大师走到扑克牌前，淡定地说：

最左边一张是A，最右边这张则是J，剩下这张就是Q了。

翻开这三张牌，大师说的果然没错，三张扑克牌全部命中。

漂亮的暗号系统大师读牌功力的秘密到底在哪里呢有人或许已经猜到，他的助手一定逃脱不了干系，因为助手知道五张背面朝上的牌都是什么牌，他一定用某种暗号告知了“大师”本人。

在魔术中，助手要先翻开其中两张牌，但究竟翻开哪两张牌，这可以由助手自己来选择。

这种选择本身很可能就是助手和大师之间交流用的暗语。

问题的难点就是，如何构造一种暗号系统，使得助手总能选出适当的两张牌翻过来，就能让魔术师立即知道剩下的三张牌是什么。

助手和魔术师之间的暗语非常巧妙。

助手先从扑克牌中找出三张点数依次增大或者依次减小的牌。

在上面的例子中，观众洗好的牌从左至右依次是A、Q、K、10、J，其中A、Q、J就是三张点数逐一减小的牌（当然，可能还有别的符合要求的组合）。

然后，助手翻开另外两张牌（一张K和一张10），并且先翻开大的那张，再翻开小的那张，暗示魔术师剩下的三张牌是递减排列的。

魔术师便可推出，剩下的三张牌依次是A、Q、J了。

我们再举一个例子。

如果观众洗好的牌依次是Q、10、A、J、K，魔术师助手可以先翻开数值较小的Q，再翻开A，告诉魔术师剩下的10、J、K是按照递增方式排列的。

暗号系统总适用这个策略确实很妙，但是，万一观众洗好的扑克牌序列中没有三张递增或者递减的牌该咋办我们可以证明，这种情况是绝不会发生的。

对于一个由5个不相同的数字组成的数列，无论怎样排列，从中一定可以找到一个长度为3的递增子序列或者递减子序列。

假设五张牌的数值分别是a、b、c、d、e，不妨假设ab，由对称性，下面的推理同样适用）。

只要c、d、e中有一个数比b大，它就和a、b一起构成了递增序列。

现在，我们只需要考虑c、d、e都比b小的情况。

如果cd，b、c、d就会构成一个递减数列；

如果de，b、d、e也会构成一个递减数列；

如果以上两条都不满足，c、d、e本身就变成一个递增序列了。

可见，无论如何，长度为3的单调序列都是避免不了的。

七、数学魔术：

7张牌的秘密我们都知道托儿对于魔术师的重要性，可是如果托不在身边，魔术该怎么演呢让下面这个数学魔术来告诉你吧。

这个魔术的道具是红桃A到红桃7七张扑克牌，把它们牌面朝下按数字顺序叠成一叠：

魔术过程：

魔术师戴上眼罩，并请一位观众上台按照要求完成一系列操作：

先从那叠牌里任意抽一张，记住抽到的牌是什么，并且向台下观众展示。

需要注意的是，如果抽到的是