正项级数敛散性的探究毕业论文Word文件下载.docx

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（2）若级数un发散，则级数vn也发散.推论：

设un和vn是两个正项级数，若limunl，则：

nvn

（1）当0l时，级数un和vn同时收敛或同时发散；

（2）当l=0时且级数vn收敛时，级数un也收敛；

（3）当l=且级数vn发散时，级数un也发散.利用级数收敛的定义已经知道了等比级数aqn（a0）的敛散性，接下来的两个判别n0法是以等比级数为比较级数建立的判别法.定理2.2（比式判别法）：

设un为正项级数，且存在某正整数N0及常数q（0q1），un1q，则级数un收敛.

（2）若对一切nN0成

（1）若对一切nN0，成立不等式un立不等式un11，则级数u发散.unn推论：

若un为正项级数，且limun1q，则

（1）当q1时，级数un收敛；

nun

（2）当q1时，级数un发散.定理2.3（根式判别法）：

设un为正项级数，且存在某正数N0及常数l,

（1）若对一切nN0，成立不等式nunl1，则级数un收敛；

（2）若对一切nN0，成立不等式nun1，则级数un发散.推论：

设un为正项级数，且limnunl，则

（1）当l1时，级数un收敛；

（2）n当l1时，级数un发散.尽管比式判别法和根式判别法都是以等比级数为标准级数建立起来的，但是通过研究我2们知道若limun1q，则必有limnunq，即说明根式判别法较之比式判别法更有效.nunn2

（1）n如例：

讨论级数2n的敛散性.如果用根式判别法，有limnunlimn2

（1）n1，可知该级数时收敛的；

若用比22nn31u2n3，而limu2n11，因此比式判别法式判别法，有limlim22mlim22m1nu2n1n12nu2nn3622m122m对于此问题失效了.但是，这两个判别法仍有局限性，当出现“q1”和“l1”时，这两个判别法就失效了.例如考察1和1这两个级数，不论用比式判别法的极限形式还是根式判别法的nn21是发散的，1时收敛的.极限形式，可以发现他们的极限都是1，然而nn2接下来的判别法是利用非负函数的单调性和积分的性质，以反常积分为比较级数建立的积分判别法.定理2.4（积分判别法）：

设f（x）为1，上非负减函数，那么正项级数f（n）与反常积分（fx）dx同时收敛或同时发散.13正项级数其他一些判别法的探究在上一节中，已经介绍了一些判别正项级数敛散性的基础判别法.在这一节中，将继续通过变换比较级数的思想，再得到一些其他的判别正项级数敛散性的判别法.3.1以p级数1为比较级数建立的其他判别法n1np对于p级数1，设f（x）1f（x）在npp，则f（n）p，可见不论p取何值，函数n1xn1，上是一个非负减函数.那么由积分判别法可知：

1p与1pdx是同时收敛或同n1n时发散的.由于无穷积分1p1时发散.所以p级数1xpdx当p1时是收敛的，当n1np当p1时收敛；

当p1时发散.3这一节中介绍三个以p级数为比较级数建立的判别法，分别是拉贝判别法、对数判别法和双比值判别法.定理3.1.1:

（拉贝判别法）：

设un为正项级数，且存在某正整数N0及常数r，

（1）若对一切nN0，成立不等式（n1-un1）r1，则级数un收敛；

（2）若对一切nN0，un成立不等式（un1）1，则级数un发散.n1-un推论：

设u为正项级数，且极限（1-un1）=r存在，则

（1）当r1时，级nlimnunn数un收敛；

（2）当r1时，级数un发散.例3.1.1：

讨论级数13（2n1）1的敛散性.24（2n）2n1解：

因为un1n1（2n）!

（2n1）!

2n1n1（2n1）!

（2n2）!

2n3unn1（2n1）2n（6n5）32）（2n3）（2n2）（2n3）2（2n所以由拉贝判别法可知级数收敛.ln1定理3.1.2（对数判别法）：

设正项级数an若limanq，当q1时，级数anlnnn1nn1收敛；

当q1时，级数an发散.n1证明：

当q1时，可取00，使q10，故存在自然数N，使得当nN时，ln1an1110，由此推知an1（nN），从而an收敛，同理可有0，故n10lnnannn1以考虑当q1的情况.推论：

设正项级数an，且limnlnanl，则

（1）当l1时，级数收敛；

（2）n1nan1当l1时，级数发散.证明：

当l1时，则存在p1，使得lp1，由limnlnanl知对=lp0存nan14N时，有nanllppn在正整数N，使得当n，由数列单调递增且（）11an1nn1趋于e知对一切正整数n有1e.于是当nN时有nnpppan11n11an1nnp，而级数np当p1时收an1nnann1（n1）pn1敛，所以级数n1an收敛.例3.1.2：

讨论级数n!

（x0）的敛散性.n1（x1）（x2）（xn）解：

anxn11x，limnlnanlimnln1xx，由对数判别an1n1n1nan1nn1法知当x1时级数收敛；

当x1时级数发散；

当x1时，由于级数1是发散的，n1所以原级数发散.定理3.1.3（双比值判别法）：

设正项级数an，若lim2nlima2n1，则当l1nn1级数an收敛；

当l时级数an发散.n1n1证明：

当l1，使得l，根据极限定义，应有正整数N，时，可以选取正数2得当nN时，有a2na2n1，又因为0，可选nn1实数s1，使得rn2s，令bnns，则n1s，（因为s1，级数n1ns）且iml2nml1s，由极限的基本性质，对充分大的n有b2n1r成立，nnn因为01b2nb2n1a2n1，故有s，对充分大的n，有下面的不等式成立an1bnbn1b2n2n，那么可知级数an收敛.nsn例3.1.3：

讨论级数n2的敛散性.n1ena2n（2n）2en44解：

e2nn2e2nne（21）nan522a2n1（2n1）2en1212nnnan12n12ne（n1）e2n1n12nnenn故lima2nlima2n101，由双比值判别法知级数收敛.nannan123.2以级数1为比较级数建立的其他判别法n2n（lnn）p111p取何值，对于级数n2n（lnn）p，设f（x）x（lnx）p，则f（n）n（lnn）p，可见不论函数f（x）1在1，上都是非负减函数，那么由积分判别法可知，1与x（lnx）pn2n（lnn）p1则1pdx同时收敛或同时发散x（lnx）dx1pdxlimu1x（lnx）1x（lnx）pu.令tlnx，此时无穷积分的上下限分别为0和lnu，limlnudtlim（lnu）1p0tp1p，此时lnu是趋向于uu的，所以当p时无穷积分1dx收敛于0，当p1时1dx发散，当11x（lnx）1x（lnx）p1时，无穷积分也是发散的，所以，当p1时级数1收敛，当p1时级数n2n（lnn）p1发散.n2n（lnn）p本节中给出的三个常用的判别法，都是以1为比较级数建立起来的，它们分n2n（lnn）p别是新判别法、高斯判别法和拟对数判别法.定理3.2.1（新判别法）：

设给定正项级数an，如果n2limlnnan1limlnnan11rln22a2nln22a2n1nnlimlnnan1limlnnan11rln22a2nln22a2n1nn，则当r1时级数an收敛；

当r1时级数an发散.n2n2该定理的证明过程十分冗长复杂，由于篇幅所限，这里不再赘述.6例3.2.1：

讨论级数1的敛散性.

（1）nn2ln（lnn）3nn证明：

an3lnln（2n）132nlnn2a2n1，n为奇数；

an1lnln（2n）132nlnn2a2n11ln（2n）1，n为偶数.an12a2n1an12a2n1最终得到12n12（n31）12n12（n31）limlnnannln22a2n2n1nlnlnn11，n为奇数；

11lnln（2n）2n1n1lnn1，n为偶数.1limlnnan11ln3且nln22a2n1limlnnan1limlnnan11ln3，由定理3.2.1nln22a2nnln22a2n1可知级数收敛.定理3.2.2（高斯判别法）：

设正项级数an，如果lim（lnn）n1an1r，n2nan则当r1时，级数an收敛；

当r1时，级数an发散.1n1证明：

若r1，则存在s1，使rS1，且存在自然数N，当nN时，有（lnn）1an1s，即an111.另外，记bn1（sm1），anannn（lnn）n（lnn）m则bn111，故an1bn1，从而由bn收敛，推知an收敛.bnnn（lnn）nlnnanbnn2n2例3.2.2：

讨论级数10）的敛散性.（xn1（x1）（x2）（xn）解：

因为n1ann1nx，所以ann11an11nx1（x1）n1，这样的话anxnlim（lnn）1anlim（lnn）（x1）nx1，由高斯判别法可知级数ann11（x0）收敛.n1（x1）（x2）（xn）1ln定理3.2.3（拟对数判别法）：

设an是正项级数，如果limnanq，则当q1ln（lnn）2n时级数收敛；

当q1时级数发散.7证明：

当q1时，可取0，使得q1，由极限的保号性可知，存在自然数N，1ln11当nN时，总有nan，即lnln（lnn），所以（lnn），由此ln（lnn）nannan1，从而由1的收敛性及比较判别法知an收敛.当q1可得an2n（lnn）1n（lnn）1n2ln1nan11时，存在自然数N，对一切nN总有1于是an，而发散，nlnnn2nlnnln（lnn）从而an发散.n2例3.2.3：

讨论级数a）的敛散性.2na

（1）nln（lnn）1）n解：

lim（ln（lnn）lnalna，由拟对数判别法，当ae时lna1，级数nln（lnn）11

（1）nln（lnn）（a1）收敛；

当ae时lna1，级数na

（1）nln（lnn）a）发散.n2na4一些正项级数敛散性判别法之间强弱性的比较在上一节中，分别以p级数1和级数1作为比较级数，又给出了判别正n1npn2n（lnn）p项级数敛散性的拉贝、对数、双比值、高斯、拟对数判别法以及新的判别法，自然会让人思考这些新判别法相互之间的强弱关系，在这一节中，将具体给出这些判别法间强弱性的比较.4.1以级数1为比较级数建立的判别法之间强弱性的比较n1np4.1.1双比值判别法与拉贝判别法的比较命题4.1.1：

能用拉贝判别法判别的正项级数一定能用双比值判别法来判断，但反过来不成立，由此说明双比值判别法要强于拉贝判别法.如下例：

例4.1.1：

设有正项级数2n

（1）n，讨论其敛散性.n1解：

lima2n

（1）n，且lima2n1

（1）n1lim2n10lim2n10所以由双比值判别法知正nann2nan1n2n项级数2n

（1）n收敛.但是an12

（1）n1，当n为奇数时，值为1，当n为偶数时，值n1an21

（1）88为2，故极限limn1an1不存在，因此不能用拉贝判别法来判断敛散性.nan4.1.2对数判别法与拉贝判别法的比较命题4.1.2：

能用拉贝判别法判别的正项级数一定能用对数判别法判别，但反过来不成立，由此说明对数判别法要强于拉贝判别法.如下例：

例4.1.2：

设有正项级数3

（1）nlnn，讨论其敛散性.1n

（1）nlnnln3解：

limnlim，故级数

（1）nnn收敛.但是，nnnnn31当n为奇数时，an1n；

当n为偶数时，anln11.故有nnlimn1an1，且limnn1，可见用拉贝判别法并不能判别级数nnn3

（1）nnn的敛散性.n14.1.3对数判别法与双比值判别法的比较命题4.1.3：

能用双比值判别法判别的正项级数也一定能用对数判别法来判别，但反过来不成立，由此说明对数判别法要强于双比值判别法.如下例：

n例4.1.3：

讨论级数alnn

（1）（a1）的敛散性.n1解：

当n为奇数时，a2naanaln2n

（1）2naln22；

当n为偶数时，lnn

（1）na2naanaln2n

（1）2nlnn

（1）naln2.故lima2n不存在，从而双比值判别法失效，但是nanln1lnalnn1（lnn

（1）n）lna，由对数判别法可知：

当limana时，limlimenlnnnlnnnlnnlna1，级数alnn

（1）n（a1）收敛；

当ae时，lna1，级数alnn

（1）n（a1）发n1n1散；

当ae时，alnn

（1）nelnn

（1）n为调和级数，故级数发散.n1n1可见，例4.1.3是例4.1.2的一般形式，但是不论用双比值判别法还是拉贝判别法都无法解决，显示出对数判别法的优越性.94.2以p级数1建立的判别法与以等比级数aqn建立的判别法的比较n1npn0关于两个正项级数敛散快慢比较的问题（同收敛或同发散），在许多著作中，通常都有这样一个定义：

设正项级数n和bn都收敛，如果liman0，就称bn比n收敛较慢；

n设正项级数n和bn都发散，如果limn0，就称bn比n发散较慢.an所以，根据这个定义，我们来比较一下等比级数和p级数的收敛快慢：

anr则limnimnplimpnp1如此连续bnnrrln（r使用洛必达法则，可以发现该极限值为0，那么，由上述定义可是，p级数要比等比级数收敛较慢，这样便说明了以p级数为比较级数建立起来的拉贝判别法，要比以等比级数为比较级数建立的比式、根式判别法更加优越.但是，尽管以p级数为比较级数建立的拉贝判别法相对比式判别法和根式判别法的使用范围变得广泛了，但当出现“”时仍不能判断敛散性，所以，拉贝判别法也是有它的局限性的.13（2n1）s如例：

讨论级数，当s1,2,3时的敛散性.24（2n）13（2n1）（2n1）s先用比式判别法：

limun124（2n）（2n2）2n1snun13（2n1）2n224（2n）s，此时无论s为1,2,3中的何值，该极限都是1，那么比值判别法失效了.再用拉贝判别法：

当s1时，n1un1n12n1n1，级数发散；

un2n22n22un12n12n（4n3）当s1，所以可知此时拉贝判别法失2时，n1n1（2n2）2un2n233，由拉贝效；

当s3时，n1un1n12n1n（12n218n7）判别法un2n2（2n2）32可知该级数收敛.4.3以级数1为比较级数建立的判别法之间强弱性的比较n2n（lnn）p4.3.1新判别法与高斯判别法的比较在第三节中，介绍了一种以级数1为比较级数建立的新判别法，这里我们把n2n（lnn）p它和高斯判别法进行比较，来说明新的判别法在使用上比高斯判别法范围更广.10命题4.2.1：

凡是能用高斯判别法判别敛散性的正项级数都能用这种新方法来判别敛散性，但反过来不成立，由此可知新判别法要强于高斯判别法.如下例：

例4.2.1：

讨论级数1的敛散性.

（1）nn2ln（lnn）3nnann111lnln（n1）证明：

由于3n1nlnn，当n为奇数时；

an1nann111lnln（lnn）3n1nlnn，当n为偶数时.an1n因此可求得：

lim（lnn）nan11且lim（lnn）nan11anan1n1n于是可见高斯判别法已经失效，但是，an3lnln（2n）132nlnn2a2n1，n为奇数；

a