数学教案 4升510 重叠问题文档格式.docx

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在他人的鼓励和引导下，体验克服困难、解决问题的过程，相信自己能够学好数学。

教学重点、难点

教学重点：

理解重叠问题，会画图分析其中关系，正确的找出答案。

教学难点：

根据题意正确的画出示意图，帮助理解题意。

教学准备

动画多媒体语言课件，圆形纸片若干张

第一课时

复备内容及讨论记录

教学过程

说明：

留给备课教师在备课时填写自己上课所需内容.

一、激趣导入

师：

欢迎大家来到课堂，大家天天来上课，你对了解多少呢？

这节课老师就为大家详细介绍一下。

（播放导入）

二、呈现问题

（一）呈现问题1

例1：

数学在某市有四所直营校区，分别为A区、B区、C区和D区，李老师要从A区经B区到C区授课行12千米路程，秦老师要从D区经C区到B区授课行19千米路程，已知A区经B区、C区到D区共25千米。

你知道数学该市直营校B区离C区有多远吗？

1.学生读题后，教师引导学生画图。

你能根据题意画出图形吗？

（学生根据题意画出图形）

2.教师适时播放解析，师生共同分析。

从A区经B区到C区包括哪些路段？

你能用式子表示出这些路段之和吗？

生：

AB＋BC＝12千米。

从D区经C区到B区包括把哪些路段？

CD＋BC＝19千米。

题中“已知A区经B区、C区到D区共25千米”这句话怎么用式子表示？

AB＋BC＋CD＝25千米。

观察这三个式子：

AB＋BC＝12千米

CD＋BC＝19千米

AB＋BC＋CD＝25千米

你有什么发现？

前两个式子之和减去第三个式子就是BC。

3.学生独立完成解答，然后集体交流。

答案：

12＋19－25＝6（千米）

答：

直营校B区离C区6千米。

（二）呈现问题2

例2：

直营校选取精英班优秀生参加“数学之星”展示活动，参加活动的同学来自若干个学校。

其中某市直营校A区和B区的共有70人参加，考生中有180人不是来自直营校A区的，有160人不是来自直营校B区的。

参加“数学之星”展示活动的考生共多少人？

1.学生读题后，师生共同分析题意。

参加活动的学生来自哪些校区？

来自直营校A区和B区，还有其他学校的。

对，那么题中说“考生中有180人不是来自直营校A区的”是什么意思？

意思是说B区和其他学校的共180人。

大家理解的完全正确。

那么，“有160人不是来自直营校B区的”又是什么意思呢？

意思是说A区和其他学校的共160人。

现在请大家用关系式表示出这些数量关系。

2.学生写出数量关系式，观察关系式找解决问题的突破口。

你写出了哪些关系式？

A区＋B区=70人

B区+其他校区=180人

A区+其他校区=160人

题中要求参加“数学之星”展示活动的考生共多少人，现在我们已知A区＋B区=70人，还需要求出什么？

还需要知道其他校区有多少人参加。

大家观察我们刚才得到的这三个关系式，怎么求出其他学校的参赛人数呢？

大家同桌交流一下。

我发现下面的两个关系式之和是减去“A区＋B区”就是“其他校区”人数的2倍。

大家观察真是敏锐，现在请你独立列式解答。

3.学生解答，教师指定学生板演并讲解。

（160＋180－70）÷

2＝135（人）

135＋70＝205（人）

参加“数学之星”展示活动的考生共205人。

3.师生小结。

本题和例1解决问题的方法有什么相同之处？

都是根据题意写出关系式，然后观察式子之间的关系，求出目标量。

对，这需要我们善于观察，乐于思考，下面我们继续来看例3.

（三）呈现问题3

例3：

第一考场做对第一题的学生有28人，做对第二题的有17人，两题都没做对的有3人，第一考场共35人，两题都做对的有多少人？

1.学生读题，根据题意画出图示。

之前大家有没有见到过类似的问题？

…

我们是用什么方法解决的呢？

画图再观察分析。

对了，那么你能根据题意画出图示吗？

（学生尝试画图，教师巡视指导，指定一名学生上台画图）

2.师生根据图示共同分析问题。

你能说出图中每一部分表示什么意思吗？

（教师指着图让学生说一说）

师提问：

做对第1题、做对第2题和两题都做错的共多少人？

28＋17＋3＝48（人）。

为什么这些人比总人数多呢？

多了哪一部分？

（学生同桌交流探讨，然后集体交流）

28人中把两题都做对的人算了一遍，17人中把两题都做对的人又算了一遍，所以在算总人数过程中，把两题都最对的人多算了一遍，这就会导致这些人的总和比总人数多，多出来的就是多算了一遍算对了两道题的人数。

3.学生独立完成解答。

28＋17＋3－35＝13（人）

两题都做对的有13人。

4.学生同桌之间互相讲解巩固。

三、拓展问题

（一）拓展问题2

2.在一次测试中老师发现做对第一题的学生有28人，做对第二题的有17人，两题至少有一题做对的有34人，两题都做对的有多少人？

（本题是例3的同类型题，比例3更简单一点，学生尝试独立完成，然后集体交流，让学生画图并讲解出解答思路）

你是怎么理解“两题至少有一题做对的有34人”这句话的？

使学生明确：

“两题至少有一题做对”包括三种情况：

只做对第1题的，只做对第二题的和两题都做对的。

你是怎样解答的？

为什么这样解答？

做对一题的把两题都做对的人数算了一遍，做对两题的把两题都做对的人数又算了一遍，所以28＋17比总人数多，因为把两题都做对的人数多算了1遍。

多算的人数就是两题都做对的人数。

28＋17－34＝11（人）

两题都做对的有11人。

（二）拓展问题3

3.学校举办跳蚤市场活动，其中180件商品不是六年级的，200件商品不是五年级的。

已知五、六年级共有220件商品，则其它年级共有多少件商品？

1.师生合作，分析题意（师生互动）

题目中说到“180件商品不是六年级的”，那应该是几年级的呢？

一、二、三、四、五年级。

那么“200件商品不是五年级的”，是几年级的呢？

一、二、三、四、六年级。

用图表示应怎么表示？

那么180件和200件有哪些年级被重复计数呢？

你能画图表示出来吗？

2.师生合作一起画出图形。

3.学生看图完成解答，指定学生讲解，教师对学生的回答给予恰当评价，回答错误要鼓励，回答正确要及时肯定。

根据题意和示意图可知，

一＋二＋三＋四＋五＝180件；

一＋二＋三＋四＋六＝200件；

五＋六＝220件

则上面的两个式子加起来，再减去“五＋六”就是“一＋二＋三＋四”的2倍。

（200＋180－220）÷

2＝80（件）

其它年级共有80件商品。

（三）拓展问题4

4.在1～200这200个自然数中，能被2或3整除的数有多少个？

1.学生读题，师生共同分析。

能被2整除是什么意思？

学生按照自己的理解说一说。

师讲解：

能被2整除的数就是2的倍数，例如能被2整除的有2,4,6,8，10,12,14,16,18，…

那么同学们能说出哪些数是3的倍数呢？

3的倍数有3,6,9,12,15,18，…

观察一下，你列的2的倍数和3的倍数，有没有既是2的倍数，又是3的倍数的数？

有，既是2的倍数，又是3的倍数的有6,12,18，…

大家观察的很仔细，那么1～200这200个自然数中，有多少个数是2的倍数？

有多少个数是3的倍数？

有多少个数既是2的倍数，又是3的倍数？

2.学生小组讨论，然后集体汇报交流。

我发现1～200这200个自然数中，每2个数中就有1个2的倍数，每3个数中就有1个3的倍数，既是2的倍数，又是3的倍数肯定是6的倍数，每6个数中就有1个6的倍数。

所以，2的倍数有100个，3的倍数有66个，既是2的倍数又是3的倍数有33个。

知道了各倍数的个数，你能画图表示题意并完成解答吗？

200÷

2=100

3=66……2

6＝33……2

100＋66－33＝133（个）

能被2或3整除的数有133个。

三、课堂小结

本节课我们学习了两种分类的重叠问题，怎样解决这类问题？

先根据题意画图或列出关系式，观察后计算。

非常好，看来大家已经掌握了解决这类问题的方法，这节课先到这，大家休息一下。

第二课时

一、过渡语

本讲我们继续学习重叠问题，重叠顾名思义就是有重复。

下面我们来看例4。

二、合作探究

（一）呈现问题4

例4：

将边长为正整数n的正方形平均分成n2个小正方形，每个小正方形的顶点称为格点。

例如：

图A中的格点是边长为2的正方形的格点的情况。

（通过引导，使学生充分理解题意）

先读题中前两行，说一说你是怎么理解正方形的格点的？

你能画出边长是1的正方形的格点吗？

（学生画一画）

请你再画一个边长是3的正方形的格点。

（学生画完后教师出示课件上边长为1、边长为3、边长为5的正方形的格点）

大家继续读题，看看我们需要做什么。

图B中，在边长为12的正方形中有四个完全相同的直角三角形，如果三角形的一条直角边是3，那么这四个三角形各边共经过多少个格点？

（每个格点只计一次）

1.学生读题，分析题意。

直角三角形的两条直角边分别多长？

每条直角边分别经过了几个格点？

因为正方形边长12，正好分成了2条较长的直角边，所以直角三角形较长的直角边长是6，题中说另一条直角边的长是3。

大家观察的很仔细，判断也完全正确，下面我们来看每个直角三角形格点情况。

2.师生共同分析。

大家看图C，这是一个三角形经过格点的情况。

数一数，每个三角形经过了几个格点？

每个三角形经过了12个格点。

要求图B中4个三角形经过的格点数，你有什么想法？

大家小组讨论交流。

3.学会小组讨论交流，然后集体汇报交流。

生1：

可以先算出4个三角形共有4×

12个格点数，去掉重复计数的格点，就是这四个三角形各边共经过的格点数。

生2：

我是直接考虑的，这四个直角三角形的边如下图所示，只要考虑这四条边经过的格点数即可。

如果有重复，也要去掉重复的格点数。

两组同学的思路都很清晰，你能根据他们的思路列出算式求出格点数吗？

试试看。

4.学生独立完成，然后集体交流。

方法1：

12×

4－3×

4－3=33（个）

共经过33个格点。

方法2：

（12＋1）×

2＋2×

4－1＝33（个）

（五）呈现问题5

例5：

小佳、小依、小乐三人各剪了一个圆形纸片A、B、C，其面积分别为8平方厘米、9平方厘米、10平方厘米，并将它们重叠放在课桌上（如图）。

已知A与B，B与C，C与A公共部分的面积分别是5平方厘米、3平方厘米、4平方厘米，A、B、C三张纸片公共部分（阴影部分）的面积是2平方厘米。

则三个圆盖住桌面的面积是多少平方厘米？

1.学生读题，理解题意。

题中告诉了我们哪些信息？

A、B、C，其面积分别为8平方厘米、9平方厘米、10平方厘米，A与B，B与C，C与A公共部分的面积分别是5平方厘米、3平方厘米、4平方厘米，A、B、C三张纸片公共部分（阴影部分）的面积是2平方厘米。

你能指出哪些部分是A与B公共部分？

哪些部分是B与C公共部分？

哪些部分是C与A公共部分？

哪些部分是A、B、C三张纸片公共部分？

（指定学生分别指一指各部分）

现在要求“三个圆盖住桌面的面积是多少平方厘米”，你能指出是求出哪块面积吗？

（使学生充分理解问题）

2.师生共同分析，给各小组发放纸片，小组探究。

现在大家把纸片按照题中的图摆放出来，三个圆的面积已知，它们的面积之和比所求多了哪些部分？

怎么去除这些多余的部分？

（学生小组探究）

有的部分重合了2层，有的部分重合了3层。

我们如何去掉这些重复计算的部分呢？

重复计算的就得减去，因为A与B，B与C，C与A公共部分的面积已知，且被重复计算，我们减去，但中间3层的部分就被剪了3次，没有了，所以再加上。

大家理解的非常到位，现在请你独立完成计算。

3.学生独立计算，然后同桌互相讲解，加深理解。

8＋9＋10－5－4－3＋2＝17（平方厘米）

三个圆盖住桌面的面积是17平方厘米。

4.教师小结：

数形结合分析问题，重复部分减去遗漏部分加上，做到不重复不遗漏。

（一）拓展1

1.六

（1）班一共有48人，每人至少订阅一种报刊，其中的人订阅《小学生数学报》，的同学订阅《小学生语文学习》，两种都订的有多少人？

1.学生读题，师生分析题意，教师适时出示解析。

分数表示什么意思？

把单位“1”平均分成6份，取其中的5份。

那么全班的表示什么意思？

是多少人呢？

把全班人数平均分成6份，取其中的5份。

是48÷

6×

5＝40（人）。

那你能求出全班的有多少人吗？

48÷

4×

3＝36（人）。

现在问题就转化为“六

（1）班一共有48人，其中40人订阅《小学生数学报》，36位同学订阅《小学生语文学习》，两种都订的有多少人？

”大家会做了吗？

2.学生独立完成，指定学生讲解。

5＝40（人）

3＝36（人）

36＋40－48＝28（人）

两种都订的有28人。

（五）拓展5

5.有三个形状相同的圆形纸片，面积都是90平方厘米，重叠在一起（如图），盖住桌面的总面积是150平方厘米，三张纸片重叠的面积是28平方厘米，那么图中三个阴影部分面积和是多少平方厘米？

师提示：

3个圆的总面积是多少？

多余的面积是哪些部分？

怎么才能得到去掉多余的面积？

（学生思考，教师适时出示解析讲解）

90×

3－150－28×

2＝64（平方厘米）

图中三个阴影部分面积和是64平方厘米。

四、拓展视野

某调查公司对甲、乙、丙三部电影的收看情况向125人进行调查，有89人看过甲片，有47人看过乙片，有63人看过丙片，其中有24人三部电影都看过，20人一部也没有看过，则只看过其中两部电影的人数是多少人？

你能画图表示题意吗？

小组合作试一试。

（学生小组画图）

图中各部分表示什么意思？

哪些部分是重合的？

重合了几次？

只看过其中两部电影的人数对应图中哪块的面积?

（学生指一指）

怎样求出这部分的面积？

2.学生小组合作，探讨交流，教师适时出示解析。

125－20＝105（人）

89＋47＋63－105－24×

2＝46（人）

只看过其中两部电影的是46人。

五、小结

路线重叠问题

1.重叠问题人数重叠问题

面积重叠问题

2.解决方法：

结合题意画出示意图帮助分析，计数时注意不重复不遗漏。

例题答案：

6千米

205人

13人

33个

17平方厘米

拓展问题答案：

1.28人

2.11人

3.80件

4.133个

5.64平方厘米