数学教案 4升510 重叠问题文档格式.docx
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在他人的鼓励和引导下,体验克服困难、解决问题的过程,相信自己能够学好数学。
教学重点、难点
教学重点:
理解重叠问题,会画图分析其中关系,正确的找出答案。
教学难点:
根据题意正确的画出示意图,帮助理解题意。
教学准备
动画多媒体语言课件,圆形纸片若干张
第一课时
复备内容及讨论记录
教学过程
说明:
留给备课教师在备课时填写自己上课所需内容.
一、激趣导入
师:
欢迎大家来到课堂,大家天天来上课,你对了解多少呢?
这节课老师就为大家详细介绍一下。
(播放导入)
二、呈现问题
(一)呈现问题1
例1:
数学在某市有四所直营校区,分别为A区、B区、C区和D区,李老师要从A区经B区到C区授课行12千米路程,秦老师要从D区经C区到B区授课行19千米路程,已知A区经B区、C区到D区共25千米。
你知道数学该市直营校B区离C区有多远吗?
1.学生读题后,教师引导学生画图。
你能根据题意画出图形吗?
(学生根据题意画出图形)
2.教师适时播放解析,师生共同分析。
从A区经B区到C区包括哪些路段?
你能用式子表示出这些路段之和吗?
生:
AB+BC=12千米。
从D区经C区到B区包括把哪些路段?
CD+BC=19千米。
题中“已知A区经B区、C区到D区共25千米”这句话怎么用式子表示?
AB+BC+CD=25千米。
观察这三个式子:
AB+BC=12千米
CD+BC=19千米
AB+BC+CD=25千米
你有什么发现?
前两个式子之和减去第三个式子就是BC。
3.学生独立完成解答,然后集体交流。
答案:
12+19-25=6(千米)
答:
直营校B区离C区6千米。
(二)呈现问题2
例2:
直营校选取精英班优秀生参加“数学之星”展示活动,参加活动的同学来自若干个学校。
其中某市直营校A区和B区的共有70人参加,考生中有180人不是来自直营校A区的,有160人不是来自直营校B区的。
参加“数学之星”展示活动的考生共多少人?
1.学生读题后,师生共同分析题意。
参加活动的学生来自哪些校区?
来自直营校A区和B区,还有其他学校的。
对,那么题中说“考生中有180人不是来自直营校A区的”是什么意思?
意思是说B区和其他学校的共180人。
大家理解的完全正确。
那么,“有160人不是来自直营校B区的”又是什么意思呢?
意思是说A区和其他学校的共160人。
现在请大家用关系式表示出这些数量关系。
2.学生写出数量关系式,观察关系式找解决问题的突破口。
你写出了哪些关系式?
A区+B区=70人
B区+其他校区=180人
A区+其他校区=160人
题中要求参加“数学之星”展示活动的考生共多少人,现在我们已知A区+B区=70人,还需要求出什么?
还需要知道其他校区有多少人参加。
大家观察我们刚才得到的这三个关系式,怎么求出其他学校的参赛人数呢?
大家同桌交流一下。
我发现下面的两个关系式之和是减去“A区+B区”就是“其他校区”人数的2倍。
大家观察真是敏锐,现在请你独立列式解答。
3.学生解答,教师指定学生板演并讲解。
(160+180-70)÷
2=135(人)
135+70=205(人)
参加“数学之星”展示活动的考生共205人。
3.师生小结。
本题和例1解决问题的方法有什么相同之处?
都是根据题意写出关系式,然后观察式子之间的关系,求出目标量。
对,这需要我们善于观察,乐于思考,下面我们继续来看例3.
(三)呈现问题3
例3:
第一考场做对第一题的学生有28人,做对第二题的有17人,两题都没做对的有3人,第一考场共35人,两题都做对的有多少人?
1.学生读题,根据题意画出图示。
之前大家有没有见到过类似的问题?
…
我们是用什么方法解决的呢?
画图再观察分析。
对了,那么你能根据题意画出图示吗?
(学生尝试画图,教师巡视指导,指定一名学生上台画图)
2.师生根据图示共同分析问题。
你能说出图中每一部分表示什么意思吗?
(教师指着图让学生说一说)
师提问:
做对第1题、做对第2题和两题都做错的共多少人?
28+17+3=48(人)。
为什么这些人比总人数多呢?
多了哪一部分?
(学生同桌交流探讨,然后集体交流)
28人中把两题都做对的人算了一遍,17人中把两题都做对的人又算了一遍,所以在算总人数过程中,把两题都最对的人多算了一遍,这就会导致这些人的总和比总人数多,多出来的就是多算了一遍算对了两道题的人数。
3.学生独立完成解答。
28+17+3-35=13(人)
两题都做对的有13人。
4.学生同桌之间互相讲解巩固。
三、拓展问题
(一)拓展问题2
2.在一次测试中老师发现做对第一题的学生有28人,做对第二题的有17人,两题至少有一题做对的有34人,两题都做对的有多少人?
(本题是例3的同类型题,比例3更简单一点,学生尝试独立完成,然后集体交流,让学生画图并讲解出解答思路)
你是怎么理解“两题至少有一题做对的有34人”这句话的?
使学生明确:
“两题至少有一题做对”包括三种情况:
只做对第1题的,只做对第二题的和两题都做对的。
你是怎样解答的?
为什么这样解答?
做对一题的把两题都做对的人数算了一遍,做对两题的把两题都做对的人数又算了一遍,所以28+17比总人数多,因为把两题都做对的人数多算了1遍。
多算的人数就是两题都做对的人数。
28+17-34=11(人)
两题都做对的有11人。
(二)拓展问题3
3.学校举办跳蚤市场活动,其中180件商品不是六年级的,200件商品不是五年级的。
已知五、六年级共有220件商品,则其它年级共有多少件商品?
1.师生合作,分析题意(师生互动)
题目中说到“180件商品不是六年级的”,那应该是几年级的呢?
一、二、三、四、五年级。
那么“200件商品不是五年级的”,是几年级的呢?
一、二、三、四、六年级。
用图表示应怎么表示?
那么180件和200件有哪些年级被重复计数呢?
你能画图表示出来吗?
2.师生合作一起画出图形。
3.学生看图完成解答,指定学生讲解,教师对学生的回答给予恰当评价,回答错误要鼓励,回答正确要及时肯定。
根据题意和示意图可知,
一+二+三+四+五=180件;
一+二+三+四+六=200件;
五+六=220件
则上面的两个式子加起来,再减去“五+六”就是“一+二+三+四”的2倍。
(200+180-220)÷
2=80(件)
其它年级共有80件商品。
(三)拓展问题4
4.在1~200这200个自然数中,能被2或3整除的数有多少个?
1.学生读题,师生共同分析。
能被2整除是什么意思?
学生按照自己的理解说一说。
师讲解:
能被2整除的数就是2的倍数,例如能被2整除的有2,4,6,8,10,12,14,16,18,…
那么同学们能说出哪些数是3的倍数呢?
3的倍数有3,6,9,12,15,18,…
观察一下,你列的2的倍数和3的倍数,有没有既是2的倍数,又是3的倍数的数?
有,既是2的倍数,又是3的倍数的有6,12,18,…
大家观察的很仔细,那么1~200这200个自然数中,有多少个数是2的倍数?
有多少个数是3的倍数?
有多少个数既是2的倍数,又是3的倍数?
2.学生小组讨论,然后集体汇报交流。
我发现1~200这200个自然数中,每2个数中就有1个2的倍数,每3个数中就有1个3的倍数,既是2的倍数,又是3的倍数肯定是6的倍数,每6个数中就有1个6的倍数。
所以,2的倍数有100个,3的倍数有66个,既是2的倍数又是3的倍数有33个。
知道了各倍数的个数,你能画图表示题意并完成解答吗?
200÷
2=100
3=66……2
6=33……2
100+66-33=133(个)
能被2或3整除的数有133个。
三、课堂小结
本节课我们学习了两种分类的重叠问题,怎样解决这类问题?
先根据题意画图或列出关系式,观察后计算。
非常好,看来大家已经掌握了解决这类问题的方法,这节课先到这,大家休息一下。
第二课时
一、过渡语
本讲我们继续学习重叠问题,重叠顾名思义就是有重复。
下面我们来看例4。
二、合作探究
(一)呈现问题4
例4:
将边长为正整数n的正方形平均分成n2个小正方形,每个小正方形的顶点称为格点。
例如:
图A中的格点是边长为2的正方形的格点的情况。
(通过引导,使学生充分理解题意)
先读题中前两行,说一说你是怎么理解正方形的格点的?
你能画出边长是1的正方形的格点吗?
(学生画一画)
请你再画一个边长是3的正方形的格点。
(学生画完后教师出示课件上边长为1、边长为3、边长为5的正方形的格点)
大家继续读题,看看我们需要做什么。
图B中,在边长为12的正方形中有四个完全相同的直角三角形,如果三角形的一条直角边是3,那么这四个三角形各边共经过多少个格点?
(每个格点只计一次)
1.学生读题,分析题意。
直角三角形的两条直角边分别多长?
每条直角边分别经过了几个格点?
因为正方形边长12,正好分成了2条较长的直角边,所以直角三角形较长的直角边长是6,题中说另一条直角边的长是3。
大家观察的很仔细,判断也完全正确,下面我们来看每个直角三角形格点情况。
2.师生共同分析。
大家看图C,这是一个三角形经过格点的情况。
数一数,每个三角形经过了几个格点?
每个三角形经过了12个格点。
要求图B中4个三角形经过的格点数,你有什么想法?
大家小组讨论交流。
3.学会小组讨论交流,然后集体汇报交流。
生1:
可以先算出4个三角形共有4×
12个格点数,去掉重复计数的格点,就是这四个三角形各边共经过的格点数。
生2:
我是直接考虑的,这四个直角三角形的边如下图所示,只要考虑这四条边经过的格点数即可。
如果有重复,也要去掉重复的格点数。
两组同学的思路都很清晰,你能根据他们的思路列出算式求出格点数吗?
试试看。
4.学生独立完成,然后集体交流。
方法1:
12×
4-3×
4-3=33(个)
共经过33个格点。
方法2:
(12+1)×
2+2×
4-1=33(个)
(五)呈现问题5
例5:
小佳、小依、小乐三人各剪了一个圆形纸片A、B、C,其面积分别为8平方厘米、9平方厘米、10平方厘米,并将它们重叠放在课桌上(如图)。
已知A与B,B与C,C与A公共部分的面积分别是5平方厘米、3平方厘米、4平方厘米,A、B、C三张纸片公共部分(阴影部分)的面积是2平方厘米。
则三个圆盖住桌面的面积是多少平方厘米?
1.学生读题,理解题意。
题中告诉了我们哪些信息?
A、B、C,其面积分别为8平方厘米、9平方厘米、10平方厘米,A与B,B与C,C与A公共部分的面积分别是5平方厘米、3平方厘米、4平方厘米,A、B、C三张纸片公共部分(阴影部分)的面积是2平方厘米。
你能指出哪些部分是A与B公共部分?
哪些部分是B与C公共部分?
哪些部分是C与A公共部分?
哪些部分是A、B、C三张纸片公共部分?
(指定学生分别指一指各部分)
现在要求“三个圆盖住桌面的面积是多少平方厘米”,你能指出是求出哪块面积吗?
(使学生充分理解问题)
2.师生共同分析,给各小组发放纸片,小组探究。
现在大家把纸片按照题中的图摆放出来,三个圆的面积已知,它们的面积之和比所求多了哪些部分?
怎么去除这些多余的部分?
(学生小组探究)
有的部分重合了2层,有的部分重合了3层。
我们如何去掉这些重复计算的部分呢?
重复计算的就得减去,因为A与B,B与C,C与A公共部分的面积已知,且被重复计算,我们减去,但中间3层的部分就被剪了3次,没有了,所以再加上。
大家理解的非常到位,现在请你独立完成计算。
3.学生独立计算,然后同桌互相讲解,加深理解。
8+9+10-5-4-3+2=17(平方厘米)
三个圆盖住桌面的面积是17平方厘米。
4.教师小结:
数形结合分析问题,重复部分减去遗漏部分加上,做到不重复不遗漏。
(一)拓展1
1.六
(1)班一共有48人,每人至少订阅一种报刊,其中的人订阅《小学生数学报》,的同学订阅《小学生语文学习》,两种都订的有多少人?
1.学生读题,师生分析题意,教师适时出示解析。
分数表示什么意思?
把单位“1”平均分成6份,取其中的5份。
那么全班的表示什么意思?
是多少人呢?
把全班人数平均分成6份,取其中的5份。
是48÷
6×
5=40(人)。
那你能求出全班的有多少人吗?
48÷
4×
3=36(人)。
现在问题就转化为“六
(1)班一共有48人,其中40人订阅《小学生数学报》,36位同学订阅《小学生语文学习》,两种都订的有多少人?
”大家会做了吗?
2.学生独立完成,指定学生讲解。
5=40(人)
3=36(人)
36+40-48=28(人)
两种都订的有28人。
(五)拓展5
5.有三个形状相同的圆形纸片,面积都是90平方厘米,重叠在一起(如图),盖住桌面的总面积是150平方厘米,三张纸片重叠的面积是28平方厘米,那么图中三个阴影部分面积和是多少平方厘米?
师提示:
3个圆的总面积是多少?
多余的面积是哪些部分?
怎么才能得到去掉多余的面积?
(学生思考,教师适时出示解析讲解)
90×
3-150-28×
2=64(平方厘米)
图中三个阴影部分面积和是64平方厘米。
四、拓展视野
某调查公司对甲、乙、丙三部电影的收看情况向125人进行调查,有89人看过甲片,有47人看过乙片,有63人看过丙片,其中有24人三部电影都看过,20人一部也没有看过,则只看过其中两部电影的人数是多少人?
你能画图表示题意吗?
小组合作试一试。
(学生小组画图)
图中各部分表示什么意思?
哪些部分是重合的?
重合了几次?
只看过其中两部电影的人数对应图中哪块的面积?
(学生指一指)
怎样求出这部分的面积?
2.学生小组合作,探讨交流,教师适时出示解析。
125-20=105(人)
89+47+63-105-24×
2=46(人)
只看过其中两部电影的是46人。
五、小结
路线重叠问题
1.重叠问题人数重叠问题
面积重叠问题
2.解决方法:
结合题意画出示意图帮助分析,计数时注意不重复不遗漏。
例题答案:
6千米
205人
13人
33个
17平方厘米
拓展问题答案:
1.28人
2.11人
3.80件
4.133个
5.64平方厘米