高考七大高频考点例析教学案苏教版选修Word格式.docx

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即斜率k=3.

所以切线方程为y—2=3（x—1），即3x—y—1=0.

3x—y—1=0

3.如果曲线y=x4—x在点P处的切线垂直于直线y=—3X，那么点P的坐标为

由y'

=4x3—1,当y'

=3时，有4x3—1=3,可解得x=1,此时，点P的坐标

为（1,0）.

（1,0）

4.（北京高考）已知函数f（x）=x+xsinx+cosx.

（1）若曲线y=f（x）在点（a,f（a））处与直线y=b相切，求a与b的值；

（2）若曲线y=f（x）与直线y=b有两个不同交点，求b的取值范围.

解：

由f（x）=x+xsinx+cosx,得f'

（x）=x（2+cosx）,f（x）为偶函数.

（1）因为曲线y=f（x）在点（a,f（a））处与直线y=b相切，

所以f'

（a）=a（2+cosa）=0,b=f（a）.

解得a=0,b=f（0）=1.

⑵令f'

（x）=0，得x=0.

f（x）与f'

（x）的变化情况如下：

（—a,0）

（0，+a）

（X）

f（x）

所以函数f（x）在区间（一a,0）上单调递减，在区间（0,+^）上单调递增，f（0）=1是f（x）的最小值.

当bwi时，曲线y=f（x）与直线y=b最多只有一个交点；

当b>

1时，

f（—2b）=f（2b）>

4b—2b—1>

f（0）=1<

所以存在X1€（—2b,0）,X2€（0,2b），使得f（x”=f（X2）=b.

由于函数f（x）在区间（一a,0）和（0,+a）上均单调，所以当b>

1时曲线y=f（x）与直线y=b有且仅有两个不同交点.

综上可知，如果曲线y=f（x）与直线y=b有两个不同交点，那么b的取值范围是（1,

利用导数研究函数的单调性是导数最重要的应用之一•主要考查求函数的单调区间、证明或判断函数的单调性，在高考命题中，若以填空题的形式出现，难度则以中低档为主，若以解答题形式出现，难度则以中等偏上为主.

考指要

利用导数的符号判断函数的单调性是导数几何意义在研究曲线变化规律时的一个应用，它充分体现了数形结合思想•在利用导数讨论函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域，解决问题的过程中，只能在定义域内，通过讨论导数的符号，来判断函数的单调区间.

特别要注意写单调区间时，区间之间用“和”或“，”隔开，绝对不能用

“U”连接•

［例3］

（山东咼考）已知函数f（x）=ax+bx—Inx（a,b€R）.

⑴设a>

0,求f（x）的单调区间;

⑵设a>

0，且对任意x>

0,f（x）>

（1）.试比较Ina与—2b的大小.

［解］

（1）由f（x）=ax+bx—Inx,x€（0,+^）,

得f'

（x）=

2ax+bx—1

bx—1

①当a=0时，f（x）=.

（i）若b<

0,当x>

0时，f'

（x）<

0恒成立，

所以函数f（x）的单调递减区间是（0,+^）.

（ii）若b>

0,当0<

-时，f'

（x）<

0，函数f（x）单调递减；

1当x>

b时，f'

（x）>

0，函数f（x）单调递增.

所以函数f（x）的单调递减区间是JQ,bj,单调递增区间是£

+^!

②当a>

0时，令f'

（x）=0,

得2ax+bx—1=0.

由△=b2+8a>

0，得Ib-,b+8a,

当0<

x2时，f'

0，函数f（x）单调递减;

当x>

X2时，f'

0，函数f（x）单调递增.

所以函数f（x）的单调递减区间是0,

—b+e+七,单调递增区间是

—b+'

；

b+8a―.

综上所述,

⑵由题意知，函数f（x）在x=1处取得最小值.

—b+:

b+8a

丄是f（x）的唯一极小值点，

令g（x）=2—4x+In

1—4x

则g（x）=厂

令g'

（x）=0,得x=4

当0<

4时，g'

0,g（x）单调递增;

当x#时，g'

0,g（x）单调递减.因此g（x）vg4=1+|n4=1—|n4<

故g（a）<

0,即卩2-4a+Ina=2b+Ina<

即Ina<

—2b.

5•函数f（x）=ax3—x在R上为减函数，则a的取值范围是.

（x）=3ax2—1,vf（x）在R上为减函数，

•••f'

（x）W0在R上恒成立，•••aw0.

（—a,0］

6.函数f（x）=3x2—x3的单调递减区间为•

（x）=6x—3x2，令f'

0,则6x—3x2<

0,即x2—2x>

解之得x>

2或x<

所以该函数的单调减区间为（2,+a）,（—a,0）.

（2,+a）,（—a,0）

7•函数f（x）=x3—ax在［1,+a）上是增函数，则a的最大值是.

•••f'

（x）=3x—a,.・.f（x）在［1,+a）上是增函数，

•f'

（X）>

0在［1,+a）上恒成立，

即3x—a>

0,「.a<

3x,•aw3,即卩a的最大值为3.

8.（新课标全国卷n）已知函数f（x）=ex—e_x—2x.

（1）讨论f（x）的单调性；

（2）设g（x）=f（2x）—4bf（x），当x>

0时，g（x）>

0,求b的最大值；

（3）已知1.4142<

1.4143,估计ln2的近似值（精确到0.001）.

+a）单

x―x

（1）f'

（x）=e+e—2>

0,等号仅当x=0时成立.所以f（x）在（一a调递增.

（2）g（x）=f（2x）—4bf（x）=e2*—e—汰—4b（ex—e一x）+（8b—4）x,g'

（x）=2［e2x+e—2x—2b（ex+e—x）+（4b—2）］

=2（e+e—2）（e+e—2b+2）.

（i）当bw2时，g'

（x）>

0,等号仅当x=0时成立，所以g（x）在（—a,+a）单调递增.而g（0）=0,

所以对任意x>

0,g（x）>

（ii）当b>

2时，若x满足2<

ex+e—x<

2b—2,即0<

ln（b—1+.b2—2b）时

而g（0）=0,因此当0<

ln（b—1+b2—2b）时，g（x）<

综上，b的最大值为2.

（3）由⑵知，g（ln2）=2—22b+2（2b—1）ln2.

当b=2时，g（ln2）=I—42+6ln2>

8：

2—3

ln（b—1+\:

b—2b）=ln2,

g（ln2）=—|—22+（32+2）ln2<

ln2<

1828|2<

0.6934.

所以ln2的近似值为0.693.

利用导数研究函数的极值是高考对导数考查的一个重点内容，经常与函数单调性，函数图象的考查融合在一起，研究方程根的情况、不等式的证明等•本部分内容是高考的重点和热点•在高考试题中，既有填空题的形式，也有解答题的形式•基本上是中档或中档偏难题目.

利用导数研究函数的极值和最值应明确求解步骤，求解时切记函数的定义域，正确区分最值与极值不冋，函数的极值表示函数在一点附近的情况，是在局部对函数值比较大小•而最值是在整个区间上对函数值比较大小•函数的极值可以有多个，但最值只能有一个，极值只能在区间内取得，而最值还可以在端点处取得，最值只要不在端点处，必是一个极值.

［例4］（广东高考）设函数f（x）=（x—1）ex—kx2（k€R）.

（1）当k=1时，求函数f（x）的单调区间；

⑵当k€2，1时，求函数f（x）在［0,k］上的最大值M

[解]⑴当k=1时，

f（x）=（x-1）eX—x2,

，/xxxx

f（x）=e+（x—1）e—2x=xe—2x=x（e—2）,令f'

（x）=0,得xi=0,X2=In2.

当x变化时，f'

（x）,f（x）的变化如下表：

（—8,0）

（0,In2）

In2

（In2,+8）

（x）

—

极大值

极小值

由表可知，函数f（x）的递减区间为（0,In2），递增区间为（一8,0）,（In2,+^）.

xxx

⑵f（x）=e+（x—1）e—2kx=xe—2kx

=x（e—2k）,

令f'

（x）=0,得xi=0,X2=In（2k）,

令g（k）=In（2k）—k,贝Vg'

（k）=$—1=干》0,

所以g（k）在j1,1上递增，

€J

所以g（k）wIn2—1=In2—Ine<

从而In（2k）<

k，所以In（2k）€[0,k],

所以当x€（0,In（2k））时，f'

当x€（In（2k）,+8）时，f'

所以M=max{f（0）,f（k）}

=max{—1,（k—1）e—k}.

k3k

令h（k）=（k—1）e—k+1，则h'

（k）=k（e—3k）,

所以$（k）在21上递减，

令$（k）=e—3k,贝U$（k）=e—3we—3<

$（k）>

当k€（xo,1）时，$（k）<

0，所以$（k）在2,xo上单调递增，在（xo,1）上单调递减.

1当a>

0时，f'

0,因此f（x）的单调递增区间为（0,+^），这时函数无极值;

2（x+寸一a）（x—寸一a）

2当av0时，f'

（x）=x

当x变化时，f'

（x）,f（x）的变化情况如下：

（0,寸一a）

（a/一a,+s）

因此函数f（x）的单调递减区间是（0,一一a）,单调递增区间是Z-a,+^）.且当x=，—a时，函数f（x）有极小值f（、J—a）=—a+2aln_—a,无极大值.

10.已知函数f（x）=（x—k）e.

（1）求f（x）的单调区间；

（2）若对于任意的x€（0,+s），都有f（x）w-，求k的取值范围.

”，122X

⑴f（x）=（x-k）e.

（x）=0,得x=±

当k>

0时，f（x）与f'

（x）的情况如下:

（—g,—k）

—k

（一k,k）

（k,+g）

4k2e—1

所以，f（x）的单调递增区间是（—g,—k）和（k,+^）；

单调递减区间是（一k,k）.

当k<

（x）的情况如下：

（—g,k）

（k,—k）

（—k,+g）

八2—1

4ke

所以，f（x）的单调递减区间是（一g,k）和（一k,+g）;

单调递增区间是（k,—k）.

k+iii

⑵当k>

0时，因为f（k+1）=e>

，所以不会有？

x€（0，+g）,f（x）<

kee

0时，由⑴知f（x）在（0，+g）上的最大值是

14k1

所以？

x€（0，+g）,f（x）w-等价于f（—k）=—weee

解得—2<

1故当？

x€（0，+g）,f（x）w-时，

-1\

k的取值范围是||—2,0!

：

最值的综合应用问题是高中数学最重要的题型之一，导数知识为解

方

式

决数学及其他学科的实际应用题提供了很大的方便，近几年的高考中也越来越重视，已成为高考命题的一个新热点，试题多以解答题形式出现，

难度一般为中等偏难题目.

利用导数解决生活中的实际问题时：

（1）既要注意将问题中涉及的变量关系用函数关系表示，还要注意确定出函数关系式中自变量的定义区间.

（2）一定要注意求得结果的实际意义，不符合实际的值应舍去.

⑶如果目标函数在定义区间内只有一个极值点，那么根据实际意义该极值点就是最值点•

［例6］（重庆高考）某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池（不计厚度）.设该蓄水池的

底面半径为r米，高为h米，体积为V立方米.假设建造成本仅与表面积有关，侧面的建造成本为100元/平方米，底面的建造成本为160元/平方米，该蓄水池的总建造成本为12000n

元（n为圆周率）.

（1）将V表示成r的函数V（r），并求该函数的定义域；

（2）讨论函数V（r）的单调性，并确定r和h为何值时该蓄水池的体积最大.

2解：

（1）因为蓄水池侧面的总成本为100X2nrh=200nrh元，底面的总成本为160nr

2元，所以蓄水池的总成本为（200nrh+160nr）元.

根据题意得200nrh+160nr=12000n,

所以h=（300—4r）,

5「

从而乂r）=nr2h=~（300r—4r3）.

由h>

0,且r>

0可得0<

5,3，故函数V（r）的定义域为（0,5.3）.

（2）由

（1）知Mr）=（300r—4r3）,

故V'

（）=-5（300—12r）.

令V'

（）=0,解得r1=5,「2=—5

（因为r2=—5不在定义域内，舍去）.

当r€（0,5）时，V'

（r）>

0，故V（r）在（0,5）上为增函数;

当r€（5,53）时，V'

（r）<

0，故V：

r）在（5,53）上为减函数.

由此可知，V（r）在r=5处取得最大值，此时h=8，即当r=5,h=8时，该蓄水池的

体积最大.

11.某企业拟建造如图所示的容器（不计厚度，长度单位:

中容器的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，按照设计要求容器的容积为色严m3，且I>

2r.假设该容器的建造费用仅与其表面积有

关.已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元，半球形部分每平方米建造费用为c（c>

3）

千元.设该容器的建造费用为y千元.

（1）写出y关于r的函数表达式，并求该函数的定义域；

（2）求该容器的建造费用最小时的r.

（1）设容器的容积为V,

由题意知V=nr2I+3nr3,又V=晋，

804420

3T_3r=3厂-r.

-3r故I=—

由于I>

2r，因此0<

rw2.所以建造费用y=2nrlX3+4n『C

420

rX-rX

rw2.

2160n

因此y=4n（c-2）r+—

⑵由⑴得y'

=8n（c—2）r—~

320

-c-^,0<

由于c>

3,所以C—2>

①若0<

2,即c>

则当r=m时，y'

=0；

当r€（0,n）时，y'

0；

当r€（m,2）时，y'

所以r=m是函数y的极小值点，也是最小值点.

②若2,即3<

则当r€（0,2）时，y'

0,函数单调递减，

所以r=2是函数y的最小值点.

综上所述，当3<

cw㊁时，建造费用最小时r=2;

合情推理与演绎推理

归纳推理、类比推理、演绎推理等问题是高考的热点，归纳、类比推理大多数出

查

现在填空题中，为中低档题，突出了“小而巧”，主要考查类比、归纳推理能力；

演

绎推理大多数出现在解答题中，为中咼档题目，在知识的交汇点处命题，考查学生分

析问题、解决问题以及逻辑推理能力.

对本部分知识的学习，要注意做好以下两点：

一要熟悉归纳推理、类比推理、演

绎推理的一般原理、步骤、格式，搞清合情推理与演绎推理的联系与区别；

二要把握

归纳推理、类比推理、演绎推理的基本应用，在给定的条件下，能够运用归纳推理、

类比推理获得新的一般结论，能够运用演绎推理对数学问题进行严格的证明

［例7］（陕西高考）观察下列等式

12=1

1—2=-3

12-22+32=6

12—22+32—42=—10

照此规律，第n个等式可为

［解析］

观察规律可知，第

n个式子为12—22+32—42+…+（—1）n+1n2=（—1）n+

1nn+I

［答案］

13.先阅读下面的文字：

“求.1+\1+［1+…的值时，采用了如下的方法：

令

1+•,1+'

1+—=x,则有x=1+x,两边同时平方，得1+x=X2,解得x=15（负

n+12n+1nn+1

（—1）n=（—1）

宁

直接证明与间接证明

近几年试题对本部分内容的考查是应用直接证明和间接证明解决数列，立体几何中的平行、垂直，不等式，解析几何等问题，题型大多为解答题，难度为中高档.

在备考中，对本部分的内容，要抓住关键，即分析法、综合

法、反证法，要搞清三种方法的特点，把握三种方法在解决问题

中的一般步骤，熟悉三种方法适用于解决的问题的类型，冋时也

要加强训练，达到熟能生巧，有效运用它们的目的

［例9］某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数:

（1）sin213°

+cos217°

—sin13°

cos17°

;

（2）sin215°

+cos215°

—sin15°

cos15°

;

（3）sin18°

+cos12°

—sin18°

cos12°

（4）sin（—18°

）+cos48°

—sin（—18°

）cos48°

（5）sin（—25°

）+cos55°

—sin（—25°

）cos55°

（1）试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数;

1—2sin30

（2）根据

（1）的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论.［解］⑴选择⑵式，计算如下：

sin15°

+cos15°

=1-4

a）—sina

证明如下:

30°

sina）

a）—sinacos（30

1—cos2aJ+网卅—2a—sin

a（cos30

cosa

+sin30

sin

2—2cos

2a++^（COS

60°

cos2a+sin

sin2

a）—丹acos

—?

2—^cos2

a+2+”cOS2

sin2a

-3sin2a

—~

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