高考七大高频考点例析教学案苏教版选修Word格式.docx

1、即斜率k = 3.所以切线方程为y 2= 3（x 1），即3x y 1 = 0.3x y 1 = 03. 如果曲线y= x4 x在点P处的切线垂直于直线 y= 3X，那么点P的坐标为 由y = 4x3 1,当y = 3时，有4x3 1 = 3,可解得x = 1,此时，点P的坐标为（1,0）.（1,0）24.（北京高考）已知函数f（x） = x + xsin x + cos x.（1）若曲线y = f（x）在点（a, f（a）处与直线y = b相切，求a与b的值；（2）若曲线y = f（x）与直线y= b有两个不同交点，求 b的取值范围.解：由 f （x） = x + xsin x+ cos x

2、, 得 f （x） = x（2 + cos x） , f （x）为偶函数.（1）因为曲线y= f（x）在点（a, f（a）处与直线y= b相切，所以 f （a） = a（2 + cos a） = 0, b= f（a）.解得 a= 0, b= f （0） = 1.令 f （x） = 0，得 x= 0.f（x）与f（x）的变化情况如下：（a, 0）（0，+a）f（X）+f（x）所以函数f（x）在区间（一a, 0）上单调递减，在区间（0 ,+）上单调递增，f（0） = 1 是f（x）的最小值.当bwi时，曲线y = f （x）与直线y = b最多只有一个交点；当b1时，f（ 2b） = f （2 b

3、） 4b 2b 14b 2b 1b,f（0） = 11时曲线y = f （x）与直 线y= b有且仅有两个不同交点.综上可知，如果曲线 y =f（x）与直线y = b有两个不同交点，那么 b的取值范围是（1 ,利用导数研究函数的单调性是导数最重要的应用之一主要考查求函数的单 调区间、证明或判断函数的单调性，在高考命题中，若以填空题的形式出现，难 度则以中低档为主，若以解答题形式出现，难度则以中等偏上为主.考 指 要利用导数的符号判断函数的单调性是导数几何意义在研究曲线变化规律时的 一个应用，它充分体现了数形结合思想在利用导数讨论函数的单调区间时，首 先要确定函数的定义域，解决问题的过程中，只能

4、在定义域内，通过讨论导数的 符号，来判断函数的单调区间.特别要注意写单调区间时，区间之间用“和”或“，”隔开，绝对不能用“U”连接例3（山东咼考）已知函数f （x） = ax + bx In x（ a, b R）.设a0,求f（x）的单调区间; 设a 0，且对任意x 0, f （x） f （1）.试比较In a与2b的大小.解（1）由 f （x） = ax + bx In x, x （0 ,+）,得 f（x） =2ax + bx 1bx 1当 a= 0 时，f （x）= .（i ）若 b0 时，f （ x）0,当0x-时，f （x）b时，f（x）0，函数f （x）单调递增.所以函数f（x）的单

5、调递减区间是JQ, b j,单调递增区间是 ,+ !当a0时，令f（x） = 0,得 2ax + bx 1 = 0.4a由 = b2+ 8a0，得 Ib- , b + 8a,当0X2时，f0，函数f（x）单调递增.所以函数f（x）的单调递减区间是0,b+ e+七,单调递增区间是b+ ；b + 8a.综上所述, 由题意知，函数f（x）在x = 1处取得最小值.b+ : b + 8a 丄 是f（x）的唯一极小值点，令 g（x） = 2 4x+ In1 4x则g （x）= 厂令 g（x） = 0,得 x= 4当 04时，g0, g（x）单调递增;当x#时，g0, g（x）单调递减. 因此 g（x）

6、v g 4 = 1+ |n 4= 1 |n 40.故 g（a）0,即卩 2-4a+ In a= 2b+ In a0,即 In a 2b.5函数f（x） = ax3 x在R上为减函数，则a的取值范围是 .（x） = 3ax2 1,v f （x）在R上为减函数， f （x） W0 在 R上恒成立， aw0.（a, 06.函数f（x） = 3x2 x3的单调递减区间为 （x） = 6x 3x2，令 f0, 则 6x 3x2解之得x2或x0在1 , +a ）上恒成立，2 2即 3x a0,. a0 时，g（x）0 ,求 b 的最大值；（3）已知1.414 2 2 0,等号仅当 x= 0时成立.所以f

7、（x）在（一a 调递增.（2）g（x） = f（2 x） 4bf （x） = e2* e汰4b（ex e一x） + （8 b 4） x , g（x） = 2e 2x + e2x 2b（ex + ex） + （4 b 2）=2（e + e 2）（e + e 2b+ 2）.（i ）当bw2时，g（x） 0,等号仅当x = 0时成立， 所以g（x）在（a , +a ）单调递增.而 g（0） = 0 ,所以对任意x0 , g（x）0 ;（ii）当 b2 时，若 x 满足 2ex+ ex2b 2,即 0ln（ b 1 + . b2 2b）时而 g（0） = 0,因此当 0ln（ b 1 + b2 2b）

8、时，g（x）0 ,8 ：2 312ln（ b 1 + :b 2b） = ln 2,g（ln 2） = | 2 2 + （3 2 + 2）ln 2ln 21828 |20.693 4.28所以ln 2的近似值为0.693.利用导数研究函数的极值是高考对导数考查的一个重点内容，经常与函数单调性， 函数图象的考查融合在一起，研究方程根的情况、不等式的证明等本部分内容是高 考的重点和热点在高考试题中，既有填空题的形式，也有解答题的形式基本上是 中档或中档偏难题目.利用导数研究函数的极值和最值应明确求解步骤，求解时切记函数的定义域，正 确区分最值与极值不冋，函数的极值表示函数在一点附近的情况，是在局部对

9、函数值 比较大小而最值是在整个区间上对函数值比较大小函数的极值可以有多个，但最 值只能有一个，极值只能在区间内取得，而最值还可以在端点处取得，最值只要不在 端点处，必是一个极值.例 4（广东高考）设函数 f （x） = （x 1）e x kx2（k R）.（1）当k= 1时，求函数f （x）的单调区间；当k 2，1时，求函数f（x）在0 , k上的最大值 M解当k= 1时，f （x） = （x- 1）e X x2,，/ x x x xf （ x） = e + （x 1）e 2x = xe 2x = x（e 2）, 令 f （x） = 0,得 xi = 0, X2= In 2.当x变化时，f （

10、x） , f（x）的变化如下表：X（8, 0）（0 , In 2）In 2（In 2 ,+8）（x）极大值极小值由表可知，函数f （x）的递减区间为（0 , In 2），递增区间为（一8, 0） , （In 2 ,+）., x x x f （x） = e + （x 1）e 2kx= xe 2kx=x（e 2k）,令 f （x） = 0,得 xi = 0, X2= In （2 k）,令 g（k） = In （2 k） k,贝V g（k） = $ 1 =干0,所以g（ k）在j1, 1上递增， J所以 g（ k） w In 2 1 = In 2 In e从而 In（2 k）k，所以 In （2 k

11、） 0 , k,所以当 x （0 , In（2 k）时，f 当 x （In （2 k） ,+8）时，f 所以 M= maxf （0） , f （ k）k 3=max 1, （ k 1）e k .k 3 k令 h（k） = （ k 1）e k + 1，则 h（k） = k（e 3k）,k k所以$ （k）在21上递减，令 $ （k） = e 3k,贝U $ （ k） = e 3w e 3当k （xo,1）时，$ （k）0时，f 0,因此f （x）的单调递增区间为（0 ,+），这时函数无极值;2（ x + 寸一 a） （ x寸一 a）2当 av 0 时，f （x） = x当x变化时，f（ x）,

12、f（x）的变化情况如下：（0,寸一 a）（a/一a ,+s）因此函数f（x）的单调递减区间是（0 , 一一 a）, 单调递增区间是Z- a,+）.且当x =，a时，函数f（x）有极小值f（、J a） = a+ 2aln _ a,无极大值.2 x10.已知函数 f（x） = （x k） e .k（1）求f（x）的单调区间；（2）若对于任意的x （0,+s），都有f （x） w-，求k的取值范围.e” ， 1 2 2 X f （x） = （x - k）e .（x） = 0,得 x = k.当k0时，f （x）与f （x）的情况如下:（g, k）k（一 k, k）（k ,+g）f 4k2e 1所以，

13、f （x）的单调递增区间是（g, k）和（k,+）；单调递减区间是（一k, k）.当k0时，因为f （ k+1） = e ，所以不会有？x （0，+g）, f （x） .k e e0时，由 知f（x）在（0，+g）上的最大值是1 4k 1所以？x （0，+g）, f （x） w -等价于 f（ k） = w e e e解得2 k0,且r0可得0r0，故V（r）在（0,5）上为增函数;当 r （5,5 3）时，V（r）2 r.假设该容器的建造费用仅与其表面积有关.已知圆柱形部分每平方米建造费用为 3千元，半球形部分每平方米建造费用为 c（c3）千元.设该容器的建造费用为 y千元.（1）写出y关于

14、r的函数表达式，并求该函数的定义域；（2）求该容器的建造费用最小时的 r.（1）设容器的容积为V,由题意知V= n r2I + 3 n r3,又V=晋，4 380 4 4 203T_3r = 3 厂-r .-3 r 故I = n r由于I 2 r，因此0r w 2. 所以建造费用y= 2 n rl X 3+ 4 nC4 20r X -r X0r w 2.2 160 n因此 y= 4n （c- 2）r + 由得 y= 8 n （c 2） r 3 20-c- , 03,所以C 29若 0m则当 r = m时，y = 0；当 r （0 , n）时，y 所以r = m是函数y的极小值点，也是最小值点.

15、若 2,即 3c 2,则当r （0,2）时，y 0,函数单调递减，所以r = 2是函数y的最小值点.综上所述，当3cw时，建造费用最小时 r = 2;合情推理与演绎推理归纳推理、类比推理、演绎推理等问题是高考的热点，归纳、类比推理大多数出查现在填空题中，为中低档题，突出了“小而巧”，主要考查类比、归纳推理能力；演绎推理大多数出现在解答题中，为中咼档题目，在知识的交汇点处命题，考查学生分析问题、解决问题以及逻辑推理能力.对本部分知识的学习，要注意做好以下两点：一要熟悉归纳推理、类比推理、演绎推理的一般原理、步骤、格式，搞清合情推理与演绎推理的联系与区别；二要把握归纳推理、类比推理、演绎推理的基本

16、应用，在给定的条件下，能够运用归纳推理、类比推理获得新的一般结论，能够运用演绎推理对数学问题进行严格的证明例7（陕西高考）观察下列等式12= 11 2 =-312- 22 + 32 = 612 22 + 32 42 = 10照此规律，第n个等式可为解析观察规律可知，第n 个式子为 12 22+ 32 42 + + （ 1）n + 1n2 = （ 1）n+1n n+ I2答案13 .先阅读下面的文字：“求 .1 + 1+ 1 +的值时，采用了如下的方法：令,1 + , 1 + 1 + = x,则有x = 1 + x,两边同时平方，得 1 + x= X2,解得x = 1 5（负n + 1 2 n+

17、1n n + 1（1） n= （ 1）宁直接证明与间接证明近几年试题对本部分内容的考查是应用直接证明和间接证明 解决数列，立体几何中的平行、垂直，不等式，解析几何等问题， 题型大多为解答题，难度为中高档.在备考中，对本部分的内容，要抓住关键，即分析法、综合法、反证法，要搞清三种方法的特点，把握三种方法在解决问题中的一般步骤，熟悉三种方法适用于解决的问题的类型，冋时也要加强训练，达到熟能生巧，有效运用它们的目的例9某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数:（1）sin 213+ cos217 sin 13 cos 17 ;（2）sin 215+ cos215 sin 15

18、cos 15 ;（3）sin 18+ cos 12 sin 18 cos 12 （4）sin （ 18 ） + cos 48 sin（ 18 ）cos 48 （5）sin （ 25 ） + cos 55 sin（ 25 ）cos 55 （1）试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数;1 2sin 30（2）根据（1）的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论. 解选择式，计算如下：sin 15+ cos 15 =1-4a ） sin a证明如下:30 sin a ）a ） sin a cos（301 cos 2 a J +网卅2a sina （cos 30cos a+ sin 30sin1 122cos2a + + （COS60 cos 2 a + sin sin 2a ）丹 a cos?2 cos 2a + 2 + ”cOS 2sin 2 a-3sin 2 a4