完整word版高等数学上重要知识点归纳.docx
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高等数学（上）重要知识点归纳
第1章函数、极限与连续
1、极限的定义与性质
1、定义（以数列为例）
当时，
2、性质
（1），其中为某一个无穷小。
（2）（保号性）若，则当时，。
（3）*无穷小乘以有界函数仍为无穷小。
2、求极限的主要方法与工具
1、*两个重要极限公式
（1）
（2）
2、两个准则
（1）*夹逼准则
（2）单调有界准则
3、*等价无穷小替换法
常用替换：
当时
（1）
（2）
（3）（4）
（5）（6）
（7）（8）
4、分子或分母有理化法5、分解因式法6用定积分定义
3、无穷小阶的比较*高阶、同阶、等价
4、连续与间断点的分类
1、连续的定义*
在点连续
2、间断点的分类
3、曲线的渐近线*
5、闭区间连续函数性质
1、最大值与最小值定理
2、介值定理和零点定理
第2章导数与微分
1、导数的概念
1、导数的定义*
2、左右导数
左导数
右导数
3、导数的几何意义*
4、导数的物理意义
5、可导与连续的关系:
2、导数的运算
1、四则运算
2、复合函数求导设，一定条件下
3、反函数求导设互为反函数，一定条件下：
4、求导基本公式*（要熟记）
5、隐函数求导*方法：
在两端同时对求导，其中要注意到：
是中间变量，然后再解出
6、参数方程确定函数的求导*，一定条件下（可以不记）
7、常用的高阶导数公式
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）（莱布尼茨公式）
3、微分的概念与运算
1、微分定义*
若，则可微，记
2、公式：
3、可微与可导的关系*两者等价
4、近似计算当，
第3章导数的应用
1、微分中值定理*
1、柯西中值定理*
当取时，定理演变成：
2、拉格朗日中值定理*
当加上条件则演变成：
3、罗尔定理*
4、泰勒中值定理
在一定条件下：
其中介于之间.
当公式中n=0时，定理演变成拉格朗日定理.
当时，公式变成:
5、麦克劳林公式
6、常用麦克劳林展开式
（1）
（2）
（3）
（4）
2、罗比达法则*
记住：
法则仅能对型直接用，对于转化后用.幂指函数恒等式*
3、单调性判别*
1、
2、单调区间分界点：
驻点和不可导点.
4、极值求法*
1、极值点来自：
驻点或不可导点（可疑点）.
2、求出可疑点后再加以判别.
3、第一判别法：
左右导数要异号，由正变负为极大，由负变正为极小.
4、第二判别法：
一阶导等于0，二阶导不为0时，是极值点.正为极小，负为极大.
5、闭区间最值求法*
找出区间内所有驻点、不可导点、区间端点，比较大小.
6、凹凸性与拐点*
1、
2、拐点：
曲线上凹凸分界点.
横坐标不外乎，找到后再加以判别附近的二阶导数是否变号.
7、曲率与曲率半径
1、曲率公式
2、曲率半径
第4章不定积分
1、不定积分的概念*
若在区间上，，
则称
称全体原函数F（x）+c为f（x）的不定积分，记为.
2、微分与积分的互逆关系
1、
2、
3、积分法*
1、凑微分法*
2、第二类换元法
3、分部积分法*
4、常用的基本积分公式（要熟记）.
第5章定积分
1、定积分的定义
2、可积的必要条件有界.
3、可积的充分条件连续或只有有限个第一类间断点或单调.
4、几何意义定积分等于面积的代数和.
5、主要性质*
1、可加性
2、估值在[a,b]上，
3、积分中值定理*
当f（x）在[a,b]上连续时：
4、函数平均值：
6、变上限积分函数*
1、
2、
7、牛-莱公式*
8、定积分的积分法*
1、换元法牢记：
换元同时要换限
2、分部积分法
3、特殊积分
（1）
（2）当f（x）为周期为T的周期函数时：
（3）一定条件下:
（4）
（5）
9、反常积分*
1、无穷区间上
其他类似
2、p积分：
3、瑕积分：
若a为瑕点：
则其他类似处理
第六章定积分应用
1、几何应用
1、面积
（1）
（2）则
（3）
2、体积*
（1）旋转体体积*或
（2）截面面积为的立体体积为
3、弧长
（1）
（2）
（3）
二、物理应用
1、变力作功
一般地：
先求功元素：
，再积分
克服重力作功的功元素dw=体积位移
2、水压力
dP=水深面积
第七章微分方程
1、可分离变量的微分方程
形式：
二、一阶线性微分方程*
1、线性齐次：
通解公式*：
2、线性非齐次
通解公式*：
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