全等三角形证明基础知识梳理及证明.docx

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全等三角形证明基础知识梳理及证明

高坪剑桥英语一对一讲义：

第一讲

全等三角形证明基础知识梳理与证明

一、填空题

1．_的两个图形叫做全等形.

2．全等三角形的对应边，对应角，这是全等三角形的重要性质．

3．如果Δ≌Δ，则的对应边是，的对应边是，∠C的对应角是，∠的对应角是．

图1－1图1－2图1－3

4．如图1－1所示，Δ≌Δ．

（1）若∠D＝74°∠＝38°，则∠A＝，∠＝

（2）如果＝，请指出其他的对应边；

（3）如果Δ≌Δ，请指出所有的对应边，对应角．

5．如图1－2，已知△≌△，＝2，＝1.5，∠A＝25°，∠B＝48°；那么＝，＝，∠C＝°；∠D＝°．

6．一个图形经过平移、翻折、旋转后，变化了，但都没有改变，即平移、翻折、旋转前后的图形

二、选择题

7．已知：

如图1－3，Δ≌，若∥，则的对应边是（）

A．B．C．D．

8．下列命题中，真命题的个数是（）

①全等三角形的周长相等②全等三角形的对应角相等

③全等三角形的面积相等④面积相等的两个三角形全等

A．4B．3C．2D．1

9．如图1－4，△≌△，A和B、C和D是对应顶点，如果＝5，＝6，＝4，那么等于（）

A．6B．5C．4D．无法确定

图1-4图1-5图1-6

10．如图1－5，△≌△，若∠和∠是对应角，则∠等于（）

A．∠B．∠C．∠D．∠

11．如图1－6，△≌Δ，若∠B＝80°，∠C＝30°，∠＝35°，则∠的度数为（）

A．40°B．35°C．30°D．25°

三、解答题

12．已知：

如图1－7所示，以B为中心，将△绕B点逆时针旋转90°得到△，若∠E＝35°，求∠的度数．

图1－7图1－8图1－9

一、填空题

13．如图1－8，△和△是△分别沿着，翻折180°形成的若∠1∶∠2∶∠3＝28∶5∶3，则∠α的度数为．

14．已知：

如图1－9，△≌△，∠A＝85°，∠B＝60°，＝8，＝2．

（1）求∠F的度数与的长；

（2）求证：

∥．

15．如图1－10，⊥，Δ≌Δ．判断与的关系，并证明你的结论．

图1－10

三角形全等的判定

（一）

一、填空题

图2－1图2－2图2－3

1．已知：

如图2－1，△中，＝，M为的中点．

求证：

平分∠．

分析：

要证平分∠，即∠＝，

只要证≌

证明：

∵M为的中点（已知），

∴＝在△和△中，

∴≌（）．∴∠＝（）．

即．

2．已知：

如图2－2，＝，＝，＝.求证：

∠A＝∠D．

分析：

要证∠A＝∠D，只要证≌．

证明：

∵＝（），∴＝．

在△和△中，

∴≌（）．∴∠A＝∠D（）．

3．如图2－3，＝，＝，＝，

求证：

△≌△．

证明：

∵＝，＝，

∴＋＝＋，即＝．

在△和△中，

∴△≌△（）．

4．已知：

如图2－4，＝．＝．试证明：

∠＝∠.

图2－4

三角形全等的判定

（二）

一、填空题

1．已知：

如图3－1，、相交于O点，＝，＝．

求证：

∠D＝∠B．

分析：

要证∠D＝∠B，只要证≌

证明：

在△与△中，

∴△≌△（）．∴∠D＝∠B（）．

2．已知：

如图3－2，∥，＝．求证：

∥．

分析：

要证∥，只要证∠＝∠，

又需证≌．

证明：

∵∥（），∴∠＝∠（），

在△和△中，

∴Δ≌Δ（）．∴∠＝∠（）．

∴∥（）．

一、解答题

3．已知：

如图3－3，＝，∠＝∠．求证：

∠B＝∠C．

图3－3图3－4图3－5图3－6

4．已知：

如图3－4，＝，＝．求证：

∠B＝∠C．

5．已知：

如图3－5，＝，＝，∠1＝∠2．

求证：

＝．

6．如图3－6，将两个一大、一小的等腰直角三角尺拼接（A、B、D三点共线，＝，＝，∠＝∠＝90°），连接、，试确定与的位置与数量关系，并证明你的结论．

三角形全等的条件（三）

一、填空题

1．

（1）全等三角形判定方法3——“角边角”（即）指的是

；

（2）全等三角形判定方法4——“角角边”（即）指的是

．

图4－1

2．已知：

如图4－1，＝，∠M＝∠N．求证：

＝．

分析：

∵＝，∴要证＝，只要证＝，

只要证≌．

证明：

在△与△中，

∴△≌△（）．

∴＝（）．

∵＝（），

∴－＝－，即＝．

3．已知：

如图4－2，．求证：

＝，＝．

4．

分析：

要证＝，＝，只要证≌．

证明：

∵∥，∴∠C＝．

在△与△中，

∴≌（）．

∴＝，＝（）．

图4－2

二、选择题

4．能确定△≌△的条件是（）

A．＝，＝，∠A＝∠E

B．＝，＝，∠C＝∠E

C．∠A＝∠E，＝，∠B＝∠D

D．∠A＝∠D，＝，∠B＝∠E

5．如图4－3，已知△的六个元素，则下面甲、乙、丙三个三角形中，和△全等的图形是（）

图4－3

A．甲和乙B．乙和丙C．只有乙D．只有丙

6．是△的角平分线，作⊥于E，⊥于F，下列结论错误的是（）

A．＝B．＝C．＝D．∠＝∠

三、解答题

7．阅读下题与一位同学的解答过程：

如图4－4，和相交于点O，且＝，∠A＝∠C．那么△与△全等吗？

若全等，试写出证明过程；若不全等，请说明理由．

答：

△≌△．

证明：

在△和△中，

图4－4

∴△≌△（）．

问：

这位同学的回答与证明过程正确吗？

为什么？

8．已知：

如图4－5，⊥，⊥，∠E＝∠B，＝．

求证：

＝．

图4－5

9．已知：

如图4－6，在△中，H是高和的交点，且＝．

求证：

＝.

图4－6

10．已知：

是Δ的一条中线，⊥的延长线于E，⊥于F，＝10，＝4．求、的长．

11．填空题

（1）已知：

如图4－7，＝，⊥于D，⊥于E.欲证明＝，需证明Δ≌△，理由为．

（2）已知：

如图4－8，＝，∠A＝∠D，欲证Δ≌Δ，需要添加条件,证明全等的理由是；或添加条件，证明全等的理由是；也可以添加条件，证明全等的理由是．

图4－7图4－8

12．如图4－9，已知Δ≌ΔA'B'C'，、A'D'分别是Δ和ΔA'B'C'的角平分线．

（1）请证明＝A'D'；

（2）把上述结论用文字叙述出来；

（3）你还能得出其他类似的结论吗？

图4－9

13．如图4－10，在△中，∠＝90°，＝，直线l经过顶点C，过A、B两点分别作l的垂线、，E、F为垂足．

（1）当直线l不与底边相交时，求证：

＝＋．

图4－10

（2）如图4－11，将直线l绕点C顺时针旋转，使l与底边交于点D，请你探究直线l在如下位置时，、、之间的关系．

①＞；②＝；③＜．

图4－11

直角三角形全等的条件（四）

一、填空题

1．判定两直角三角形全等的“”这种特殊方法指的是．

2．直角三角形全等的判定方法有（用简写）．

3．如图5－1，E、B、F、C在同一条直线上，若∠D＝∠A＝90°，＝，＝．则Δ≌，全等的根据是．

图5－1

4．判断满足下列条件的两个直角三角形是否全等，不全等的画“×”，全等的注明理由：

（1）一个锐角和这个角的对边对应相等；（）

（2）一个锐角和这个角的邻边对应相等；（）

（3）一个锐角和斜边对应相等；（）

（4）两直角边对应相等；（）

（5）一条直角边和斜边对应相等．（）

二、选择题

5．下列说法正确的是（）

A．一直角边对应相等的两个直角三角形全等

B．斜边相等的两个直角三角形全等

C．斜边相等的两个等腰直角三角形全等

D．一边长相等的两等腰直角三角形全等

6．如图5－2，＝，⊥于D，E、F为上的点，则图中共有（）对全等三角形．

A．3B．4C．5D．6

图5－2

三、解答题

7．已知：

如图5－3，⊥，⊥，＝．图5－3

求证：

（1）＝：

（2）∥．

8．已知：

如图5－4，＝，⊥，⊥．图5－4

求证：

＝；