秋沪科版九年级数学上册《第22章相似形》复习试题含答案.docx

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秋沪科版九年级数学上册《第22章相似形》复习试题含答案

第22章相似形

类型之一　比例线段与比例性质

1．如果x∶（x＋y）＝3∶5，那么x∶y等于（　　）

A.B.C.D.

2．如图22－X－1，直线l1∥l2∥l3，直线AC分别交直线l1，l2，l3于点A，B，C，直线DF分别交直线l1，l2，l3于点D，E，F.若DE＝3，EF＝6，AB＝4，则AC的长是（　　）

A．6B．8C．9D．12

图22－X－1

3．如图22－X－2，在▱ABCD中，AC与BD相交于点O，E是OD的中点，连接AE并延长交CD于点F，则DF∶FC等于（　　）

A．1∶4B．1∶3C．1∶2D．1∶1

图22－X－2

4．如图22－X－3，在△ABC中，AM∶MD＝4∶1，BD∶DC＝2∶3，求AE∶EC的值．

图22－X－3

类型之二　相似三角形的判定与性质

5．如图22－X－4，在大小为4×4的正方形网格中，是相似三角形的是（　　）

图22－X－4

A．①和②B．②和③

C．①和③D．②和④

6．如果两个相似三角形的面积比是1∶2，那么它们的周长比是（　　）

A．1∶2B．1∶4C．1∶D．2∶1

7．在△ABC与△A′B′C′中，有下列条件：

（1）＝；

（2）＝；（3）∠A＝∠A′；（4）∠C＝∠C′.如果从中任取两个条件组成一组，那么能判断△ABC∽△A′B′C′的共有（　　）

A．1组B．2组C．3组D．4组

8．如图22－X－5，在直角梯形ABCD中，AB＝7，AD＝2，BC＝3，若在线段AB上取一点P，使得以P，A，D为顶点的三角形和以P，B，C为顶点的三角形相似，则这样的P点有（　　）

A．1个B．2个C．3个D．4个

图22－X－5

9．［2016·泰安］如图22－X－6，△ABC是边长为4的等边三角形，P为BC边上的任意一点（不与点B，C重合），且∠APD＝60°，PD交AB于点D，设BP＝x，BD＝y，则y关于x的函数图象大致是（　　）

图22－X－6

图22－X－7

10．［2016·宿州二模］在▱ABCD中，M，N是AD边上的三等分点，连接BD，MC相交于点O，则S△MOD∶S△COB＝________．

11．如图22－X－8，在矩形ABCD中，AB＝10cm，AD＝20cm，两只小虫P和Q分别从点A，B同时出发沿AB，BC向终点B，C方向前进，小虫P的速度为1cm/s，小虫Q的速度为2cm/s.它们同时出发多少秒时，以P，B，Q为顶点的三角形与以A，C，D为顶点的三角形相似？

图22－X－8

12．如图22－X－9所示，先把一张矩形纸片ABCD对折，设折痕为MN，再把点B叠在折痕线上，得到△ABE，过点B折纸片使点A叠在直线AD上，得折痕PQ.

（1）求证：

△PBE∽△QAB.

（2）你认为△PBE和△BAE相似吗？

如果相似，给出证明；如果不相似，请说明理由．

图22－X－9

类型之三　相似三角形的实际应用

13．如图22－X－10，身高为1.5米的某学生想测量一棵大树的高度，她沿着树影BA由B向A走去．当走到C点时，她的影子顶端正好与树的影子顶端重合，测得BC＝3米，CA＝1米，则树的高度为（　　）

A．3米B．4米

C．4.5米D．6米

图22－X－10

14．如图22－X－11，为了估计河的宽度，在河的对岸选定一个目标点P，在近岸取点Q和S，使点P，Q，S在一条直线上，且直线PS与河垂直，在过点S且与PS垂直的直线a上选择适当的点T，PT与过点Q且与PS垂直的直线b的交点为R.如果QS＝60m，ST＝120m，QR＝80m，则河的宽度PQ为（　　）

A．40mB．60m

C．120mD．180m

图22－X－11

15．如图22－X－12，小军在地面上合适的位置平放了一块平面镜（平面镜的高度忽略不计），刚好在平面镜中的点C处看到旗杆顶部E，此时小军的站立点B与点C的水平距离为2m，旗杆底部D与点C的水平距离为12m．若小军的眼睛距离地面的高度为1.5m（即AB＝1.5m），则旗杆的高度为________m.

图22－X－12

16．如图22－X－13所示的示意图，某校数学兴趣小组利用自制的直角三角形硬纸板DEF来测量操场旗杆AB的高度，他们通过调整测量位置，使斜边DF与地面保持平行并使直角边DE与旗杆顶点A在同一直线上，已知DE＝0.5米，EF＝0.25米，且测点D到地面的距离DG＝1.5米，到旗杆的水平距离DC＝25米，求旗杆AB的高度．

图22－X－13

类型之四　位似图形的性质及作法

17．如图22－X－14，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点O在坐标原点，边OA在x轴上，OC在y轴上，如果矩形OA′B′C′与矩形OABC关于点O位似，且矩形OA′B′C′的面积等于矩形OABC面积的，那么点B′的坐标是（　　）

A．（－2，3）B．（2，－3）

C．（3，－2）或（－2，3）D．（－2，3）或（2，－3）

图22－X－14

18．如图22－X－15所示，正方形OEFG和正方形ABCD是位似图形，若点F的坐标为（－1，1），点C的坐标为（－4，2），则这两个正方形的位似中心的坐标是____________．

图22－X－15

19．［2017·包河区二模］如图22－X－16，在边长为1个单位的小正方形组成的网格中，给出了格点四边形ABCD（顶点是网格线的交点）和直线l，按要求画图．

（1）作出四边形ABCD关于直线l成轴对称的四边形A′B′C′D′；

（2）以B为位似中心，在点B的下方将四边形ABCD放大2倍得到四边形A1B1C1D1，画出四边形A1B1C1D1.

图22－X－16

类型之五　阅读理解型的相似问题

20．如图22－X－17（a），P为△ABC所在平面上一点，且∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝120°，则点P叫做△ABC的费马点．

（1）如果△ABC是锐角三角形，点P为△ABC的费马点，且∠ABC＝60°.

①求证：

△ABP∽△BCP；

②若PA＝3，PC＝4，则PB＝________．

（2）如图（b），已知△ABC是锐角三角形，分别以AB，AC为边向外作△ABE和△ACD，△ABE和△ACD均为等边三角形，且CE和BD相交于点P.

①求∠CPD的度数；

②求证：

点P为△ABC的费马点．

图22－X－17

21．［2016·宁波］从三角形（不是等腰三角形的）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线．

（1）如图22－X－18①，在△ABC中，CD为∠ACB的平分线，∠A＝40°，∠B＝60°，求证：

CD为△ABC的完美分割线；

（2）在△ABC中，若∠A＝48°，CD是△ABC的完美分割线，且△ACD为等腰三角形，求∠ACB的度数；

（3）如图22－X－18②，△ABC中，AC＝2，BC＝，CD是△ABC的完美分割线，且△ACD是以CD为底边的等腰三角形，求完美分割线CD的长．

图22－X－18

类型之六　数学活动

22．类比、转化、从特殊到一般等思想方法，在数学学习和研究中经常用到，如下是一个案例，请补充完整．

原题：

如图22－X－19①，在▱ABCD中，E是BC边的中点，F是线段AE上一点，BF的延长线交射线CD于点G.若＝3，求的值．

（1）尝试探究

在图22－X－19①中，过点E作EH∥AB，交BG于点H，则AB和EH的数量关系是________，CG和EH的数量关系是________，的值是________．

（2）类比延伸

如图22－X－19②，在原题的条件下，若＝m（m＞0），则的值是____________（用含m的代数式表示），试写出解答过程．

（3）拓展迁移

如图22－X－19③，四边形ABCD中，DC∥AB，E是BC延长线上的一点，AE和BD相交于点F.

若＝a，＝b（a＞0，b＞0），则的值是________（用含a，b的代数式表示）．

图22－X－19

1．D　[解析]∵x∶（x＋y）＝3∶5，∴5x＝3x＋3y，整理，得2x＝3y，∴x∶y＝3∶2.

2．D　[解析]∵l1∥l2∥l3，

∴＝，即＝.

∴BC＝8，

∴AC＝AB＋BC＝12.

故选D.

3．C　[解析]在▱ABCD中，AB∥CD，则△DFE∽△BAE，∴＝.

∵O为对角线的交点，∴DO＝BO.

又∵E为OD的中点，∴DE＝BD，

则DE∶BE＝1∶3，∴DF∶AB＝1∶3.

∵CD＝AB，∴DF∶CD＝1∶3，

∴DF∶FC＝1∶2.

4．解：

如图，过点D作DF∥BE交AC于点F，则EF∶FC＝BD∶DC，AM∶MD＝AE∶EF.

∵BD∶DC＝2∶3，

∴EF∶FC＝2∶3.

设EF＝2a，则CF＝3a.

∵AM∶MD＝4∶1，∴AE∶EF＝4∶1，

∴AE＝8a，∴AE∶EC＝8a∶5a＝8∶5.

5．C

6．C　[解析]∵两个相似三角形的面积比是1∶2，

∴这两个相似三角形的相似比是1∶，

∴它们的周长比是1∶.

故选C.

7．C　[解析]共有3组，其组合分别是

（1）和

（2），根据是三边成比例的两个三角形相似；

（2）和（4），根据是两边成比例且夹角相等的两个三角形相似；

（3）和（4），根据是两角分别相等的两个三角形相似．

8．C　[解析]①当△DAP∽△CBP时，AD∶AP＝BC∶BP，即＝，解得AP＝；

②当△DAP∽△PBC时，AD∶AP＝BP∶BC，即＝，解得AP＝1或AP＝6.

综上可得，这样的点P有3个．

9．C　[解析]∵△ABC是等边三角形，

∴∠B＝∠C＝60°.

又∵∠BPD＋∠APD＝∠C＋∠CAP，∠APD＝60°，

∴∠BPD＝∠CAP，∴△BPD∽△CAP，

∴BP∶AC＝BD∶PC.

∵△ABC的边长为4，

BP＝x，BD＝y，

∴x∶4＝y∶（4－x），

∴y＝－x2＋x.

故选C.

10．4∶9或1∶9　[解析]已知M，N是AD边上的三等分点．

（1）当＝时，如图①所示．

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD∥BC，

∴△MOD∽△COB，

∴S△MOD∶S△COB＝（）2＝4∶9.

（2）当＝时，如图②所示．

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD∥BC，

∴△MOD∽△COB，

∴S△MOD∶S△COB＝（）2＝1∶9.

故答案为4∶9或1∶9.

11．解：

设它们同时出发ts时，以P，B，Q为顶点的三角形与以A，C，D为顶点的三角形相似，则AP＝tcm，BQ＝2tcm，PB＝（10－t）cm.

（1）当△PBQ∽△ADC时，有＝，

即＝，解得t＝2；

（2）当△PBQ∽△CDA时，有＝，

即＝，解得t＝5.

综上可得，当它们同时出发2s或5s时，以P，B，Q为顶点的三角形与以A，C，D为顶点的三角形相似．

12．解：

（1）证明：

∵∠PBE＋∠ABQ＝180°－90°＝90°，∠PBE＋∠PEB＝90°，

∴∠ABQ＝∠PEB.

又∵∠BPE＝∠AQB＝90°，

∴△PBE∽△QAB.

（2）相似．

证明：

∵△PBE∽△QAB，∴＝.

由折叠可知BQ＝PB，

∴＝，即＝.

又∵∠ABE＝∠BPE＝90°，

∴△PBE∽△BAE.

13．D

14．C　[解析]∵RQ⊥PS，TS⊥PS，

∴RQ∥TS，

∴△PQ