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提高班第三次作业

数学建模提高班第三次作业

【作业1】

全国重点水泥企业经济效益综合评价例。

利用主成分综合评价全国重点水泥企业的经济效益。

原始数据（数据来自1984年中国统计年鉴）见表5-10。

1.利用一般的Matlab命令将数据标准化；

2.利用Matlab命令计算出相关矩阵的方差及特征值；

3.写出主成分的线性表达式；

4.利用统计工具箱中命令得到如上结果；

5.利用SPSS进行主成分分析；

6.对得到的结果作出解释。

解：

1.利用一般的Matlab命令将数据标准化

根据题意利用MATLAB编程如下：

loaddsc.txt;

[n,p]=size（dsc）;

MEAN=mean（dsc）;%求各变量的均值

STD=std（dsc）;%求各变量的标准差

MEAN=ones（n,p）*diag（MEAN）;

STD=ones（n,p）*diag（STD）;

x=（dsc-MEAN）./STD%原始数据标准化

求解得标准化后的数据为：

x=

-0.3767-0.3579-0.1136-0.3667-0.0388-1.1777-1.3633-0.2771

0.0882-0.29390.0508-0.28730.3562-1.1777-0.40732.2531

-0.6046-0.62290.0568-0.5810-0.42770.29441.6425-0.7741

-1.8223-1.7643-1.6884-1.7200-1.1725-0.14721.0792-0.5482

1.58911.99441.21632.14141.28790.8833-1.86580.6039

2.12480.91002.29811.16810.7553-1.9138-0.41901.6432

0.96410.51770.62160.54210.858700.26351.2591

-0.6277-0.9322-0.8054-0.7824-2.87141.91380.2565-0.2771

0.1066-0.19740.1210-0.19110.32191.17771.0442-0.0964

0.30830.31040.98020.4389-0.0857-0.14720.0975-0.3223

-0.3660-0.2021-0.4453-0.28430.1121-0.7361-1.0711-0.7967

-0.5076-0.2567-0.9264-0.46290.4385-0.2944-0.4471-0.6160

-0.3998-0.1222-0.0164-0.1454-0.20950.88330.6795-1.2711

0.47921.8441-0.23161.47870.84490-0.5452-0.6838

-0.9556-0.8270-1.1177-0.9481-0.16980.44161.0559-0.0964

2.利用Matlab命令计算出相关矩阵的方差及特征值

根据题意利用MATLAB编程如下：

R=cov（x）%注释：

由于数据已经过标准化处理，故x的协方差矩阵等于其相关系数矩阵，即R=corrcoef（x）.

[V,D]=eig（R）;%注释：

函数eig的功能是对矩阵R进行正交对角化变换，矩阵D是以R的特征值为对角元的对角矩阵（对角元按从小到大的顺序排列），矩阵V是正交变换矩阵。

DD=[];%将特征值对角矩阵D改写为列向量DD

fori=p:

-1:

1%此处要注意eig函数的输出D中特征值的排列顺序

DD=[DD;D（i,i）];

end

OFFER=DD/sum（DD）;%计算特征值的方差贡献率

cumOFFER=cumsum（DD）/sum（DD）;%计算特征值的方差累计贡献率

OUTCOME=[DD,OFFER,cumOFFER]%综合输出计算结果

pri=1;

fori=1:

p

ifcumOFFER（i）<=0.85

pri=i+1;%取前几个特征值？

累计方差贡献超过85%

end

end

PCACOV=V（:

end:

-1:

end-pri+1）%输出对应特征值的正交单位化的特征向量,此处要注意eig函数的输出D中特征值的排列顺序和特征向量的排列顺序

PCASCORE=x*PCACOV;%主成份得分

Z=PCASCORE*OFFER（[1:

pri]）/cumOFFER（pri）;%综合评分

[ZZ,I]=sort（Z,'descend'）;%样本排序[Y,I]=SORT（X,DIM,MODE）alsoreturnsanindexmatrixI.

scatter（ZZ,I）;

variance=var（dsc）

variance=var（x）

variance=var（D）

variance=var（V）

求解得：

R=

1.00000.84920.92300.90170.6513-0.2650-0.50180.5983

0.84921.00000.69040.98820.7229-0.1034-0.59510.2649

0.92300.69041.00000.77400.5445-0.3168-0.34440.5306

0.90170.98820.77401.00000.6883-0.1057-0.59200.3295

0.65130.72290.54450.68831.0000-0.4436-0.43290.3589

-0.2650-0.1034-0.3168-0.1057-0.44361.00000.3755-0.4342

-0.5018-0.5951-0.3444-0.5920-0.43290.37551.0000-0.2538

0.59830.26490.53060.32950.3589-0.4342-0.25381.0000

OUTCOME=

4.85280.60660.6066

1.24400.15550.7621

0.87020.10880.8709

0.55180.06900.9398

0.35700.04460.9845

0.10200.01270.9972

0.02070.00260.9998

0.00150.00021.0000

PCACOV=

0.4337-0.0621-0.2580

0.4088-0.34130.1175

0.38950.0116-0.3797

0.4211-0.31760.0191

0.35860.06570.2220

-0.1835-0.7250-0.3187

-0.2944-0.0355-0.6354

0.25860.4975-0.4696

variance=

1.00001.00001.00001.00001.00001.00001.00001.0000

由以上结果可知：

原始数据矩阵的方差为

variance=

42.1972159.833044.7903101.5914276.723446.142918.30440.1959

标准化后数据矩阵的方差为

variance=

1.00001.00001.00001.00001.00001.00001.00001.0000

程序运行所得特征值矩阵的方差为：

variance=

0.00000.00010.00130.01590.03810.09470.19342.9437

程序运行所得特征向量矩阵的方差为：

variance=

0.33300.33010.27410.33550.29100.24400.32030.2119

标准化以后数据的协方差矩阵为

R=

1.00000.84920.92300.90170.6513-0.2650-0.50180.5983

0.84921.00000.69040.98820.7229-0.1034-0.59510.2649

0.92300.69041.00000.77400.5445-0.3168-0.34440.5306

0.90170.98820.77401.00000.6883-0.1057-0.59200.3295

0.65130.72290.54450.68831.0000-0.4436-0.43290.3589

-0.2650-0.1034-0.3168-0.1057-0.44361.00000.3755-0.4342

-0.5018-0.5951-0.3444-0.5920-0.43290.37551.0000-0.2538

0.59830.26490.53060.32950.3589-0.4342-0.25381.0000

特征值分别为：

4.8528

1.2440

0.8702

0.5518

0.3570

0.1020

0.0207

0.0015

3.写出主成分的线性表达式

由OUTCOME=

4.85280.60660.6066

1.24400.15550.7621

0.87020.10880.8709

0.55180.06900.9398

0.35700.04460.9845

0.10200.01270.9972

0.02070.00260.9998

0.00150.00021.0000

可知：

当选取前三个作为主成分时，累计贡献率达到87.09%>85%，故应选取前三个作为主成分，此时对应的特征变量分别为：

PCACOV=

0.4337-0.0621-0.2580

0.4088-0.34130.1175

0.38950.0116-0.3797

0.4211-0.31760.0191

0.35860.06570.2220

-0.1835-0.7250-0.3187

-0.2944-0.0355-0.6354

0.25860.4975-0.4696

主成分的线性表达式为：

4.利用统计工具箱中命令得到如上结果；

根据题意利用MATLAB编程如下：

（1）利用原始数据进行主成分分析：

【参数说明】

x——原始数据矩阵（样本点×变量）

PC——主成分系数向量（列）

SCORE——样本点的主成分得分

latent——x的协方差矩阵的特征值

tsquare——每一个样本点的HotellingT2统计量的值

PC=princomp（x）

[PC,SCORE,latent,tsquare]=princomp（x）

求解得：

PC=

0.43370.0621-0.25800.08130.12830.03910.84500.0534

0.40880.34130.1175-0.0650-0.0930-0.5009-0.1143-0.6525

0.3895-0.0116-0.3797-0.03600.56780.4317-0.4071-0.1679

0.42110.31760.01910.01640.0104-0.3338-0.26760.7335

0.3586-0.06570.2220-0.6520-0.45680.4278-0.00120.0321

-0.18350.7250-0.31870.2273-0.38020.3741-0.0351-0.0426

-0.29440.0355-0.6354-0.62330.0265-0.34240.02400.0366

0.2586-0.4975-0.46960.3498-0.5463-0.0978-0.1837-0.0324

PC=

0.43370.0621-0.25800.08130.12830.03910.84500.0534

0.40880.34130.1175-0.0650-0.0930-0.5009-0.1143-0.6525

0.3895-0.0116-0.3797-0.03600.56780.4317-0.4071-0.1679

0.42110.31760.01910.01640.0104-0.3338-0.26760.7335

0.3586-0.06570.2220-0.6520-0.45680.4278-0.00120.0321

-0.18350.7250-0.31870.2273-0.38020.3741-0.0351-0.0426

-0.29440.0355-0.6354-0.62330.0265-0.34240.02400.0366

0.2586-0.4975-0.46960.3498-0.5463-0.0978-0.1837-0.0324

SCORE=

0.0235-1.02251.45430.50110.49740.2747-0.0734-0.0285

0.8633-2.1992-0.42690.5619-0.8921-0.1006-0.2183-0.0492

-1.63050.2496-0.8188-0.96900.5565-0.0527-0.1356-0.0026

-3.7463-0.96070.2294-0.1343-0.1265-0.2148-0.05740.1017

3.88511.63450.30990.7261-0.57250.3345-0.14160.0659

3.8507-1.4825-1.0193-0.04150.9788-0.18050.19790.0277

1.6561-0.2719-0.9816-0.2524-0.63900.01980.13140.0033

-2.82441.1268-0.93692.07600.2830-0.21730.1066-0.0192

-0.50070.7948-1.0224-0.6127-0.41570.44920.1155-0.0245

0.71140.3158-0.2896-0.17430.84560.0396-0.2247-0.0112

-0.2500-0.35951.54850.14330.35150.20690.11760.0001

-0.6972-0.20711.2082-0.2885-0.33580.15410.2137-0.0134

-1.05701.1980-0.0706-0.55720.42160.2195-0.0593-0.0237

1.78081.39681.0643-0.4985-0.2531-0.88370.0042-0.0248

-2.0647-0.2130-0.2485-0.4800-0.6998-0.04870.0235-0.0016

latent=

4.8528

1.2440

0.8702

0.5518

0.3570

0.1020

0.0207

0.0015

tsquare=

5.9552

11.0559

4.8569

11.2313

12.1755

11.4199

3.8362

12.9637

5.9442

4.8739

4.3432

4.8346

3.4653

12.2177

2.8265

由以上结果可知：

利用统计工具箱中的命令得到的协方差矩阵特征值为：

latent=

4.8528

1.2440

0.8702

0.5518

0.3570

0.1020

0.0207

0.0015

（2）利用原始标准化后的数据进行主成分分析：

【参数说明】

R——原始数据相关系数矩阵（样本点×变量）

PC——主成分系数向量（列）

latent——相关矩阵R的特征值

explained——每一个主成分的方差贡献率

PC=pcacov（R）；

[PC,latent,explained]=pcacov（R）

求解得：

PC=

-0.43370.0621-0.25800.0813-0.12830.0391-0.8450-0.0534

-0.40880.34130.1175-0.06500.0930-0.50090.11430.6525

-0.3895-0.0116-0.3797-0.0360-0.56780.43170.40710.1679

-0.42110.31760.01910.0164-0.0104-0.33380.2676-0.7335

-0.3586-0.06570.2220-0.65200.45680.42780.0012-0.0321

0.18350.7250-0.31870.22730.38020.37410.03510.0426

0.29440.0355-0.6354-0.6233-0.0265-0.3424-0.0240-0.0366

-0.2586-0.4975-0.46960.34980.5463-0.09780.18370.0324

latent=

4.8528

1.2440

0.8702

0.5518

0.3570

0.1020

0.0207

0.0015

explained=

60.6596

15.5495

10.8777

6.8975

4.4630

1.2749

0.2589

0.0189

由以上结果可知：

利用统计工具箱中的命令得到的相关矩阵R的特征值为：

latent=

4.8528

1.2440

0.8702

0.5518

0.3570

0.1020

0.0207

0.0015

主成分相关系数为：

PC=

-0.43370.0621-0.25800.0813-0.12830.0391-0.8450-0.0534

-0.40880.34130.1175-0.06500.0930-0.50090.11430.6525

-0.3895-0.0116-0.3797-0.0360-0.56780.43170.40710.1679

-0.42110.31760.01910.0164-0.0104-0.33380.2676-0.7335

-0.3586-0.06570.2220-0.65200.45680.42780.0012-0.0321

0.18350.7250-0.31870.22730.38020.37410.03510.0426

0.29440.0355-0.6354-0.6233-0.0265-0.3424-0.0240-0.0366

-0.2586-0.4975-0.46960.34980.5463-0.09780.18370.0324

根据第三问，取前三个主成分，可得主成分的线性表达式为：

5.利用SPSS进行主成分分析；

标准化后的原始数据进行主成分分析如下：

FactorAnalysis

Communalities（变量共同度）给出了该次分析从每个原始变量中提取的信息，表格下面的注示表明，该次分析是用Factoranalysis模块默认的信息提取方法即主成分分析完成的。

由图可知除第五个和第七个变量外，其余主成分均包含了各个变量80%以上的信息。

TotalVarianceExplained表显示了各主成分解释原始变量总方差的情况，SPSS默认保留特征根大于1的主成分，在本例中修改设置，保留3个主成分，这3个主成分集中了原始8个变量信息的87.087%，可见效果是比较好的。

前面三个主成分的方差占全部方差比例的87.087%>85%，可以选取前三个主成分分别为第一、第二、第三主成分，就基本上保留了原来指标的信息，这样由原来的八个指标转化为3个新指标，起到了降维的作用。

而当我们选取四个主成分时，就保留了原变量信息的93.984%。

利用SPSS得出的主成分系数为标准主成分系数，将其化为主成分系数如下：

将ComponentScoreCoefficientMatrix中的1-3列数字分别在SPSS中建立新的散列b1,b2,b3

输入

得到原始数据主成分系数为：

00.06690.2612

0.41860.3458-0.1213

0.3965-0.01120.3824

0.41860.3235-0.0187

0.3525-0.0669-0.2239

-0.17620.72500.3171

-0.28640.03350.6343

0.2644-0.50190.4664

故主成分的线性表达式为：

将各个主成分得分乘以相应的sqrt（λ）即特征根的二次方根可以将其还原为未经标准化的主成分得分.这里同样使用compute命令还原为主成分得分

pscore1=FAC1_1*SQRT（λ1）,

所得pscore1，pscore2，pscore3数据分别为：

0.02-1.03-1.45

0.87-2.200.43

-1.620.250.82

-3.74-0.96-0.23

3.891.63-0.31

3.85-1.481.02

1.66-.270.98

-2.831.140.93

-0.500.801.02

0.710.310.29

-0.25-0.36-1.55

-0.70-0.20-1.21

-1.061.190.07

1.781.39-1.06

-2.07-0.220.25

综合评价：

重新进入Compute对话框，在Target