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1、提高班第三次作业数学建模提高班第三次作业【作业1】 全国重点水泥企业经济效益综合评价例。利用主成分综合评价全国重点水泥企业的经济效益。原始数据（数据来自1984年中国统计年鉴）见表5-10。1.利用一般的Matlab命令将数据标准化；2. 利用Matlab命令计算出相关矩阵的方差及特征值；3.写出主成分的线性表达式；4.利用统计工具箱中命令得到如上结果；5.利用SPSS进行主成分分析；6.对得到的结果作出解释。解：1.利用一般的Matlab命令将数据标准化根据题意利用MATLAB编程如下：load dsc.txt; n,p=size(dsc);MEAN=mean( dsc) ; %求各变量的均

2、值STD=std( dsc); %求各变量的标准差MEAN=ones(n,p)*diag(MEAN);STD=ones(n,p)*diag(STD);x=(dsc-MEAN)./STD %原始数据标准化求解得标准化后的数据为：x = -0.3767 -0.3579 -0.1136 -0.3667 -0.0388 -1.1777 -1.3633 -0.2771 0.0882 -0.2939 0.0508 -0.2873 0.3562 -1.1777 -0.4073 2.2531 -0.6046 -0.6229 0.0568 -0.5810 -0.4277 0.2944 1.6425 -0.774

3、1 -1.8223 -1.7643 -1.6884 -1.7200 -1.1725 -0.1472 1.0792 -0.5482 1.5891 1.9944 1.2163 2.1414 1.2879 0.8833 -1.8658 0.6039 2.1248 0.9100 2.2981 1.1681 0.7553 -1.9138 -0.4190 1.6432 0.9641 0.5177 0.6216 0.5421 0.8587 0 0.2635 1.2591 -0.6277 -0.9322 -0.8054 -0.7824 -2.8714 1.9138 0.2565 -0.2771 0.1066

4、-0.1974 0.1210 -0.1911 0.3219 1.1777 1.0442 -0.0964 0.3083 0.3104 0.9802 0.4389 -0.0857 -0.1472 0.0975 -0.3223 -0.3660 -0.2021 -0.4453 -0.2843 0.1121 -0.7361 -1.0711 -0.7967 -0.5076 -0.2567 -0.9264 -0.4629 0.4385 -0.2944 -0.4471 -0.6160 -0.3998 -0.1222 -0.0164 -0.1454 -0.2095 0.8833 0.6795 -1.2711 0

5、.4792 1.8441 -0.2316 1.4787 0.8449 0 -0.5452 -0.6838-0.9556 -0.8270 -1.1177 -0.9481 -0.1698 0.4416 1.0559 -0.09642. 利用Matlab命令计算出相关矩阵的方差及特征值根据题意利用MATLAB编程如下：R=cov(x) %注释： 由于数据已经过标准化处理，故x的协方差矩阵等于其相关系数矩阵，即R=corrcoef(x).V,D=eig(R); %注释： 函数eig的功能是对矩阵R进行正交对角化变换，矩阵D是以R的特征值为对角元的对角矩阵（对角元按从小到大的顺序排列），矩阵V是正交变换

6、矩阵。DD= ; %将特征值对角矩阵D改写为列向量DDfor i=p:-1:1 %此处要注意eig函数的输出D中特征值的排列顺序DD=DD;D(i,i);end OFFER=DD/sum(DD); %计算特征值的方差贡献率 cumOFFER=cumsum(DD)/sum(DD); %计算特征值的方差累计贡献率 OUTCOME=DD,OFFER,cumOFFER %综合输出计算结果 pri=1;for i=1:p if cumOFFER(i)85%，故应选取前三个作为主成分，此时对应的特征变量分别为：PCACOV = 0.4337 -0.0621 -0.2580 0.4088 -0.3413 0

7、.1175 0.3895 0.0116 -0.3797 0.4211 -0.3176 0.0191 0.3586 0.0657 0.2220 -0.1835 -0.7250 -0.3187 -0.2944 -0.0355 -0.63540.2586 0.4975 -0.4696主成分的线性表达式为：4.利用统计工具箱中命令得到如上结果；根据题意利用MATLAB编程如下：（1）利用原始数据进行主成分分析：【参数说明】 x 原始数据矩阵（样本点变量） PC 主成分系数向量（列） SCORE 样本点的主成分得分 latent x的协方差矩阵的特征值 tsquare 每一个样本点的HotellingT

8、2统计量的值PC=princomp(x) PC,SCORE,latent,tsquare=princomp(x) 求解得：PC = 0.4337 0.0621 -0.2580 0.0813 0.1283 0.0391 0.8450 0.0534 0.4088 0.3413 0.1175 -0.0650 -0.0930 -0.5009 -0.1143 -0.6525 0.3895 -0.0116 -0.3797 -0.0360 0.5678 0.4317 -0.4071 -0.1679 0.4211 0.3176 0.0191 0.0164 0.0104 -0.3338 -0.2676 0.73

9、35 0.3586 -0.0657 0.2220 -0.6520 -0.4568 0.4278 -0.0012 0.0321 -0.1835 0.7250 -0.3187 0.2273 -0.3802 0.3741 -0.0351 -0.0426 -0.2944 0.0355 -0.6354 -0.6233 0.0265 -0.3424 0.0240 0.0366 0.2586 -0.4975 -0.4696 0.3498 -0.5463 -0.0978 -0.1837 -0.0324PC = 0.4337 0.0621 -0.2580 0.0813 0.1283 0.0391 0.8450

10、0.0534 0.4088 0.3413 0.1175 -0.0650 -0.0930 -0.5009 -0.1143 -0.6525 0.3895 -0.0116 -0.3797 -0.0360 0.5678 0.4317 -0.4071 -0.1679 0.4211 0.3176 0.0191 0.0164 0.0104 -0.3338 -0.2676 0.7335 0.3586 -0.0657 0.2220 -0.6520 -0.4568 0.4278 -0.0012 0.0321 -0.1835 0.7250 -0.3187 0.2273 -0.3802 0.3741 -0.0351

11、-0.0426 -0.2944 0.0355 -0.6354 -0.6233 0.0265 -0.3424 0.0240 0.0366 0.2586 -0.4975 -0.4696 0.3498 -0.5463 -0.0978 -0.1837 -0.0324SCORE = 0.0235 -1.0225 1.4543 0.5011 0.4974 0.2747 -0.0734 -0.0285 0.8633 -2.1992 -0.4269 0.5619 -0.8921 -0.1006 -0.2183 -0.0492 -1.6305 0.2496 -0.8188 -0.9690 0.5565 -0.0

12、527 -0.1356 -0.0026 -3.7463 -0.9607 0.2294 -0.1343 -0.1265 -0.2148 -0.0574 0.1017 3.8851 1.6345 0.3099 0.7261 -0.5725 0.3345 -0.1416 0.0659 3.8507 -1.4825 -1.0193 -0.0415 0.9788 -0.1805 0.1979 0.0277 1.6561 -0.2719 -0.9816 -0.2524 -0.6390 0.0198 0.1314 0.0033 -2.8244 1.1268 -0.9369 2.0760 0.2830 -0.

13、2173 0.1066 -0.0192 -0.5007 0.7948 -1.0224 -0.6127 -0.4157 0.4492 0.1155 -0.0245 0.7114 0.3158 -0.2896 -0.1743 0.8456 0.0396 -0.2247 -0.0112 -0.2500 -0.3595 1.5485 0.1433 0.3515 0.2069 0.1176 0.0001 -0.6972 -0.2071 1.2082 -0.2885 -0.3358 0.1541 0.2137 -0.0134 -1.0570 1.1980 -0.0706 -0.5572 0.4216 0.

14、2195 -0.0593 -0.0237 1.7808 1.3968 1.0643 -0.4985 -0.2531 -0.8837 0.0042 -0.0248 -2.0647 -0.2130 -0.2485 -0.4800 -0.6998 -0.0487 0.0235 -0.0016latent = 4.8528 1.2440 0.8702 0.5518 0.3570 0.1020 0.0207 0.0015tsquare = 5.9552 11.0559 4.8569 11.2313 12.1755 11.4199 3.8362 12.9637 5.9442 4.8739 4.3432 4

15、.8346 3.4653 12.21772.8265由以上结果可知：利用统计工具箱中的命令得到的协方差矩阵特征值为：latent = 4.8528 1.2440 0.8702 0.5518 0.3570 0.1020 0.0207 0.0015（2）利用原始标准化后的数据进行主成分分析：【参数说明】 R 原始数据相关系数矩阵（样本点变量） PC 主成分系数向量（列） latent 相关矩阵R的特征值 explained 每一个主成分的方差贡献率PC=pcacov(R)； PC, latent,explained=pcacov(R) 求解得：PC = -0.4337 0.0621 -0.2580

16、 0.0813 -0.1283 0.0391 -0.8450 -0.0534 -0.4088 0.3413 0.1175 -0.0650 0.0930 -0.5009 0.1143 0.6525 -0.3895 -0.0116 -0.3797 -0.0360 -0.5678 0.4317 0.4071 0.1679 -0.4211 0.3176 0.0191 0.0164 -0.0104 -0.3338 0.2676 -0.7335 -0.3586 -0.0657 0.2220 -0.6520 0.4568 0.4278 0.0012 -0.0321 0.1835 0.7250 -0.3187

17、 0.2273 0.3802 0.3741 0.0351 0.0426 0.2944 0.0355 -0.6354 -0.6233 -0.0265 -0.3424 -0.0240 -0.0366 -0.2586 -0.4975 -0.4696 0.3498 0.5463 -0.0978 0.1837 0.0324latent = 4.8528 1.2440 0.8702 0.5518 0.3570 0.1020 0.0207 0.0015explained = 60.6596 15.5495 10.8777 6.8975 4.4630 1.2749 0.25890.0189由以上结果可知：利用

18、统计工具箱中的命令得到的相关矩阵R的特征值为：latent = 4.8528 1.2440 0.8702 0.5518 0.3570 0.1020 0.0207 0.0015主成分相关系数为：PC = -0.4337 0.0621 -0.2580 0.0813 -0.1283 0.0391 -0.8450 -0.0534 -0.4088 0.3413 0.1175 -0.0650 0.0930 -0.5009 0.1143 0.6525 -0.3895 -0.0116 -0.3797 -0.0360 -0.5678 0.4317 0.4071 0.1679 -0.4211 0.3176 0.0

19、191 0.0164 -0.0104 -0.3338 0.2676 -0.7335 -0.3586 -0.0657 0.2220 -0.6520 0.4568 0.4278 0.0012 -0.0321 0.1835 0.7250 -0.3187 0.2273 0.3802 0.3741 0.0351 0.0426 0.2944 0.0355 -0.6354 -0.6233 -0.0265 -0.3424 -0.0240 -0.0366 -0.2586 -0.4975 -0.4696 0.3498 0.5463 -0.0978 0.1837 0.0324根据第三问，取前三个主成分，可得主成分的

20、线性表达式为：5.利用SPSS进行主成分分析；标准化后的原始数据进行主成分分析如下：Factor AnalysisCommunalities（变量共同度）给出了该次分析从每个原始变量中提取的信息，表格下面的注示表明，该次分析是用Factor analysis模块默认的信息提取方法即主成分分析完成的。由图可知除第五个和第七个变量外，其余主成分均包含了各个变量80%以上的信息。 Total Variance Explained表显示了各主成分解释原始变量总方差的情况，SPSS默认保留特征根大于1的主成分，在本例中修改设置，保留3个主成分，这3个主成分集中了原始8个变量信息的87.087%，可见效果

21、是比较好的。前面三个主成分的方差占全部方差比例的87.087%85%，可以选取前三个主成分分别为第一、第二、第三主成分，就基本上保留了原来指标的信息，这样由原来的八个指标转化为3个新指标，起到了降维的作用。而当我们选取四个主成分时，就保留了原变量信息的93.984%。 利用SPSS得出的主成分系数为标准主成分系数，将其化为主成分系数如下：将Component Score Coefficient Matrix中的1-3列数字分别在SPSS中建立新的散列b1,b2,b3输入,得到原始数据主成分系数为：0 0.0669 0.26120.4186 0.3458 -0.12130.3965 -0.011

22、2 0.38240.4186 0.3235 -0.01870.3525 -0.0669 -0.2239-0.1762 0.7250 0.3171-0.2864 0.0335 0.63430.2644 -0.5019 0.4664故主成分的线性表达式为：将各个主成分得分乘以相应的sqrt()即特征根的二次方根可以将其还原为未经标准化的主成分得分. 这里同样使用compute命令还原为主成分得分pscore1=FAC1_1*SQRT(1),所得pscore1，pscore2，pscore3数据分别为：0.02 -1.03 -1.450.87 -2.20 0.43-1.62 0.25 0.82-3.74 -0.96 -0.233.89 1.63 -0.313.85 -1.48 1.021.66 -.27 0.98-2.83 1.14 0.93-0.50 0.80 1.020.71 0.31 0.29-0.25 -0.36 -1.55-0.70 -0.20 -1.21-1.06 1.19 0.071.78 1.39 -1.06-2.07 -0.22 0.25综合评价： 重新进入Compute对话框，在Target