第4章 锐角三角函数副本Word格式.docx

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5.利用计算器计算sin50°

在计算器上依次按键sin50，则屏幕上显示的就是sin50°

的值，

6.如果已知正弦值，我们可以利用计算器求出它对应的锐角的度数.

例如：

已知sinα=0.7071，求α的度数.我们可以依次按键2ndFsin0.7071，则屏幕上显示的就是α的度数.

三、运用新知，深化理解

1.见教材P110例1、P113例2.

2.在△ABC中，∠A＝45°

，∠B＝60°

，a＝2，则b等于（）

A.6B.2C.3D．26【答案】A

3.计算sin36°

=_____.（保留四个有效数字）．【答案】0.5878

4.若sinA=0.1234sinB=0.2135,则A_____B（填＜、＞、＝）

解析：

根据sin30°

=1/2,sin45°

=

/2,sin60°

/2，我们可以发现锐角的度数越大，正弦值越大.【答案】＜

5.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°

，AC＝4，BC＝3，

（1）求∠A的正弦sinA.

（2）求∠B的正弦sinB.

6.在Rt△ABC中，如果各边长度都扩大3倍，则锐角A的正弦值（）

A.不变化B.扩大3倍C.缩小1/3D.缩小3倍【答案】A

7.已知：

在△ABC中，∠B=45°

，∠C=75°

，AC=2，求BC的长．

8.求sin63°

52′41″的值.（精确到0.0001）

四、师生互动、课堂小结

先小组内交流收获和感想，而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充.

布置作业:

教材“习题4.1”中第3、4题.

第2课时余弦的概念和余弦值的求法

1.使学生理解锐角余弦的定义.

2.会求直三角形中锐角的余弦值.

3.会用计算器求一般锐角的余弦值.

通过锐角三角函数的学习，进一步认识函数，体会函数的变化与对应的思想，逐步培养学生会观察、比较、分析、概括等逻辑思维能力.

【情感态度】

引导学生探索、发现，以培养学生独立思考、勇于创新的精神和良好的学习习惯.

【教学重点】

求直三角形中锐角的余弦值.

1.什么叫作正弦？

2.sin30°

的值分别是多少？

1.如图，△ABC和△DEF都是直角三角形，其中∠A=∠D=α,∠C=∠F=90°

则

成立吗？

为什么？

由此可得，在有一个锐角等于α的所有直角三角形中，角α的邻边与斜边的比值是一个常数，与直角三角形的大小无关.

从上述探究和证明过程看出，对于任意锐角α，有cosα=sin（90°

-α）,从而有：

sinα=cos（90°

-α）.

2.计算cos30°

，cos45°

，cos60°

3.我们已经知道了三个特殊角（30°

）的余弦值，而对于一般锐角α的余弦值，我们可以用计算器来计算.

例如，求cos50°

角的余弦值，我们可以在计算器上依次按键

，则屏幕上显示的就是cos50°

4.如果已知余弦值，我们可以利用计算器求出它对应的锐角的度数.

已知cosα=0.8661，求α的度数.我们可以依次按键

，则屏幕上显示的就是α的度数.

1.见教材P115例4.

2.下列说法正确的个数有（）

（1）对于任意锐角α，都有0＜sinα＜1和0＜cosα＜1

（2）对于任意锐角α1，α2，如果α1＜α2，那么cosα1＜cosα2

（3）如果sinα1＜sinα2，那么锐角α1＜锐角α2

（4）对于任意锐角α，都有sinα=cos（90°

-α）

A.1个B.2个C.3个D.4个【答案】C

3.在△ABC中，∠C=90°

，若2AC=

AB，求∠A的度数及cosB的值．

4.计算：

（1）｜-

｜-2sin60°

+sin45°

·

cos45°

;

（2）cos260°

+cos245°

+

sin30°

sin45°

.

5.用计算器求值（保留四位小数）：

（1）sin38°

19′；

（2）cos78°

43′16″．

解：

（1）按MODE，出现：

DEG，按sin，38，“．”，19，“．”，=，显示：

0.620007287,则结果为0.6200.

（2）按MODE，出现：

DEG，按cos，78，“．”，43，“．”，16，“．”=，显示：

0.195584815,则结果为0.1956.

6.若sin40°

=cosα，求α的度数．

7.在Rt△ABC中，∠C=90°

，sinB=3/5，求BC/AB的值.

8.正方形网格中，∠AOB如图放置，求cos∠AOB的值.

教材“习题4.1”中第6、7、8题.

第3课时正弦和余弦

1.进一步认识正弦和余弦；

2.正弦和余弦的综合应用.

通过合作交流，能够根据直角三角形中边角关系，进行简单的计算.

经过探索，引导、培养学生观察，分析、发现问题的能力.

直角三角形中锐角的正弦、余弦的综合应用.

1.正弦和余弦的定义是什么？

2.正弦和余弦之间有什么关系？

【教学说明】复习有关知识，为本节课的教学作准备.

一个小孩荡秋千，秋千链子的长度为2.5m，当秋千向两边摆动时，摆角恰好为60°

，且两边的摆动角度相同，求它摆至最高位置时与其摆至最低位置时的高度之差.（结果精确到0.01m）

1.求下列式子的值.

2.在Rt△ABC中,∠C=90°

BC=6,sinA=3/5,求cosA.

3.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°

，cosA＝12/13，AC＝10，AB等于多少?

sinB呢?

4.已知：

如图，CD是Rt△ABC的斜边AB上的高，求证：

BC2＝AB·

BD.（用正弦、余弦函数的定义证明）

教材“习题4.1”中第9、10题.

4.2正切

使学生了解正切的概念，能够正确地用tanA表示直角三角形（其中一个锐角为∠A）中两直角边的比，熟记30°

角的各个三角函数值，会计算含有这三个特殊锐角的三角函数值的式子.

逐步培养学生观察、比较、分析、综合、概括等逻辑思维能力.

培养学生独立思考、勇于创新的精神.

了解正切的概念，熟记特殊角的正切值.

正切的应用.

1.如图：

在Rt△ABC中，∠C＝90°

，

sinA=________；

cosA=________.

2.当直角三角形的一个锐角的大小确定时，其对边与邻边比值也是唯一确定的吗？

则BC/AC=EF/DF成立吗？

由此可得，在有一个锐角等于α的所有直角三角形中，角α的对边与邻边的比值是一个常数，与直角三角形的大小无关.

2.求tan30°

、tan45°

、tan60°

3.30°

的正弦、余弦、正切值分别是多少？

【归纳结论】

4.如何用计算器求一般锐角的正切值？

求25°

角的正切值，可以在计算器上依次按键

，则屏幕上显示的0.4663…就是25°

角的正切值.

5.如果已知正切值，我们可以利用计算器求出它对应的锐角的度数.

已知tanα=0.8391，求α的度数.我们可以依次按键

6.什么是锐角三角函数？

【归纳结论】我们把锐角α的正弦、余弦、正切统称为角α的锐角三角函数.

1.求tan70°

45′的值.（精确到0.0001）

2.

（1）求下列三角函数值：

sin60°

，cos70°

，tan45°

，sin29.12°

，cos37°

42′6″，tan18°

31′.

（2）计算下列各式：

sin25°

+cos65°

sin36°

cos72°

tan56°

tan34°

略

3.计算：

4.在△ABC中，∠C=90°

，AB=8，cosA=3/4，求BC的长．

5.在Rt△ABC中，∠C=90°

，AB=2BC，现给出下列结论：

，其中正确的结论是______.（只需填上正确结论的序号）

6.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°

，∠A=35°

，AC=6，求BC，AB的长.（精确到0.001）

7.如图,工件上有一V型槽,测得它的上口宽20mm,深19.2mm.求V型角（∠ACB）的大小（结果精确到度）.

教材“习题4.2”中第1、2、3题.

4.3解直角三角形

使学生理解直角三角形中五个元素的关系，会运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形．

通过综合运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形，逐步培养学生分析问题、解决问题的能力．

渗透数形结合的数学思想，培养学生良好的学习习惯．

直角三角形的解法．

三角函数在解直角三角形中的灵活运用．

1.什么是锐角三角函数？

2.你知道哪些特殊的锐角三角函数值？

1．在三角形中共有几个元素？

2．直角三角形ABC中，∠C=90°

，a、b、c、∠A、∠B这五个元素间有哪些等量关系呢？

（1）边、角之间的关系：

sinA=∠A的对边/斜边cosA=∠A的邻边/斜边

tanA=∠A的对边/∠A的邻边

（2）三边之间的关系：

a2+b2=c2（勾股定理）

（3）锐角之间的关系：

∠A+∠B=90°

．

3.做一做：

在直角三角形ABC中，已知两边，你能求出这个直角三角形中其它的元素吗？

4.做一做：

在直角三角形ABC中，已知一角一边，你能求出这个直角三角形中其它的元素吗？

5.想一想：

在直角三角形ABC中，已知两角，你能求出这个直角三角形中其它的元素吗？

，∠A=30°

，a=5.求∠B、b、c.

7.在解直角三角形中，两个已知元素中至少有一条边.

1.见教材P122例2.

2.已知在△ABC中，∠C为直角，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，c＝8

，∠A＝60°

，求∠B、a、b．

3.已知在△ABC中，∠C为直角，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，a＝3

，∠A＝30°

，求∠B、b、c.

4.已知在△ABC中，∠C为直角，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，c＝

-2，a＝

－1，求∠A、∠B、b.

5.已知在△ABC中，∠C为直角，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，a＝6，b＝2

，求∠A、∠B、c.

6.在直角三角形ABC中，锐角A为30°

，锐角B的平分线BD的长为8cm，求这个三角形的三条边的长．

7.如图，在三角形纸片ABC中，∠C=90°

，AC=6，折叠该纸片，使点C落在AB边上的D点处，折痕BE与AC交于点E，若AD=BD，则折痕BE的长为多少？

教材“习题4.3”中第1、3、4题.

第1课时俯角和仰角问题

比较熟练地应用解直角三角形的知识解决与仰角、俯角有关的实际问题.

通过学习进一步掌握解直角三角形的方法.

培养学生把实际问题转化为数学问题的能力.

应用解直角三角形的知识解决与仰角、俯角有关的实际问题.

选用恰当的直角三角形，分析解题思路.

海中有一个小岛A，该岛四周10海里内有暗礁.今有货轮由西向东航行，开始在A岛南偏西55°

的B处，往东行驶20海里后，到达该岛的南偏西25°

的C处，之后，货轮继续往东航行，你认为货轮继续向东航行途中会有触礁的危险吗?

你是如何想的?

与同伴进行交流.

1.某探险者某天到达如图所示的点A处，他准备估算出离他的目的地——海拔为3500m的山峰顶点B处的水平距离.你能帮他想出一个可行的办法吗？

2.如图，在离上海东方明珠塔底部1000m的A处，用仪器测得塔顶的仰角为25°

，仪器距地面高为1.7m.求上海东方明珠塔的高度.（结果精确到1m）

1.如图，某飞机于空中A处探测到目标C，此时飞行高度AC=1200米，从飞机上看地平面控制点B的俯角α=16°

31′，求飞机A到控制点B的距离.（精确到1米）

2.热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为30°

，看这栋高楼底部的俯角为60°

，热气球与高楼的水平距离为120m.这栋高楼有多高（结果精确到0.1m）?

3.如图，在离树BC12米的A处，用测角仪测得树顶的仰角是30°

，测角仪AD高为1.5米，求树高BC．（计算结果可保留根号）

4.广场上有一个充满氢气的气球P，被广告条拽着悬在空中，甲乙二人分别站在E、F处，他们看气球的仰角分别是30°

，E点与F点的高度差AB为1米，水平距离CD为5米，FD的高度为0.5米，请问此气球有多高？

（结果保留到0.1米）

教材“习题4.4”中第2、4、5题.

第2课时坡度和方位角问题

1.了解测量中坡度、坡角的概念；

2.掌握坡度与坡角的关系，能利用解直角三角形的知识，解决与坡度、与弧长的有关实际问题.

通过对例题的学习，使学生能够利用所学知识解决实际问题.

进一步培养学生把实际问题转化为数学问题的能力.

能利用解直角三角形的知识，解决与坡度、与弧长有关的实际问题.

能利用解直角三角形的知识，解决与坡度、与弧长的有关实际问题.

如图所示，斜坡AB和斜坡A1B1，哪一个倾斜程度比较大?

显然，斜坡A1B1的倾斜程度比较大，说明∠A1＞∠A.

即tanA1＞tanA.

1．坡度的概念，坡度与坡角的关系.

如上图，这是一张水库拦水坝的横断面的设计图，坡面的铅垂高度与水平前进的距离的比叫作坡度（或坡比），记作i，即i＝AC/BC，坡度通常用l∶m的形式，例如上图中的1∶2的形式.坡面与水平面的夹角叫作坡角，记作α.从三角函数的概念可以知道，坡度与坡角的关系是i＝tanB，显然，坡度越大，坡角越大，坡面就越陡.

2.如图，一山坡的坡度为i＝1∶2,小刚从山脚A出发，沿山坡向上走了240米到达点C，这座山坡的坡角是多少度？

小刚上升了多少米？

（角度精确到0.01°

，长度精确到0.1米）

3.如图，一艘船以40km/h的速度向正东航行，在A处测得灯塔C在北偏东60°

方向上，继续航行1h到达B处，这时测得灯塔C在北偏东30°

方向上，已知在灯塔C的四周30km内有暗礁.问这艘船继续向东航行是否安全？

1.如图，在山坡上种树，要求株距（相邻两树间的水平距离）是5.5m，测得斜坡的倾斜角是24°

，求斜坡上相邻两树的坡面距离是多少（精确到0.1m）．

2.同学们，如果你是修建三峡大坝的工程师，现在有这样一个问题请你解决：

如图水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽6m，坝高23m，斜坡AB的坡度i=1∶3，斜坡CD的坡度i=1∶2.5，求斜坡AB的坡面角α，坝底宽AD和斜坡AB的长（精确到0.1m）．

3.庞亮和李强相约周六去登山，庞亮从北坡山脚C处出发，以24米/分钟的速度攀登，同时，李强从南坡山脚B处出发．如图，已知小山北坡的坡度i=1∶

，山坡长为240米，南坡的坡角是45°

．问李强以什么速度攀登才能和庞亮同时到达山顶A？

（将山路AB、AC看成线段，结果保留根号）

4.某公园有一滑梯，横截面如图所示，AB表示楼梯，BC表示平台，CD表示滑道．若点E，F均在线段AD上，四边形BCEF是矩形，且sin∠BAF=2/3，BF=3米，BC=1米，CD=6米．求：

（1）∠D的度数；

（2）线段AE的长．

5.日本福岛发生核电站事故后，我国国家海洋局高度关注事态发展，紧急调集海上巡逻的海检船，在相关海域进行现场监测与海水采样，针对核泄漏在极端情况下对海洋环境的影响及时开展分析评估．如图，上午9时，海检船位于A处，观测到某港口城市P位于海检船的北偏西67.5°

方向，海检船以21海里/时的速度向正北方向行驶，下午2时海检船到达B处，这时观察到城市P位于海检船的南偏西36.9°

方向，求此时海检船所在B处与城市P的距离.

（参考数据：

sin36.9°

≈35，tan36.9°

≈34，sin67.5°

≈1213，tan67.5°

≈125）

先小组内交流收获和感想而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充.

教材“习题4.1”中第1、6、7题.

章末复习

1.了解锐角三角函数的概念，熟记30°

的正弦、余弦和正切的函数值.

2.能够正确地使用计算器，由已知锐角的度数求出它的三角函数值，由已知三角函数值求出相应的锐角的度数.

3.会用解直角三角形的有关知识解决简单的实际问题.

通过锐角三角函数的学习，进一步认识函数，体会函数的变化与对应的思想.

通过解直角三角形的学习，体会数学在解决实际问题中的作用.

会用解直角三角形的有关知识解决简单的实际问题.

【布置作业】

完成本课时对应练习，并提醒学生预习下一节的内容。

一、知识结构

二、释疑解惑，加深理解

1.正弦的概念：

在直角三角形中，我们把锐角α的对边与斜边的比叫作角α的正弦.记作sinα，即：

sinα=角α的对边/斜边.

2.余弦的概念：

在直角三角形中，我们把锐角α的邻边与斜边的比叫作角α的余弦.记作cosα.即cosα=角α的邻边/斜边.

3.正切的概念：

在直角三角形中，我们把锐角α的对边与邻边的比叫作角α的正切.记作tanα，即：

tanα=角α的对边/角α的邻边

4.特殊角的三角函数值：

5.三角函数的概念：

我们把锐角α的正弦、余弦、正切统称为角α的锐角三角函数.

6.解直角三角形的概念：

在直角三角形中，利用已知元素求其余未知元素的过程，叫作解直角三角形.

7.仰角、俯角的概念：

当我们进行测量时，在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫作仰角，在水平线下方的角叫作俯角．

8.坡度的概念：

坡面的铅垂高度与水平前进的距离的比叫作坡度（或坡比）；

记作i，坡度通常用l∶m的形式；

坡面与水平面的夹角叫作坡角，记作α.坡度越大，坡角越大，坡面就越陡.

1.已知，如图，D是△ABC中BC边的中点，∠BAD=90°

，tanB=2/3，求sin∠DAC．

2.计算：

tan230°

＋cos230°

－sin245°

tan45°

3.如图所示，菱形ABCD的周长为20cm，DE⊥AB，垂足为E，sinA=3/5，则下列结论正确的个数为（）

①DE＝3cm；

②BE＝1cm；

③菱形的面积为15cm2；

④BD＝2

cm．

A．1个B．2个C．3个D．4个

【答案】C

4.如图所示，一艘轮船位于灯塔P的北偏东60°

方向，与灯塔P的距离为80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东45°

方向上的B处，求此时轮船所在的B处与灯塔P的距离（结果保留根号）．

四、复习训练，巩固提高

1.如图，△ABC是等边三角形，P是∠ABC的平分线BD上一点，PE⊥AB于点E，线段BP的垂直平分线交BC于点F，垂足为点Q．若BF=2，则PE的长为（）

A．2B．2

C．3D．3【答案】C

2.如图，为了测量某山AB的高度，小明先在山脚下C点测得山顶A的仰角为45°

，然后沿坡角为30°

的斜坡走100米到达D点，在D点测得山顶A的仰角为30°

，求山AB的高度．（参考数据：

≈1.73）

3.如图，小红同学用仪器测量一棵大树AB的高度，在C处测得∠ADG=30°

，在E处测得∠AFG=60°

，CE=8米，仪器高度CD=1.5米，求这棵树AB的高度（结果保留两位有效数字，3≈1.732）．

五、师生互动，课堂小结

师生共同总结，对于本章的知识.你掌握了多少？

还存在哪些疑惑？

同学之间可以相互交流.

教材“复习题4”中第1、3、6、8、1