初一数学因式分解的常用方法可编辑修改word版.docx

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初一数学因式分解的常用方法可编辑修改word版

因式分解的常用方法

第一部分：

方法介绍

多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多

数学问题的有力工具．因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用．初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法．本讲及下一讲在中学数学教材基础上，对因式分解的方法、技巧和应用作进一步的介绍．

一、提公因式法.：

ma+mb+mc=m（a+b+c）二、运用公式法.

在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如：

（1）（a+b）（a-b）=a2-b2a2-b2=（a+b）（a-b）；

（2）（a±b）2=a2±2ab+b2———a2±2ab+b2=（a±b）2；（3）（a+b）（a2-ab+b2）=a3+b3a3+b3=（a+b）（a2-ab+b2）；

（4）（a-b）（a2+ab+b2）=a3-b3a3-b3=（a-b）（a2+ab+b2）．

下面再补充两个常用的公式：

（5）a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=（a+b+c）2；（6）a3+b3+c3-3abc=（a+b+c）（a2+b2+c2-ab-bc-ca）；

例.已知a，b，c是∆ABC的三边，且a2+b2+c2=ab+bc+ca，则∆ABC的形状是（）

A.直角三角形B等腰三角形C等边三角形D等腰直角三角形解：

a2+b2+c2=ab+bc+ca⇒2a2+2b2+2c2=2ab+2bc+2ca

⇒（a-b）2+（b-c）2+（c-a）2=0⇒a=b=c

三、分组分解法.

（一）分组后能直接提公因式

例1、分解因式：

am+an+bm+bn

分析：

从“整体”看，这个多项式的各项既没有公因式可提，也不能运用公式分解，但从“局部”看，这个多项式前两项都含有a，后两项都含有b，因此可以考虑将前两项分为一组，后两项分为一组先分解，然后再考虑两组之间的联系。

解：

原式=（am+an）+（bm+bn）

=a（m+n）+b（m+n）

=（m+n）（a+b）

每组之间还有公因式！

例2、分解因式：

2ax-10ay+5by-bx

解法一：

第一、二项为一组；解法二：

第一、四项为一组；第三、四项为一组。

第二、三项为一组。

解：

原式=（2ax-10ay）+（5by-bx）

=2a（x-5y）-b（x-5y）

=（x-5y）（2a-b）

原式=（2ax-bx）+（-10ay+5by）

=x（2a-b）-5y（2a-b）

=（2a-b）（x-5y）

练习：

分解因式1、a2-ab+ac-bc2、xy-x-y+1

（二）分组后能直接运用公式

例3、分解因式：

x2-y2+ax+ay

分析：

若将第一、三项分为一组，第二、四项分为一组，虽然可以提公因式，但提完后就能继续分解，所以只能另外分组。

解：

原式=（x2-y2）+（ax+ay）

=（x+y）（x-y）+a（x+y）

=（x+y）（x-y+a）

例4、分解因式：

a2-2ab+b2-c2

解：

原式=（a2-2ab+b2）-c2

=（a-b）2-c2

=（a-b-c）（a-b+c）

练习：

分解因式3、x2-x-9y2-3y4、x2-y2-z2-2yz

综合练习：

（1）x3+x2y-xy2-y3

（2）ax2-bx2+bx-ax+a-b

（3）x2+6xy+9y2-16a2+8a-1（4）a2-6ab+12b+9b2-4a

（5）a4-2a3+a2-9（6）4a2x-4a2y-b2x+b2y

四、十字相乘法.

（一）二次项系数为1的二次三项式

直接利用公式——x2+（p+q）x+pq=（x+p）（x+q）进行分解。

特点：

（1）二次项系数是1；

（2）常数项是两个数的乘积；

（3）一次项系数是常数项的两因数的和。

思考：

十字相乘有什么基本规律？

例.已知0＜a≤5，且a为整数，若2x2+3x+a能用十字相乘法分解因式，求符合条件的a.

解析：

凡是能十字相乘的二次三项式ax2+bx+c，都要求∆=b2-4ac

于是∆=9-8a为完全平方数，a=1

>0而且是一个完全平方数。

例5、分解因式：

x2+5x+6

分析：

将6分成两个数相乘，且这两个数的和要等于5。

由于6=2×3=（-2）×（-3）=1×6=（-1）×（-6），从中可以发现只有2×3的分解适合，即2+3=5。

12

解：

x2+5x+6=x2+（2+3）x+2⨯3

=（x+2）（x+3）

13

1×2+1×3=5

用此方法进行分解的关键：

将常数项分解成两个因数的积，且这两个因数的代数和要等于一次项的系数。

例6、分解因式：

x2-7x+6

解：

原式=x2+[（-1）+（-6）]x+（-1）（-6）

=（x-1）（x-6）

1-1

1-6

（-1）+（-6）=-7

练习5、分解因式

（1）x2+14x+24

（2）a2-15a+36

（3）x2+4x-5

练习6、分解因式

（1）x2+x-2

（2）y2-2y-15

（3）x2-10x-24

（二）二次项系数不为1的二次三项式——ax2+bx+c

条件：

（1）a=a1a2

（2）c=c1c2

a1c1

a2c2

（3）b=a1c2+a2c1b=a1c2+a2c1

分解结果：

ax2+bx+c=（ax+c）（ax+c）

1122

例7、分解因式：

3x2-11x+10

分析：

1-2

3-5

（-6）+（-5）=-11

解：

3x2-11x+10=（x-2）（3x-5）

练习7、分解因式：

（1）5x2+7x-6

-6y2+11y+10

（2）3x2-7x+2

（3）10x2-17x+3

（4）

（三）二次项系数为1的齐次多项式例8、分解因式：

a2-8ab-128b2

分析：

将b看成常数，把原多项式看成关于a的二次三项式，利用十字相乘法进行分解。

18b

1-16b8b+（-16b）=-8b

解：

a2-8ab-128b2=a2+[8b+（-16b）]a+8b⨯（-16b）

=（a+8b）（a-16b）

练习8、分解因式

（1）x2-3xy+2y2

（2）m2-6mn+8n2（3）a2-ab-6b2

（四）二次项系数不为1的齐次多项式例9、2x2-7xy+6y2

例10、x2y2-3xy+2

1-2y

2-3y（-3y）+（-4y）=-7y

解：

原式=（x-2y）（2x-3y）

把xy看作一个整体1-1

1-2

（-1）+（-2）=-3

解：

原式=（xy-1）（xy-2）

练习9、分解因式：

（1）15x2+7xy-4y2

（2）a2x2-6ax+8

综合练习10、

（1）8x6-7x3-1

（2）12x2-11xy-15y2

（3）（x+y）2-3（x+y）-10

（4）

（a+b）2-4a-4b+3

（5）

x2y2-5x2y-6x2

（6）

m2-4mn+4n2-3m+6n+2

（7）x2+4xy+4y2-2x-4y-3（8）5（a+b）2+23（a2-b2）-10（a-b）2

（9）4x2-4xy-6x+3y+y2-10（10）12（x+y）2+11（x2-y2）+2（x-y）2

思考：

分解因式：

abcx2+（a2b2+c2）x+abc

五、换元法。

例13、分解因式

（1）2005x2-（20052-1）x-2005

（2）（x+1）（x+2）（x+3）（x+6）+x2

解：

（1）设2005=a，则原式=ax2-（a2-1）x-a

=（ax+1）（x-a）

=（2005x+1）（x-2005）

（2）型如abcd+e的多项式，分解因式时可以把四个因式两两分组相乘。

原式=（x2+7x+6）（x2+5x+6）+x2

设x2+5x+6=A，则x2+7x+6=A+2x

∴原式=（A+2x）A+x2=A2+2Ax+x2

=（A+x）2=（x2+6x+6）2

练习13、分解因式

（1）（x2+xy+y2）2-4xy（x2+y2）

（2）（x2+3x+2）（4x2+8x+3）+90

（3）（a2+1）2+（a2+5）2-4（a2+3）2

例14、分解因式

（1）2x4-x3-6x2-x+2

观察：

此多项式的特点——是关于x的降幂排列，每一项的次数依次少1，并且系数成“轴对称”。

这种多项式属于“等距离多项式”。

方法：

提中间项的字母和它的次数，保留系数，然后再用换元法。

解：

原式=x2（2x2-x-6-1+1）=x2[2（x2+1）-（x+1）-6]

xx2x2x

设x+1=t，则x2+1

xx2

=t2-2

∴原式=x2[（2t2-2）-t-6]=x2（2t2-t-10）

=x2（2t-5）（t+2）=2⎛

+2-⎫⎛

+1+2⎫

xç2x

⎝

5⎪çx⎪

⎭⎝x⎭

=⎛+2-⎫

⎛+1+2⎫=（2x2-5x+2）（x2+2x+1）

x·ç2xx5⎪·x·çxx⎪

⎝⎭⎝⎭

=（x+1）2（2x-1）（x-2）

（2）x4-4x3+x2+4x+1

2241

2⎡⎛21⎫⎛

1⎫⎤

解：

原式=x（x

-4x+1++）=x

xx2

⎢çx

+x2⎪-4çx-x⎪+1⎥

设x-1=y，则x2+1

xx2

⎣⎝

=y2+2

⎭⎝⎭⎦

∴原式=x2（y2-4y+3）=x2（y-1）（y-3）

=x2（x-1-1）（x-1-3）=（x2-x-1）（x2-3x-1）

xx

练习14、

（1）6x4+7x3-36x2-7x+6

（2）x4+2x3+x2+1+2（x+x2）

六、添项、拆项、配方法。

例15、分解因式

（1）x3-3x2+4

解法1——拆项。

解法2——添项。

原式=x3+1-3x2+3

=（x+1）（x2-x+1）-3（x+1）（x-1）

原式=x3-3x2-4x+4x+4

=x（x2-3x-4）+（4x+4）

=（x+1）（x2-x+1-3x+3）（x+1）（x2-4x+4）

=（x+1）（x-2）2

=x（x+1）（x-4）+4（x+1）=

=（x+1）（x2-4x+4）

=（x+1）（x-2）2

（2）x9+x6+x3-3

解：

原式=（x9-1）+（x6-1）+（x3-1）

=（x3-1）（x6+x3+1）+（x3-1）（x3+1）+（x3-1）

=（x3-1）（x6+x3+1+x3+1+1）

=（x-1）（x2+x+1）（x6+2x3+3）

练习15、分解因式

（1）x3-9x+8

x4-7x2+1

（2）（x+1）4+（x2-1）2+（x-1）4

（3）

（4）

x4+x2+2ax+1-a2

（5）

x4+y4+（x+y）4

（6）

2a2b2+2a2c2+2b2c2-a4-b4-c4

七、待定系数法。

例16、分解因式x2+xy-6y2+x+13y-6

分析：

原式的前3项x2+xy-6y2可以分为（x+3y）（x-2y），则原多项式必定可分为（x+3y+m）（x-2y+n）

解：

设x2+xy-6y2+x+13y-6=（x+3y+m）（x-2y+n）

∵（x+3y+m）（x-2y+n）=x2+xy-6y2+（m+n）x+（3n-2m）y-mn

∴x2+xy-6y2+x+13y-6=x2+xy-6y2+（m+n）x+（3n-2m）y-mn

⎧m+n=1

⎪⎧m=-2

对比左右两边相同项的系数可得⎨3n-2m=13，解得⎨n=3

⎩

⎪mn=-6⎩

∴原式=（x+3y-2）（x-2y+3）

例17、

（1）当m为何值时，多项式x2-y2+mx+5y-6能分解因式，并分解此多项式。

（2）如果x3+ax2+bx+8有两个因式为x+1和x+2，求a+b的值。

（1）分析：

前两项可以分解为（x+y）（x-y），故此多项式分解的形式必为（x+y+a）（x-y+b）

解：

设x2-y2+mx+5y-6=（x+y+a）（x-y+b）

则x2-y2+mx+5y-6=x2-y2+（a+b）x+（b-a）y+ab

⎧a+b=m

比较对应的系数可得：

⎨b-a=5

⎪ab=-6

⎧a=-2

，解得：

⎨b=3

⎪m=1

⎧a=2

或⎨b=-3

⎪m=-1

∴当m=±1时，原多项式可以分解；

当m=1时，原式=（x+y-2）（x-y+3）；当m=-1时，原式=（x+y+2）（x-y-3）

（2）分析：

x3+ax2+bx+8是一个三次式，所以它应该分成三个一次式相乘，因此第三个因式必为形如x+c的一次二项式。

解：

设x3+ax2+bx+8=（x+1）（x+2）（x+c）

则x3+ax2+bx+8=x3+（3+c）x2+（2+3c）x+2c

⎧a=3+c

∴⎨b=2+3c

⎪2c=8

∴a+b=21

⎧a=7

解得⎨b=14，

⎪c=4

练习17、

（1）分解因式x2-3xy-10y2+x+9y-2

（2）分解因式x2+3xy+2y2+5x+7y+6

（3）已知：

x2-2xy-3y2+6x-14y+p能分解成两个一次因式之积，求常数p并且分解因式。

（4）k为何值时，x2-2xy+ky2+3x-5y+2能分解成两个一次因式的乘积，并分解此多项式。

第二部分：

习题大全经典一：

一、填空题

1.把一个多项式化成几个整式的的形式，叫做把这个多项式分解因式。

2分解因式：

m3-4m=.

3.分解因式：

x2-4y2=.

4、分解因式：

-x2-4x-4=。

5.将xn-yn分解因式的结果为（x2+y2）（x+y）（x-y），则n的值为.

6、若x-y=5,xy=6，则x2y-xy2=，2x2+2y2=。

二、选择题

7、多项式15m3n2+5m2n-20m2n3的公因式是（）

A、5mn

B、5m2n2

C、5m2n

D、5mn2

8、下列各式从左到右的变形中，是因式分解的是（）

（a+3）（a-3）=a2-9

a2-b2=（a+b）（a-b）

m2-2m-3=m⎛m-2-3⎫

a2-4a-5=a（a-4）-5

çm⎪

C、D、⎝⎭

10.下列多项式能分解因式的是（）

（A）x2-y（B）x2+1（C）x2+y+y2（D）x2-4x+4

2

11.把（x－y）－（y－x）分解因式为（）

A．（x－y）（x－y－1）B．（y－x）（x－y－1）C．（y－x）（y－x－1）D．（y－x）（y－x＋1）

12.下列各个分解因式中正确的是（）A．10ab2c＋6ac2＋2ac＝2ac（5b2＋3c）B．（a－b）2－（b－a）2＝（a－b）2（a－b＋1）C．x（b＋c－a）－y（a－b－c）－a＋b－c＝（b＋c－a）（x＋y－1）D．（a－2b）（3a＋b）－5（2b－a）2＝（a－2b）（11b－2a）

13.若k-12xy+9x2是一个完全平方式，那么k应为（）

A.2B.4C.2y2D.4y2

三、把下列各式分解因式：

14、nx-ny

15、4m2-9n2

16、

m（m-n）+n（n-m）

17、a3-2a2b+ab2

（）

x2+42-16x2

18、

19、9（m+n）2-16（m-n）2；

五、解答题

20、如图，在一块边长a=6.67cm的正方形纸片中，挖去一个边长b=3.33cm的正方形。

求纸片剩余部分的面积。

21、如图，某环保工程需要一种空心混凝土管道，它的规格是内径d=45cm，外径D=75cm，长l=3m。

利用分解因式计算浇制一节这样的管道需要多少立方米的混凝土？

（取3.14，结果保留2位有效数字）

22、观察下列等式的规律，并根据这种规律写出第（5）个等式。

（1）x2-1=（x+1）（x-1）

（2）x4-1=（x2+1）（x+1）（x-1）

（3）x8-1=（x4+1）（x2+1）（x+1）（x-1）

（4）x16-1=（x8+1）（x4+1）（x2+1）（x+1）（x-1）

（5）

经典二：

因式分解小结

知识总结归纳

因式分解是把一个多项式分解成几个整式乘积的形式，它和整式乘法互为逆运算，在初中代数中占有重要的地位和作用，在其它学科中也有广泛应用，学习本章知识时，应注意以下几点。

1.因式分解的对象是多项式；

2.因式分解的结果一定是整式乘积的形式；

3.分解因式，必须进行到每一个因式都不能再分解为止；

4.公式中的字母可以表示单项式，也可以表示多项式；

5.结果如有相同因式，应写成幂的形式；

6.题目中没有指定数的范围，一般指在有理数范围内分解；

7.因式分解的一般步骤是：

（1）通常采用一“提”、二“公”、三“分”、四“变”的步骤。

即首先看有无公因式可提，其次看能否直接利用乘法公式；如前两个步骤都不能实施，可用分组分解法，分组的目的是使得分组后有公因式可提或可利用公式法继续分解；

（2）若上述方法都行不通，可以尝试用配方法、换元法、待定系数法、试除法、拆项（添项）等方法；下面我们一起来回顾本章所学的内容。

1.通过基本思路达到分解多项式的目的

例1.分解因式x5-x4+x3-x2+x-1

分析：

这是一个六项式，很显然要先进行分组，此题可把x5-x4+x3和-x2+x-1分别看成一组，此时六

项式变成二项式，提取公因式后，再进一步分解；也可把x5-x4，x3-x2，x-1分别看成一组，此时的六项

式变成三项式，提取公因式后再进行分解。

解一：

原式=（x5-x4+x3）-（x2-x+1）

=x3（x2-x+1）-（x2-x+1）

=（x3-1）（x2-x+1）

=（x-1）（x2-x+1）（x2+x+1）

解二：

原式=（x5-x4）+（x3-x2）+（x-1）

=x4（x-1）+x2（x-1）+（x-1）

=（x-1）（x4+x2+1）

=（x-