初一数学因式分解的常用方法可编辑修改word版.docx

1、初一数学因式分解的常用方法可编辑修改word版因式分解的常用方法第一部分：方法介绍多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的， 而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法本讲及下一讲在中学数学教材基础上，对因式分解的方法、技巧和应用作进一步的介绍一、提公因式法.：ma+mb+mc=m(a+b+c) 二、运用公式法.在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式

2、，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如：（1）(a+b)(a-b) = a2-b2 a2-b2=(a+b)(a-b)；(2) (ab)2 = a22ab+b2 a22ab+b2=(ab)2； (3) (a+b)(a2-ab+b2) =a3+b3 a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)；(4) (a-b)(a2+ab+b2) = a3-b3 a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)下 面 再 补 充 两 个 常 用 的 公 式 ： (5)a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2； (6)a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-c

3、a)；例.已知 a， b， c 是 ABC 的三边，且 a2 + b2 + c2 = ab + bc + ca ， 则 ABC 的形状是（ ）A.直角三角形 B 等腰三角形 C 等边三角形 D 等腰直角三角形解： a2 + b2 + c2 = ab + bc + ca 2a2 + 2b2 + 2c2 = 2ab + 2bc + 2ca (a - b)2 + (b - c)2 + (c - a)2 = 0 a = b = c三、分组分解法.（一）分组后能直接提公因式例 1、分解因式： am + an + bm + bn分析：从“整体”看，这个多项式的各项既没有公因式可提，也不能运用公式分解，但从

4、“局部”看，这个多项式前两项都含有 a，后两项都含有 b，因此可以考虑将前两项分为一组，后两项分为一组先分解，然后再考虑两组之间的联系。解：原式= (am + an) + (bm + bn)= a(m + n) + b(m + n)= (m + n)(a + b)每组之间还有公因式！例 2、分解因式： 2ax - 10ay + 5by - bx解法一：第一、二项为一组； 解法二：第一、四项为一组； 第三、四项为一组。 第二、三项为一组。解：原式= (2ax - 10ay) + (5by - bx)= 2a(x - 5 y) - b(x - 5 y)= (x - 5 y)(2a - b)原式=

5、(2ax - bx) + (-10ay + 5by)= x(2a - b) - 5 y(2a - b)= (2a - b)(x - 5 y)练习：分解因式 1、 a 2 - ab + ac - bc 2、 xy - x - y + 1（二）分组后能直接运用公式例 3、分解因式： x 2 - y 2 + ax + ay分析：若将第一、三项分为一组，第二、四项分为一组，虽然可以提公因式，但提完后就能继续分解，所以只能另外分组。解：原式= (x 2 - y 2 ) + (ax + ay)= (x + y)(x - y) + a(x + y)= (x + y)(x - y + a)例 4、分解因式：

6、a 2 - 2ab + b 2 - c 2解：原式= (a 2 - 2ab + b 2 ) - c 2= (a - b)2 - c 2= (a - b - c)(a - b + c)练习：分解因式 3、 x 2 - x - 9 y 2 - 3y 4、 x 2 - y 2 - z 2 - 2 yz综合练习：（1） x3 + x 2 y - xy 2 - y 3 （2） ax 2 - bx 2 + bx - ax + a - b（3） x 2 + 6xy + 9 y 2 - 16a 2 + 8a - 1 （4） a 2 - 6ab + 12b + 9b 2 - 4a（5） a 4 - 2a3 +

7、a 2 - 9 （6） 4a 2 x - 4a 2 y - b 2 x + b 2 y四、十字相乘法.（一）二次项系数为 1 的二次三项式直接利用公式 x 2 + ( p + q)x + pq = (x + p)(x + q) 进行分解。特点：（1）二次项系数是 1；（2）常数项是两个数的乘积；（3）一次项系数是常数项的两因数的和。思考：十字相乘有什么基本规律？例.已知 0 a 5，且 a 为整数，若 2x2 + 3x + a 能用十字相乘法分解因式，求符合条件的 a .解析：凡是能十字相乘的二次三项 式 ax2+bx+c，都要求 = b2 - 4ac于是 = 9 - 8a 为完全平方数， a

8、 =10 而且是一个完全平方数。例 5、分解因式： x 2 + 5x + 6分析：将 6 分成两个数相乘，且这两个数的和要等于 5。由于 6=23=(-2)(-3)=16=(-1)(-6)，从中可以发现只有 23 的分解适合， 即 2+3=5。 1 2解： x 2 + 5x + 6 = x 2 + (2 + 3)x + 2 3= (x + 2)(x + 3) 1 3 12+13=5用此方法进行分解的关键：将常数项分解成两个因数的积，且这两个因数的代数和要等于一次项的系数。例 6、分解因式： x 2 - 7x + 6解：原式= x 2 + (-1) + (-6)x + (-1)(-6)= (x

9、- 1)(x - 6)1 -1 1 -6 （-1）+（-6）= -7练习 5、分解因式(1) x 2 + 14x + 24(2) a 2 - 15a + 36(3) x 2 + 4x - 5练习 6、分解因式(1) x 2 + x - 2(2) y 2 - 2 y - 15(3) x 2 - 10x - 24（二）二次项系数不为 1 的二次三项式 ax 2 + bx + c条件：（1） a = a1a2（2） c = c1c2a1 c1a2 c2（3） b = a1c2 + a2 c1 b = a1c2 + a2 c1分解结果： ax 2 + bx + c = (a x + c )(a x +

10、 c )1 1 2 2例 7、分解因式： 3x 2 - 11x + 10分析： 1 -2 3 -5 （-6）+（-5）= -11解： 3x 2 - 11x + 10 = (x - 2)(3x - 5)练习 7、 分解因式： （ 1） 5x 2 + 7x - 6- 6 y 2 + 11y + 10（ 2） 3x 2 - 7x + 2（ 3） 10x 2 - 17x + 3（ 4）（三）二次项系数为 1 的齐次多项式例 8、分解因式： a 2 - 8ab - 128b 2分析：将b 看成常数，把原多项式看成关于 a 的二次三项式，利用十字相乘法进行分解。1 8b 1 -16b 8b+(-16b)=

11、 -8b解： a 2 - 8ab - 128b 2 = a 2 + 8b + (-16b)a + 8b (-16b)= (a + 8b)(a - 16b)练习 8、分解因式(1) x 2 - 3xy + 2 y 2 (2) m2 - 6mn + 8n 2 (3) a 2 - ab - 6b 2（四）二次项系数不为 1 的齐次多项式例 9、 2x 2 - 7xy + 6 y 2例 10、 x 2 y 2 - 3xy + 21 -2y 2 -3y (-3y)+(-4y)= -7y解：原式= (x - 2 y)(2x - 3y)把 xy 看作一个整体 1 -1 1 -2 (-1)+(-2)= -3解

12、：原式= (xy -1)(xy - 2)练习 9、分解因式：（1）15x 2 + 7xy - 4 y 2 （2） a 2 x 2 - 6ax + 8综合练习 10、（1） 8x6 - 7x3 - 1（2）12x 2 - 11xy - 15 y 2（3） (x + y)2 - 3(x + y) - 10（ 4）(a + b)2 - 4a - 4b + 3（ 5）x 2 y 2 - 5x 2 y - 6x 2（ 6）m2 - 4mn + 4n 2 - 3m + 6n + 2（7） x 2 + 4xy + 4 y 2 - 2x - 4 y - 3 （8） 5(a + b)2 + 23(a 2 - b

13、 2 ) - 10(a - b)2（9） 4x 2 - 4xy - 6x + 3y + y 2 - 10 （10）12(x + y)2 + 11(x 2 - y 2 ) + 2(x - y)2思考：分解因式： abcx 2 + (a 2b 2 + c 2 )x + abc五、换元法。例 13、分解因式（1） 2005x 2 - (20052 - 1)x - 2005（2） (x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 6) + x 2解：（1）设 2005= a ，则原式= ax 2 - (a 2 - 1)x - a= (ax + 1)(x - a)= (2005x + 1)(x - 2

14、005)（2）型如 abcd + e 的多项式，分解因式时可以把四个因式两两分组相乘。原式= (x 2 + 7x + 6)(x 2 + 5x + 6) + x 2设 x 2 + 5x + 6 = A ，则 x 2 + 7x + 6 = A + 2x原式= ( A + 2x) A + x 2 = A2 + 2 Ax + x 2= ( A + x)2 = (x 2 + 6x + 6)2练习 13、分解因式（1） (x 2 + xy + y 2 )2 - 4xy(x 2 + y 2 ) （2） (x 2 + 3x + 2)(4x 2 + 8x + 3) + 90（3） (a 2 + 1)2 + (a

15、 2 + 5)2 - 4(a 2 + 3)2例 14、分解因式（1） 2x 4 - x3 - 6x 2 - x + 2观察：此多项式的特点是关于 x 的降幂排列，每一项的次数依次少 1，并且系数成“轴对称”。这种多项式属于“等距离多项式”。方法：提中间项的字母和它的次数，保留系数，然后再用换元法。解：原式= x 2 (2x 2 - x - 6 - 1 + 1 ) = x 2 2(x 2 + 1 ) - (x + 1 ) - 6x x 2 x 2 x设 x + 1 = t ，则 x 2 + 1x x 2= t 2 - 2原式= x 2 （2 t 2 -2) - t - 6= x 2 (2t 2

16、- t - 10)= x 2 (2t - 5)(t + 2)= 2 + 2 - + 1 + 2x 2x5 x x = + 2 - + 1 + 2 = (2x 2 - 5x + 2)(x 2 + 2x + 1)x 2x x 5x x x = (x + 1)2 (2x - 1)(x - 2)（2） x 4 - 4x3 + x 2 + 4x + 12 2 4 12 2 1 1 解：原式= x (x- 4x +1+ + ) = xx x2 x+ x 2 - 4 x - x + 1设 x - 1 = y ，则 x 2 + 1x x 2= y 2 + 2 原式= x2 ( y2 - 4 y + 3) =

17、x2 ( y -1)( y - 3)= x 2 (x - 1 - 1)(x - 1 - 3) = (x 2 - x - 1)(x 2 - 3x - 1)x x练习 14、（1） 6x 4 + 7x3 - 36x 2 - 7x + 6（2） x 4 + 2x3 + x 2 + 1 + 2(x + x 2 )六、添项、拆项、配方法。例 15、分解因式（1） x3 - 3x 2 + 4解法 1拆项。 解法 2添项。原式= x3 + 1 - 3x 2 + 3= (x + 1)(x 2 - x + 1) - 3(x + 1)(x - 1)原式= x3 - 3x 2 - 4x + 4x + 4= x(x

18、2 - 3x - 4) + (4x + 4)= (x + 1)(x 2 - x + 1 - 3x + 3) (x + 1)(x 2 - 4x + 4)= (x + 1)(x - 2)2= x(x + 1)(x - 4) + 4(x + 1) = (x + 1)(x 2 - 4x + 4)= (x + 1)(x - 2)2（2） x9 + x6 + x3 - 3解：原式= (x9 - 1) + (x6 - 1) + (x3 - 1)= (x3 - 1)(x6 + x3 + 1) + (x3 - 1)(x3 + 1) + (x3 - 1)= (x3 - 1)(x6 + x3 + 1 + x3 +

19、1 + 1)= (x - 1)(x 2 + x + 1)(x6 + 2x3 + 3)练习 15、分解因式（ 1） x3 - 9x + 8x 4 - 7x 2 + 1（ 2） (x + 1)4 + (x 2 - 1)2 + (x - 1)4（ 3）（ 4）x 4 + x 2 + 2ax + 1 - a 2（ 5）x 4 + y 4 + (x + y)4（ 6）2a 2b 2 + 2a 2c 2 + 2b 2c 2 - a 4 - b 4 - c 4七、待定系数法。例 16、分解因式 x 2 + xy - 6 y 2 + x + 13y - 6分析：原式的前 3 项 x 2 + xy - 6 y

20、2 可以分为(x + 3y)(x - 2 y) ，则原多项式必定可分为(x + 3y + m)(x - 2 y + n)解：设 x 2 + xy - 6 y 2 + x + 13y - 6 = (x + 3y + m)(x - 2 y + n) (x + 3y + m)(x - 2 y + n) = x 2 + xy - 6 y 2 + (m + n)x + (3n - 2m) y - mn x 2 + xy - 6 y 2 + x + 13y - 6 = x 2 + xy - 6 y 2 + (m + n)x + (3n - 2m) y - mnm + n = 1 m = -2对比左右两边相

21、同项的系数可得 3n - 2m = 13 ，解得 n = 3mn = -6 原式= (x + 3y - 2)(x - 2 y + 3)例 17、（1）当 m 为何值时，多项式 x 2 - y 2 + mx + 5 y - 6 能分解因式，并分解此多项式。（2）如果 x3 +ax 2 + bx + 8 有两个因式为 x + 1和 x + 2 ，求 a + b 的值。（1）分析：前两项可以分解为(x + y)(x - y) ，故此多项式分解的形式必为(x + y + a)(x - y + b)解：设 x 2 - y 2 + mx + 5 y - 6 = (x + y + a)(x - y + b)

22、则 x 2 - y 2 + mx + 5 y - 6 = x 2 - y 2 + (a + b)x + (b - a) y + aba + b = m比较对应的系数可得： b - a = 5ab = -6a = -2，解得： b = 3m = 1a = 2或 b = -3m = -1当 m = 1 时，原多项式可以分解；当 m = 1时，原式= (x + y - 2)(x - y + 3) ； 当 m = -1 时，原式= (x + y + 2)(x - y - 3)（2）分析： x3 +ax 2 + bx + 8 是一个三次式，所以它应该分成三个一次式相乘，因此第三个因式必为形如 x + c

23、 的一次二项式。解：设 x3 +ax 2 + bx + 8 = (x + 1)(x + 2)(x + c)则 x3 +ax 2 + bx + 8 = x3 +(3 + c)x 2 + (2 + 3c)x + 2ca = 3 + c b = 2 + 3c2c = 8 a + b =21a = 7解得 b = 14 ，c = 4练习 17、（1）分解因式 x 2 - 3xy - 10 y 2 + x + 9 y - 2（2）分解因式 x 2 + 3xy + 2 y 2 + 5x + 7 y + 6（3）已知： x 2 - 2xy - 3y 2 + 6x - 14 y + p 能分解成两个一次因式之

24、积，求常数 p 并且分解因式。（4）k 为何值时， x 2 - 2xy + ky 2 + 3x - 5 y + 2 能分解成两个一次因式的乘积，并分解此多项式。第二部分：习题大全经典一：一、填空题1. 把一个多项式化成几个整式的 的形式，叫做把这个多项式分解因式。2 分解因式： m3-4m= .3.分解因式： x2-4y2= .4、分解因式： -x2 - 4x - 4 = 。5.将 xn-yn 分解因式的结果为(x2+y2)(x+y)(x-y)，则 n 的值为 .6、若 x - y = 5, xy = 6 ，则 x2 y - xy2 = ， 2x2 + 2 y2 = 。二、选择题7、多项式15

25、m3n2 + 5m2n - 20m2n3 的公因式是( )A、5mnB、5m2n2C、5m2nD、5mn28、下列各式从左到右的变形中，是因式分解的是( )(a + 3)(a - 3) = a2 - 9a2 - b2 = (a + b)(a - b)m2 - 2m - 3 = m m - 2 - 3 a2 - 4a - 5 = a (a - 4) - 5 m C、 D、 10.下列多项式能分解因式的是（ ）(A)x2-y (B)x2+1 (C)x2+y+y2 (D)x2-4x+4211.把（xy） （yx）分解因式为（ ）A（xy）（xy1） B（yx）（xy1） C（yx）（yx1） D（y

26、x）（yx1）12.下列各个分解因式中正确的是（ ） A10ab2c6ac22ac2ac（5b23c） B（ab）2（ba）2（ab）2（ab1） Cx（bca）y（abc）abc（bca）（xy1） D（a2b）（3ab）5（2ba）2（a2b）（11b2a）13.若 k-12xy+9x2 是一个完全平方式，那么 k 应为（ ）A.2 B.4 C.2y2 D.4y2三、把下列各式分解因式：14、 nx - ny15、 4m2 - 9n 216、m (m - n) + n (n - m)17、 a3 - 2a2b + ab2( )x2 + 4 2 -16x218、19、9(m + n)2 -

27、16(m - n)2 ；五、解答题20、如图，在一块边长 a =6.67cm 的正方形纸片中，挖去一个边长b =3.33cm 的正方形。求纸片剩余部分的面积。21、如图，某环保工程需要一种空心混凝土管道，它的规格是内径 d = 45cm ，外径 D = 75cm， 长l = 3m 。利用分解因式计算浇制一节这样的管道需要多少立方米的混凝土？( 取 3.14，结果保留 2 位有效数字)22、观察下列等式的规律，并根据这种规律写出第(5)个等式。(1) x2 -1 = ( x +1)( x -1)(2) x4 -1 = (x2 +1)( x +1)( x -1)(3) x8 -1 = (x4 +1

28、)(x2 +1)( x +1)( x -1)(4) x16 -1 = (x8 +1)(x4 +1)(x2 +1)( x +1)( x -1)(5) 经典二：因式分解小结知识总结归纳因式分解是把一个多项式分解成几个整式乘积的形式，它和整式乘法互为逆运算，在初中代数中占有重要的地位和作用，在其它学科中也有广泛应用，学习本章知识时，应注意以下几点。1.因式分解的对象是多项式；2.因式分解的结果一定是整式乘积的形式；3.分解因式，必须进行到每一个因式都不能再分解为止；4.公式中的字母可以表示单项式，也可以表示多项式；5.结果如有相同因式，应写成幂的形式；6.题目中没有指定数的范围，一般指在有理数范围内

29、分解；7.因式分解的一般步骤是：（1）通常采用一“提”、二“公”、三“分”、四“变”的步骤。即首先看有无公因式可提，其次看能否直接利用乘法公式；如前两个步骤都不能实施，可用分组分解法，分组的目的是使得分组后有公因式可提或可利用公式法继续分解；（2）若上述方法都行不通，可以尝试用配方法、换元法、待定系数法、试除法、拆项（添项）等方法； 下面我们一起来回顾本章所学的内容。1.通过基本思路达到分解多项式的目的例 1. 分解因式x5 - x 4 + x 3 - x 2 + x - 1分析：这是一个六项式，很显然要先进行分组，此题可把 x5 - x 4 + x 3和 - x 2 + x - 1分别看成一

30、组，此时六项式变成二项式，提取公因式后，再进一步分解；也可把x5 - x 4 ， x 3 - x 2 ， x - 1 分别看成一组，此时的六项式变成三项式，提取公因式后再进行分解。解一：原式= (x5 - x 4 + x 3 ) - (x 2 - x + 1)= x 3 (x 2 - x + 1) - (x 2 - x + 1)= (x 3 - 1)(x 2 - x + 1)= (x - 1)(x 2 - x + 1)(x 2 + x + 1)解二：原式= (x5 - x 4 ) + (x 3 - x 2 ) + (x - 1)= x 4 (x - 1) + x 2 (x - 1) + (x - 1)= (x - 1)(x 4 + x2 + 1)= (x -