四种命题原逆否逆否命题的含义与小学数学教学间的关系研究例谈.docx

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四种命题原逆否逆否命题的含义与小学数学教学间的关系研究例谈

四种命题（原、逆、否，逆否命题）的含义与小学数学教学间的关系研究例谈

每个命题从结构上分析，由两部分组成，即条件部分与结论部分，它表明条件与结论之间的某种因果关系，形式上可以表达为：

“如果……（条件），那么……（结论）”。

齐读一遍上面这一段话。

你理解上面这段话的意思吗？

有问题的，请举手。

请每一个老师想一个命题，并用“如果……，那么……”的形式表达出来。

（写一写）

如果一个长方形的长是10米，宽是5米，那么这个长方形的面积是50平方米。

从上面的这个例子中可以看到：

一个命题，“如果”后面是条件，“那么”后面是结论。

如果买一双鞋子要30元钱，买这样的鞋子50双，那么一共需要1500元钱。

如果买一双鞋子要30元钱，那么买这样的鞋子50双，一共需要1500元钱。

从上面的表达中，我们可以看到：

“如果”后面是条件，“那么”后面是结论。

这句话错了。

再来看上面已经呈现过的结构：

每个命题从结构上分析，由两部分组成，即条件部分与结论部分，它表明条件与结论之间的某种因果关系，形式上可以表达为：

“如果……（条件），那么……（结论）”。

思考：

对于一个命题来说，形式是什么？

实质是什么？

每个命题从结构上分析，由两部分组成，即条件部分与结论部分，它表明条件与结论之间的某种因果关系，形式上可以表达为：

“如果……（条件），那么……（结论）”。

思考：

在这段文字中“条件与结论之间的某种因果关系”是什么意思？

XX百科：

原因和结果是揭示客观世界中普遍联系着的事物具有先后相继、彼此制约的一对范畴。

原因是指引起一定现象的现象，结果是指由于原因的作用而引起的现象。

“条件与结论之间的某种因果关系”的含义：

在数学中，常常表现为“从条件出发通过推理而得到结论，来表明因与果之间的关系。

”

命题的本质特征：

条件与结论之间的某种因果关系。

命题的表现形式：

“如果…（条件），那么…（结论）”。

在具体的表达形式中，在那么的后面可能还有条件。

平时我们见到最多的是问题。

很显然，我们可以把上面的命题改变成问题。

请你把命题：

“如果买一双鞋子要30元钱，买这样的鞋子50双，那么一共需要1500元钱。

”改变让学生去解决的问题。

试一试。

问题1：

如果买一双鞋子要30元钱，那么买这样的鞋子50双，一共需要多少钱？

问题2：

如果买50双同样的鞋子，一共要用1500元钱，那么，买一双这样的鞋子要多少钱？

问题3：

如果买一双鞋子要30元钱，那么用1500元钱，可以买这样的鞋子多少双？

思考：

哪些人会有能力把上面的这个命题，改变成这样三个问题？

只有真正把握住了命题结构的人，才有能力改变成这样三个问题！

数学教学要重视结构的教学。

在小学数学中，公式，定律，数量关系等等都是数学的重要结构。

（齐读一遍）

数学能力弱的人常常会有“挠口令”的感觉。

三山撑四水，

四水挠三山，

三山四水春常在，

四水三山四时春。

思考：

下面这个问题有两种不同的解决过程，你觉得这两种解答都有道理吗？

为什么？

问题：

如果买一双鞋子要30元钱，那么买这样的鞋子50双，一共需要多少钱？

解答1：

30×50=1500.答：

一共需要1500元。

解答2：

在实际情况中，买一双如果是30元，那么，买多了可以打折，而现在是买50双，数量已经比较多，所以一定是可以打折的，因此，可能

（1）打九折。

每双30×0.9=27（元），27×50=1350元。

即需要1350元。

（2）打八折。

每双24元，50双需要1200元

（3）打七折。

每双21元，50双需要1050元。

如果是五折，每双15元，50双需要750元。

估计至少可以打九折，最低可以打五折，所以，买50双这样鞋子，钱数在1350元到750元之间。

请对比，下面3个问题有什么不一样？

问题1：

如果买一双鞋子要30元钱，买这样的鞋子50双，一共需要多少钱？

问题2：

如果买一双鞋子要30元钱，买多了可以打折，问：

买这样的鞋子50双，一共需要多少钱？

问题3：

如果买一双鞋子要30元钱，买10双或以上可以打折，具体折扣如下：

10---29双，打九折；20---39双，打七折；40双及以上，打对折；问：

买这样的鞋子50双，一共需要多少钱？

从上面的对比中，我们可以看到，

在解决数学问题时，不能随意增加条件。

小明口袋里有15颗弹珠，小红口袋里有50颗弹珠，把他们两人的弹珠都放到小强的口袋里，问：

在小强的口袋里，一共有多少颗弹珠？

65！

64?

60?

弹珠在合并的过程中，是可能要掉下的。

重复：

在解决数学问题时，不能随意增加条件。

进一步：

小学数学教学要引导学生有根有据的说理，要让学生体会到数学的严密性。

用A表示条件，B表示结论，就可以写成：

如果有A，那么有B。

或者

。

用“如果……（条件），那么……（结论）”，这种形式，对长方形的长与宽和面积之间的关系进行表达，

可以有以下一些表达方式：

大家齐读下面的

（1）--（4）：

（1）如果已知一个长方形的长与宽，那么就可以求出（或确定）这个长方形的面积；

（2）如果已知一个长方形的面积，那么就可以求出（或确定）这个长方形的长与宽；

（3）如果不知道一个长方形的长与宽，那么就不能求出（或确定）这个长方形的面积；

（4）如果不知道长方形的面积，那么就不能求出（或确定）这个长方形的长与宽。

请你象上面这样写出：

“∠A，∠B，∠C是三角形的三个内角”与“∠A+∠B+∠C=180

”关系的四个命题。

试一试。

请不要相互交流。

独立完成。

（1）如果∠A，∠B，∠C是三角形的三个内角，那么：

∠A+∠B+∠C=180

。

（2）如果∠A+∠B+∠C=180

，那么，∠A，∠B，∠C是三角形的三个内角。

（3）如果∠A，∠B，∠C不是三角形的三个内角，那么，∠A+∠B+∠C就不等于180

。

（4）如果∠A+∠B+∠C就不等于180

，那么，∠A，∠B，∠C不是三角形的三个内角。

注意，下面进入考试：

请你写出“通过圆心，两端在圆上的线段”与“直径”的关系。

象上面这样写出四个命题。

评分标准：

写出一个命题（正确的话）得25分。

（1）如果一条线段通过圆心，并且两端在圆上，那么这条线段是直径。

（2）如果一条线段是直径，那么它一定通过圆心并且两端在圆上。

（3）如果一条线段不通过圆心，那么这条线段一定不是直径。

（4）如果一条线段不是直径，那么这条线段不通过圆心或者至少有一端不在圆上。

对于（3）:

如果一条线段不通过圆心，那么这条线段一定不是直径。

也可以表达为：

如果一条线段的一端或两端不在圆上，那么它无论是否通过圆心，这条线段一定不是直径。

想一想：

现在的（4）是：

如果一条线段不是直径，那么这条线段不通过圆心或者至少有一端不在圆上。

是否可以改成（4）：

如果一条线段不是直径，那么这条线段一定不通过圆心。

你觉得这个命题是正确的，还是错误的？

不能这样改。

这个命题是一个错误的命题。

如下面的线段都是满足命题中的条件，而不满足它的结论的。

在上面表达的这些命题中，有肯定语气的命题和否定语气的命题。

一个肯定语气的命题，以否定语气叙述时就得到了另一个命题；再把这两个命题的条件和结论交换位置又可以得到两个不同的命题。

所以命题有四种形式，即原命题、逆命题、否命题、逆否命题。

命题有四种形式：

分别是：

原命题、逆命题、否命题、逆否命题。

（齐读一遍）

说一说，下面的这些命题的名称：

并考虑它们的正确性。

（1）如果已知一个长方形的长与宽，那么就可以求出（或确定）这个长方形的面积；

（2）如果已知一个长方形的面积，那么就可以求出（或确定）这个长方形的长与宽；

（3）如果不知道一个长方形的长与宽，那么就不能求出（或确定）这个长方形的面积；

（4）如果不知道长方形的面积，那么就不能求出（或确定）这个长方形的长与宽。

（1）如果∠A，∠B，∠C是三角形的三个内角，那么：

∠A+∠B+∠C=180

。

（2）如果∠A+∠B+∠C=180

，那么，∠A，∠B，∠C是三角形的三个内角。

（3）如果∠A，∠B，∠C不是三角形的三个内角，那么，∠A+∠B+∠C就不等于180

。

（4）如果∠A+∠B+∠C就不等于180

，那么，∠A，∠B，∠C不是三角形的三个内角。

（1）如果一条线段通过圆心，并且两端在圆上，那么这条线段是直径。

（2）如果一条线段是直径，那么它一定通过圆心并且两端在圆上。

（3）如果一条线段不通过圆心，那么这条线段一定不是直径。

（4）如果一条线段不是直径，那么这条线段不通过圆心或者至少有一端不在圆上。

上面列举的四个命题

（1）－（4）依次可称为原命题、逆命题、否命题和逆否命题。

如果不管命题的具体内容，只从它的结构形式来研究，以上四种命题可以简单表示为：

原命题：

如果有A，那么有B，或

。

逆命题：

如果有B，那么有A，或

。

否命题：

如果没有A，那么没有B，或

。

逆否命题：

如果没有B，那么没有A，或

。

上面的四种命题之间存在着以下的相互关系：

由上面的例子可知：

成互逆或互否的两个命题，不一定同真同假，但互为逆否的两个命题，真则同真，假则同假。

这种真则同真，假则同假的两个命题叫做等价命题。

因些，原命题与它的逆否命题是等价的，原命题的逆命题与否命题也是等价的。

利用命题的等价关系，要证明一个数学命题时，可以用证明和它等价的命题来代替，这样数学命题的证明就多了一条思路。

例：

下图

（1）的三个正方形图中的阴影部分它们的形状不一，为什么都可以用

表示？

你怎么回答上面这个问题？

可能的回答：

因为它们都是把一个正方形平均分成4份，阴影部分都是1份，所以根据分数的意义，它们都可以用

表示。

下面图

（2）中的阴影部分可以用

表示吗？

为什么？

你怎么回答这个问题？

可能的回答一：

因为这个大的正方形平均分成了16份。

阴影部分是4份，所以阴影部分可以用

表示。

也可以用

表示。

这样的回答是正确的吗？

可能的回答二：

这个大正方形平均分成了4份。

阴影部分正好是1份，所以可以用

来表示。

这样的回答二实质上回答者在头脑中进行了重新组合，这样组合以后，直接就出现了4份与1份这样的情况。

下面的图示可以反映这个过程：

在头脑中进行重新组合，把

看成1份，共有4份，影部分

正好表示这样的1份。

在以上的回答中都强调了：

“平均分可以用分数表示”这样的观念！

想一想：

下面图（3）与图（4）中的阴影部分能不能分别用分数表示？

能不能分别用

表示？

为什么？

常常有人认为：

结论是不能用分数表示，理由是因为没有平均分。

有些教师会引导学生得出这样的结论：

当一个图形不等分时，就不能用分数表示。

你觉得这是正确的吗？

实事上，图（3）与图（4）都可以用分数表示它们的阴影部分，图（3）可以用

表示，图（4）可以用

表示.如下图（5）所示。

苍天啊！

怎么会有如此巧合的事情？

！

宇宙万物真是无奇不有啊！

现在我们来看命题：

原命题：

如果这个图形是平均分，那么阴影部分就可以用分数表示。

如果这个图形不平均分，那么，阴影部分就不能用分数表示。

这个命题是原命题的否命题，所以不能保证它的正确性，当然也就不能作为推理的依据了。

正确的观念是：

因为“不是平均分”，所以不能根据分数的意义直接断定“阴影部分是三分之一”。

究竟阴影部分是几分之几呢？

平均分之后就一定可以直接确定。