流体力学典型例题.docx
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流体力学典型例题
典型例题
1基本概念及方程
【1－1】底面积A＝0.2m×0.2m的水容器，水面上有一块无重密封盖板，板上面放置一个重量为G1＝3000N的铁块，测得水深h＝0.5m，如图所示。
如果将铁块加重为G2＝8000N，试求盖板下降的高度Δh。
【解】:
利用体积弹性系数计算体积压缩率：
p为绝对压强。
当地大气压未知，用标准大气压
代替。
因
和
不是很大，可选用其中任何一个，例如，选用
来计算体积弹性系数：
在工程实际中，当压强不太高时，可取
【2－2】用如图所示的气压式液面计测量封闭油箱中液面高程h。
打开阀门1，调整压缩空气的压强，使气泡开始在油箱中逸出，记下U形水银压差计的读数Δh1＝150mm，然后关闭阀门1，打开阀门2，同样操作，测得Δh2＝210mm。
已知a＝1m，求深度h及油的密度ρ。
【解】水银密度记为ρ1。
打开阀门1时，设压缩空气压强为p1，考虑水银压差计两边液面的压差，以及油箱液面和排气口的压差，有
同样，打开阀门2时，
两式相减并化简得
代入已知数据，得
所以有
2基本概念及参数
【1－3】测压管用玻璃管制成。
水的表面张力系数σ＝0.0728N/m，接触角θ＝8º，如果要求毛细水柱高度不超过5mm，玻璃管的内径应为多少？
【解】由于
因此
【1－4】高速水流的压强很低，水容易汽化成气泡，对水工建筑物产生气蚀。
拟将小气泡合并在一起，减少气泡的危害。
现将10个半径R1＝0.1mm的气泡合成一个较大的气泡。
已知气泡周围的水压强po＝6000Pa，水的表面张力系数σ＝0.072N/m。
试求合成后的气泡半径R。
【解】小泡和大泡满足的拉普拉斯方程分别是
设大、小气泡的密度、体积分别为ρ、V和ρ1、V1。
大气泡的质量等于小气泡的质量和，即
合成过程是一个等温过程，T=T1。
球的体积为V＝4/3πR3，因此
令x＝R/R1，将已知数据代入上式，化简得
上式为高次方程，可用迭代法求解，例如，
以xo=2作为初值，三次迭代后得x＝2.2372846，误差小于10－5，因此，合成的气泡的半径为
还可以算得大、小气泡的压强分布为
，
。
【1－5】一重W＝500N的飞轮，其回转半径ρ＝30cm，由于轴套间流体粘性的影响，当飞轮以速度ω＝600转/分旋转时，它的减速度ε＝0.02m/s2。
已知轴套长L＝5cm，轴的直径d＝2cm，其间隙t=0.05mm，求流体粘度。
【解】：
由物理学中的转动定律知，造成飞轮减速的力矩M＝Jε,飞轮的转动惯量J
所以力矩
另一方面，从摩擦阻力F的等效力系看，造成飞轮减速的力矩为：
为线性分布。
则
摩擦阻力矩应等于M，即T=M
即
所以
3流体静力学
【2－1】试求解图中同高程的两条输水管道的压强差p1－p2，已知液面高程读数z1＝18mm，z2＝62mm，z3＝32mm，z4＝53mm，酒精密度为800kg/m3。
【解】设管轴到水银面4的高程差为ho，水密度为ρ，酒精密度为ρ1，水银密度为ρ2，则
将z的单位换成m，代入数据，得
【2－2】用如图所示的气压式液面计测量封闭油箱中液面高程h。
打开阀门1，调整压缩空气的压强，使气泡开始在油箱中逸出，记下U形水银压差计的读数Δh1＝150mm，然后关闭阀门1，打开阀门2，同样操作，测得Δh2＝210mm。
已知a＝1m，求深度h及油的密度ρ。
【解】水银密度记为ρ1。
打开阀门1时，设压缩空气压强为p1，考虑水银压差计两边液面的压差，以及油箱液面和排气口的压差，有
同样，打开阀门2时，
两式相减并化简得
代入已知数据，得
所以有
【2－3】人在海平面地区每分钟平均呼吸15次。
如果要得到同样的供氧，则在珠穆朗玛峰顶（海拔高度8848m）需要呼吸多少次？
【解】:
海平面气温T0=288,z=8848m处的气温为
峰顶压强与海平面压强的比值为
峰顶与海平面的空气密度之比为
呼吸频率与空气密度成反比，即
，
【2－4】如图所示，圆形闸门的半径R＝0.1m，倾角α＝45o，上端有铰轴，已知H1＝5m，H2＝1m，不计闸门自重，求开启闸门所需的提升力T。
【解】设y轴沿板面朝下，从铰轴起算。
在闸门任一点，左侧受上游水位的压强p1，右侧受下游水位的压强p2，其计算式为
平板上每一点的压强p1－p2是常数，合力为（p1－p2）A，作用点在圆心上，因此
代入已知数据，求得T＝871.34N。
【2－5】盛水容器底部有一个半径r＝2.5cm的圆形孔口，该孔口用半径R＝4cm、自重G＝2.452N的圆球封闭，如图所示。
已知水深H＝20cm，试求升起球体所需的拉力T。
【解】用压力体求铅直方向的静水总压力Fz：
由于
，
因此
，
，
，
【2－6】如图所示的挡水弧形闸门，已知R＝2m，θ＝30o，h＝5m，试求单位宽度所受到的静水总压力的大小。
【解】水平方向的总压力等于面EB上的水压力。
铅直方向的总压力对应的压力体为CABEDC。
【2－7】如图所示，底面积为b×b＝0.2m×0.2m的方口容器，自重G＝40N，静止时装水高度h＝0.15m，设容器在荷重W＝200N的作用下沿平面滑动，容器底与平面之间的摩擦系数f＝0.3，试求保证水不能溢出的容器的最小高度。
【解】解题的关键在于求出加速度a。
如果已知加速度，就可以确定容器里水面的斜率。
考虑水、容器和重物的运动。
系统的质量M和外力分别为
因此，系统的重力加速度为
代入数据得a=5.5898m/s2
容器内液面的方程式为
坐标原点放在水面（斜面）的中心点，由图可见，当x＝－b/2时，z＝H－h，代入上式，
可见，为使水不能溢出，容器最小高度为0.207m。
【2－8】如图所示，液体转速计由一个直径为d1的圆筒、活塞盖以及与其连通的直径为d2两支竖直支管构成。
转速计内装液体，竖管距离立轴的距离为R，当转速为ω时，活塞比静止时的高度下降了h，试证明：
【解】活塞盖具有重量，系统没有旋转时，盖子处在一个平衡位置。
旋转时，盖子下降，竖管液面上升。
设系统静止时，活塞盖如实线所示，其高度为h1，竖管的液面高度设为H1。
此时，液体总压力等于盖子重量，设为G：
旋转时，活塞盖下降高度为h，两支竖管的液面上升高度为H。
液体压强分布的通式为
将坐标原点放在活塞盖下表面的中心，并根据竖管的液面参数确定上式的积分常数C。
当r＝R，z＝H1-h1＋H+h时，p＝pa，
因此，液体压强分布为
旋转时，液体压力、大气压力的合力应等于盖子重量，即
因盖子下表面的相对压强为
代入G式并进行积分，得到
代入上式，化简得
由图中看出，活塞盖挤走的液体都进入两支竖管，因此
所以有
【2－9】如图所示，U形管角速度测量仪，两竖管距离旋转轴为R1和R2，其液面高差为Δh，试求ω的表达式。
如果R1＝0.08m，R2＝0.20m，Δh＝0.06m，求ω的值。
【解】两竖管的液面的压强都是pa（当地大气压），因而它们都在同一等压面上，如图虚线所示。
设液面方程为
不妨设竖管中较低的液面到转盘的高度差为h。
现根据液面边界条件进行计算。
当r＝R1，z＝h及r＝R2，z＝h＋Δh时
；
两式相减得
所以
【2－10】航标灯可用如图所示模型表示：
灯座是一个浮在水面的均质圆柱体，高度H＝0.5m，底半径R＝0.6m，自重G＝1500N，航灯重W=500N，用竖杆架在灯座上，高度设为z。
若要求浮体稳定，z的最大值应为多少？
【解】浮体稳定时要求倾半径r大于偏心距e，即r>e
先求定倾半径r＝J/V，浮体所排开的水的体积V可根据吃水深度h计算。
，
再求偏心距e，它等于重心与浮心的距离。
设浮体的重心为C，它到圆柱体下表面的距离设为hC，则
根据浮体稳定的要求
有
化简得
r，h的值已经算出，代入其它数据，有z<1.1074m
【2－11】如图所示水压机中，已知压力机柱塞直径D＝25cm，水泵柱塞直径d＝5cm，密封圈高度h＝2.5cm，密封圈的摩擦系数f＝0.15，压力机柱塞重G＝981N，施于水泵柱塞上的总压力P1=882N，试求压力机最后对重物的压力F。
【解】：
P1所形成的流体静压力
压力机柱塞上的总压力
静压力作用在密封圈上的总压力为p∏Dh，方向与柱塞垂直。
所以密封圈上的摩擦力
故压力机对重物的压力为
4流体运动的基本概念及方程
【3－1】已知平面流动的速度分布为
，
试计算点（0，1）处的加速度。
【解】先将极坐标的速度分量换算成直角坐标的速度，然后再求直角坐标中的加速度。
将
，
，
代入，得
所以有：
在点（0，1）处，
，
算得
，
【3－2】验证下列速度分布满足不可压缩流体的连续性方程：
（1）
，
（2）
，
（3）
，
【解】:
（1）
，
，
（2）
（3）从速度分布的表达式看出，用极坐标比较方便。
当然，使用直角坐标也可以进行有关计算，但求导过程较为复杂。
，
【3－3】已知平面流场的速度分布为
，
，试求t＝1时经过坐标原点的流线方程。
【解】对于固定时刻to，流线的微分方程为
积分得
这就是时刻to的流线方程的一般形式。
根据题意，to＝1时，x＝0，y＝0，因此C＝2
【3－4】如图所示的装置测量油管中某点的速度。
已知油的密度为ρ＝800kg/m3，水银密度为ρ’＝13600kg/m3，水银压差计的读数Δh＝60mm，求该点的流速u。
【解】我们分析管流中的一条流至测压管管口的流线，即如图中的流线1－0。
这条流线从上游远处到达“L”形管口后发生弯曲，然后绕过管口，沿管壁面延伸至下游。
流体沿这条流线运动时，速度是发生变化的。
在管口上游远处，流速为u。
当流体靠近管口时，流速逐渐变小，在管口处的点0，速度变为0，压强为po，流体在管口的速度虽然变化为0，但流体质点并不是停止不动，在压差作用下，流体从点0开始作加速运动，速度逐渐增大，绕过管口之后，速度逐渐加大至u。
综上分析，可以看到，流体沿流线运动，在点1，速度为u，压强为p，在点0，速度为0，压强为po，忽略重力影响，沿流线的伯努利方程是
由此可见，只要测出压差为po－p，就可以求出速度u。
不妨设压差计的右侧水银面与流线的高差为l。
由于流线平直，其曲率半径很大，属缓变流，沿管截面压强的变化服从静压公式，因此，
式中，ρ和ρˊ分别是油和水银的密度。
将已知数据代入计算，Δh的单位应该是用m表示，Δh＝0.06m，得速度为u＝4.3391m/s。
【3－5】矿山排风管将井下废气派入大气。
为了测量排风的流量，在排风管出口处装有一个收缩、扩张的管嘴，其喉部处装有一个细管，下端插入水中，如图所示。
喉部流速大，压强低，细管中出现一段水柱。
已知空气密度ρ＝1.25kg/m3，管径d1＝400mm，d2＝600mm，水柱h＝45mm，试计算体积流量Q。
【解】截面1－1的管径小，速度大，压强低；截面2－2接触大气，可应用伯努利方程，即
利用连续方程，由上式得
此外细管有液柱上升，说明p1低于大气压，即
式中，ρˊ是水的密度，因此
由d1＝400mm，d2＝600mm可以求出A1和A2，而ρ、ρˊ、h皆已知，可算得
【3－6】如图所示，水池的水位高h＝4m，池壁开有一小孔，孔口到水面高差为y，如果从孔口射出的水流到达地面的水平距离x＝2m，求y的值。
如果要使水柱射出的水平距离最远，则x和y应为多少？
【解】孔口的出流速度为
流体离开孔口时，速度是沿水平方向的，但在重力作用下会产生铅直向下的运动，设流体质点从孔口
降至地面所需的时间为t，则
消去t，得
，即
解得
如果要使水柱射出最远，则因为
x是y的函数，当x达到极大值时，dx/dy＝0，上式两边对y求导，得
【3－7】如图所示消防水枪的水管直径d1＝0.12m，喷嘴出口直径d2＝0.04m，消防人员持此水枪向距离为l＝12m，高h＝15m的窗口喷水，要求水流到达窗口时具有V3＝10m/s的速度，试求水管的相对压强和水枪倾角θ。
【解】解题思路：
已知V3利用截面2－2和3－3的伯努利方程就可以求出V2。
而利用截面1－1和2－2的伯努利方程可以求出水管的相对压强p1－pa。
水流离开截面2－2以后可以视作斜抛运动，利用有关公式就可以求出倾角θ。
对水射流的截面2－2和截面3－3，压强相同，
将h、V3代入得V2＝19.8540m/s。
对于喷嘴内的水流截面1－1和截面2－2，有
式中，p2＝pa。
利用连续方程，则有
喷嘴出口水流的水平速度和铅直速度分别是V2cosθ和V2sinθ，利用斜抛物体运动公式，不难得到上抛高度h和平抛距离l的计算公式分别为
消去时间t得到
代入数据，又
上式化为
【3－8】如图所示，一个水平放置的水管在某处出现θ＝30o的转弯，管径也从d1＝0.3m渐变为d2＝0.2m，当流量为Q＝0.1m3/s时，测得大口径管段中心的表压为2.94×104Pa，试求为了固定弯管所需的外力。
【解】用pˊ表示表压，即相对压强，根据题意，图示的截面1－1的表压p1ˊ＝p1－pa＝2.94×104Pa，截面2－2的表压p2ˊ可根据伯努利方程求出。
而固定弯管所需的外力，则可以利用总流的动量方程求出。
取如图所示的控制体，截面1－1和2－2的平均流速分别为
弯管水平放置，两截面高程相同，故
总流的动量方程是
由于弯管水平放置，因此我们只求水平面上的力。
对于图示的控制体，x，y方向的动量方程是
代入数据，得
，
【3－9】宽度B＝1的平板闸门开启时，上游水位h1＝2m，下游水位h2＝0.8m，试求固定闸门所需的水平力F。
【解】应用动量方程解本题，取如图所示的控制体，其中截面1－1应在闸门上游足够远处，以保证该处流线平直，流线的曲率半径足够大，该截面上的压强分布服从静压公式。
而下游的截面2－2应选在最小过流截面上。
由于这两个截面都处在缓变流中，总压力可按平板静水压力计算。
控制体的截面1－1上的总压力为1/2ρgh1Bh1，它是左方水体作用在控制面1－1上的力，方向从左到右。
同样地，在控制面2－2上地总压力为1/2ρgh2Bh2，它是右方
水体作用在控制面2－2上的力，方向从右到左。
另外，设固定平板所需的外力是F，分析控制体的外力时，可以看到平板对控制体的作用力的大小就是F，方向从右向左。
考虑动量方程的水平投影式：
流速和流量可根据连续性方程和伯努利方程求出：
由以上两式得
；
将已知数据代入动量方程，得
我们还可以推导F的一般表达式。
上面已经由连续方程和伯努利方程求出速度V2，因而
将此式代入动量方程得
【3－10】如图所示，从固定喷嘴流出一股射流，其直径为d，速度为V。
此射流冲击一个运动叶片，在叶片上流速方向转角为θ，如果叶片运动的速度为u，试求：
（1）叶片所受的冲击力；
（2）水流对叶片所作的功率；
（3）当u取什么值时，水流作功最大？
【解】射流离开喷嘴时，速度为V，截面积为A=Πd2/4，当射流冲入叶片时，水流相对于叶片的速度为V－u，显然，水流离开叶片的相对速度也是V－u。
而射流截面积仍为A。
采用固结在叶片上的动坐标，在此动坐标上观察到的水流运动是定常的，设叶片给水流的力如图所示，由动量方程得
叶片仅在水平方向有位移，水流对叶片所作功率为：
当V固定时，功率P是u的函数。
令
：
因此，当u＝V/3时，水流对叶片所作的功率达到极大值。
【3－11】如图所示，两股速度大小同为V的水射流汇合后成伞状体散开，设两股射流的直径分别为d1和d2，试求散开角θ与d1、d2的关系。
如果d2＝0.7d1，θ是多少度？
不计重力作用。
【解】射流暴露在大气中，不考虑重力影响，根据伯努利方程，各射流截面的流速相等。
汇合流是一个轴对称的伞状体，其截面积逐渐减小，但汇合流量总是不变的，它等于两个射流量Q1和Q2之和。
作用在水体上的外力和为零，根据动量方程，可以求出张角θ与d1、d2的关系。
当d2＝0.7d1时,cosθ＝0.3423，θ＝70o
【3－12】如图所示，气体混合室进口高度为2B，出口高度为2b，进、出口气压都等于大气压，进口的速度u0和2u0各占高度为B，出口速度分布为
气体密度为ρ，试求气流给混合室壁面的作用力。
【解】利用连续性方程求出口轴线上的速度um：
用动量方程求合力F：
【3－13】如图所示，旋转式洒水器两臂长度不等，l1＝1.2m，l2＝1.5m，若喷口直径d＝25mm，每个喷口的水流量为Q＝3×10－3m3/s，不计摩擦力矩，求转速。
【解】水流的绝对速度等于相对速度及牵连速度的矢量和。
本题中，相对速度和牵连速度反向，都与转臂垂直。
设两个喷嘴水流的绝对速度为V1和V2，则
；
根据动量矩方程，有
以V1、V2代入上式，得
5相似原理及量纲分析
【4－1】液体在水平圆管中作恒定流动，管道截面沿程不变，管径为D，由于阻力作用，压强将沿流程下降，通过观察，已知两个相距为l的断面间的压强差Δp与断面平均流速V，流体密度ρ，动力粘性系数μ以及管壁表面的平均粗糙度δ等因素有关。
假设管道很长，管道进出口的影响不计。
试用π定理求Δp的一般表达式。
【解】列出上述影响因素的函数关系式
函数式中N＝7；选取3个基本物理量，依次为几何学量D、运动学量V和动力学量ρ，三个基本物理量的量纲是
其指数行列式为
说明基本物理量的量纲是独立的。
可写出N－3＝7－3＝4个无量纲π项：
，
，
根据量纲和谐原理，各π项中的指数分别确定如下（以π1为例）：
即
解得x1＝1，y1＝0，z1＝0，所以
，
，
，
以上各π项根据需要取其倒数，但不会改变它的无量纲性质，所以
求压差Δp时，以
，
代入，可得
；
令：
，最后可得沿程水头损失公式为
上式就是沿程损失的一般表达式。
【4－2】通过汽轮机叶片的气流产生噪声，假设产生噪声的功率为P，它与旋转速度ω，叶轮直径D，空气密度ρ，声速c有关，试证明汽轮机噪声功率满足
【解】由题意可写出函数关系式
现选ω，D，ρ为基本物理量，因此可以组成两个无量纲的π项：
，
基于MLT量纲制可得量纲式
联立上三式求得x1＝3，y1＝1，z1＝5所以
，
故有
一般常将c/ωD写成倒数形式，即ωD/c，其实质就是旋转气流的马赫数，因此上式可改写为
【4－3】水流围绕一桥墩流动时，将产生绕流阻力FD，该阻力和桥墩的宽度b（或柱墩直径D）、水流速度V、水的密度ρ、动力粘性系数μ及重力加速度g有关。
试用π定理推导绕流阻力表示式。
【解】依据题意有
现选ρ、V、b为基本物理量，由π定理，有
，
，
对于π1项，由量纲和谐定理可得
求得x1＝1，y1＝2，z1＝2；故
对于π2项，由量纲和谐原理可得
解得x2＝1，y2＝1，z2＝1；故
对于π3项，由量纲和谐定理可得
6管流损失和水力计算
【5-1】动力粘性系数μ＝0.072kg/（m.s）的油在管径d＝0.1m的圆管中作层流运动，流量Q＝3×10－3m3/s，试计算管壁的切应力τo。
【解】管流的粘性切应力的计算式为
在管流中，当r增大时，速度u减小，速度梯度为负值，因此上式使用负号。
圆管层流的速度分布为
式中，V是平均速度；r0是管道半径。
由此式可得到壁面的切应力为
由流量Q和管径d算得管流平均速度，代入上式可算出τ0：
【5－2】明渠水流的速度分布可用水力粗糙公式表示，即
式中，y坐标由渠底壁面起算。
设水深为H，试求水流中的点速度等于截面平均速度的点的深度h。
【解】：
利用分部积分法和罗彼塔法则，得
平均速度为
当点速度恰好等于平均速度时，
可见，点速度等于平均速度的位置距底面的距离为y＝0.3679H，距水面的深度为h＝0.6321H。
【5－3】一条输水管长l＝1000m，管径d＝0.3m，设计流量Q＝0.055m3/s，水的运动粘性系数为ν＝10－6m2/s，如果要求此管段的沿程水头损失为hf＝3m，试问应选择相对粗糙度Δ/d为多少的管道。
【解】由已知数据可以计算管流的雷诺数Re和沿程水头损失系数λ。
由水头损失
算得λ＝0.02915。
将数据代入柯列勃洛克公式，有
可以求出λ，
【5－4】如图所示，密度ρ＝920kg/m3的油在管中流动。
用水银压差计测量长度l＝3m的管流的压差，其读数为Δh＝90mm。
已知管径d＝25mm，测得油的流量为
Q＝4.5×10－4m3/s，试求油的运动粘性系数。
【解】：
式中，ρˊ＝13600kg/m3是水银密度；ρ是油的密度。
代入数据，算得hf＝1.2404m。
算得λ＝0.2412。
设管流为层流，λ＝64/Re，因此
可见油的流动状态确为层流。
因此
【5－5】不同管径的两管道的连接处出现截面突然扩大。
管道1的管径d1＝0.2m，管道2的管径d1＝0.3m。
为了测量管2的沿程水头损失系数λ以及截面突然扩大的局部水头损失系数ξ，在突扩处前面装一个测压管，在其它地方再装两测压管，如图所示。
已知l1＝1.2m，l2＝3m，测压管水柱高度h1＝80mm，h2＝162mm，h3＝152mm，水流量Q=0.06m3/s，试求λ和ξ。
【解】在长l2的管段内，没有局部水头损失，只有沿程水头损失，因此
，
将数据代入上式，可得λ＝0.02722。
在长l
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