全国卷3理科数学试题及参考答案解析WORD版.docx
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全国卷3理科数学试题及参考答案解析WORD版
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试题类型：
新课标Ⅲ
2016年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学
本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，共24题，共150分，共4页。
考试结束后，将本
试卷和答题卡一并交回。
注意事项：
1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑字迹的签字笔书写，字体工整，笔迹清
楚。
3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上
答题无效。
4.作图可先用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破，不准使用涂改液、修正液、刮纸刀。
第I卷
一.选择题：
本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
（1）设集合Sx|（x2）（x3）0,Tx|x0，则SIT=
A.2,3B.,23,C.3,D.0,23,
【答案】D
【解析】易得S,23,，ST0,23,，选D
【考点】解一元二次不等式、交集
（2）若z12i，则4i
zz
1
A.1B.1C.iD.i
【答案】C
【解析】易知z12i，故zz14，
4i
zz
1
i
，选C
【考点】共轭复数、复数运算
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（3）已知向量
13
BA，BC=（
22
3
2
，
1
2
），则ABC
A.30°B.45°C.60°D.120°A
y
【答案】A
C
cosABC
【解析】法一：
BABC
BABC
3
3
2
112
，ABC30
B
x
法二：
可以B点为坐标原点建立如图所示直角坐标系，易知ABx60,CBx30,ABC30
【考点】向量夹角的坐标运算
（4）某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图.
图中A点表示十月的平均最高气温约为15C，B点表示四月的平均最低气温约为5C.下面叙述不正确的是
A.各月的平均最低气温都在0C以上
B.七月的平均温差比一月的平均温差大
C.三月和十一月的平均最高气温基本相同
D.平均最高气温高于20C的月份有5个
【答案】D
【解析】从图像中可以看出平均最高气温高于20C的月份有七月、八
月，六月为20C左右，故最多3个
【考点】统计图的识别
（5）若
tan
3
4
，则
2
cos2sin2
A.
64
25
B.
48
25
C.1D.
16
25
【答案】A
【解析】
2
cos2sin2
2
cos4sincos14tan64
222
cossin1tan
25
【考点】二倍角公式、弦切互化、同角三角函数公式
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421
（6）已知
a23,b33,c253，则
A.bacB.abcC.bcaD.cab
【答案】A
42212
【解析】
a24,b3,c255，故cab
33333
【考点】指数运算、幂函数性质
（7）执行右面的程序框图，如果输入的a=4，b=6，那么输出的n=
A.3B.4C.5D.6
【答案】B
【解析】列表如下
a426-2426-24
b64646
s06101620
n01234
【考点】程序框图
（8）在△ABC中，
π
B，BC边上的高等于
4
1
3
BC,则cosA
A
A.310
10
B.10
10
C.10
10
D.
310
10
C
B
【答案】C
D
【解析】如图所示，可设BDAD1，则AB2，DC2，
AC5，由余弦定理知，cosA
25910
10
225
【考点】解三角形
（9）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视
图，则该多面体的表面积为
A.18365B.54185C.90D.81
【答案】B
【解析】由三视图可知该几何体是一个平行六面体，上下底面为俯视图的
一半，各个侧面平行四边形，故表面积为
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2332362393654185
【考点】三视图、多面体的表面积
（10）在封闭的直三棱柱ABC－A1B1C1内有一个体积为V的球.若AB⊥BC，AB=6，BC=8，AA1=3，则V的最大值
是
A.4πB.9π
2
C.6πD.32π
3
10
【答案】B
6
【解析】由题意知，当球为直三棱柱的内接球时，体积最
大，选取过球心且平行于直三棱柱底面的截面，如图所示，
8则由切线长定理可知，内接圆的半径为2，
又
AA1322，所以内接球的半径为
3
2
，即V的最大值为
49
3
R
32
【考点】内接球半径的求法
（11）已知O为坐标原点，F是椭圆C：
22
xy
的左焦点，A，B分别为C的左，右顶点.
221（ab0）
ab
P为C上一点，且PF⊥x轴.过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中
点，则C的离心率为
A.1
3
B.1
2
C.2
3
D.3
4
P
y
E
【答案】A
ONOBaMFMFAFac
【解析】易得,
MFBFacOE2ONAOa
1aacac
2acaac
M
N
AF
O
B
x
e
c
a
1
3
【考点】椭圆的性质、相似
（12）定义“规范01数列”{an}如下：
{an}共有2m项，其中m项为0，m项为1，且对任意k≤2m，a1，a2，⋯，
ak中0的个数不少于1的个数，若m=4，则不同的“规范01数列”共有（）
A．18个B．16个C．14个D．12个
【答案】C
【解析】
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01111
0
0111
1011
1
101
00111
0
1
0011
1
101
011
10
101
0111
10
0011
1
101
10
011
101
【考点】数列、树状图
第II卷
本卷包括必考题和选考题两部分.第（13）题~第（21）题为必考题，每个试题考生都必须作答.第（22）题~第（24）
题为选考题，考生根据要求作答.
二、填空题：
本大题共3小题，每小题5分
xy10
（13）设x，y满足约束条件，则zxy的最大值为________.
x2y0
x2y20
【答案】
3
2
【解析】三条直线的交点分别为
1
2,1,1,,0,1
2
，代入目标函数可得
3
3,,1，故最小值为10
2
【考点】线性规划
（14）函数ysinx3cosx的图像可由函数ysinx3cosx的图像至少向右平移______个单位长度得
到.
2
【答案】
3
【解析】ysinx3cosx2sinx,ysinx3cosx2sinx，故可前者的图像可由后者向
33
右平移
2
3
个单位长度得到
【考点】三角恒等变换、图像平移
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（15）已知f（x）为偶函数，当x0时，f（x）lnx3x，则曲线yfx在点1,3处的切线方程是______
【答案】2xy10
【解析】法一：
11
f'（x）33
xx
，f'12，f'12，故切线方程为2xy10
法二：
当x0时，fxfxlnx3x，
1
f'x3,f'12，故切线方程为2xy10
x
【考点】奇偶性、导数、切线方程
（16）已知直线l：
mxy3m30与圆
2212
xy交于A,B两点，过A,B分别作l的垂线与x轴交于
C,D两点，若AB23，则|CD|__________.
【答案】3
y
B【解析】如图所示，作AEBD于E，作OFAB于F，
F
AAB23,OA23,OF3，即
E
CD
x
3m3
2
m
1
3
，
m
3
3
∴直线l的倾斜角为30°
CDAE
3
233
2
【考点】直线和圆、弦长公式
三.解答题：
解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
（17）（本小题满分12分）
已知数列an的前n项和S
n=1+λan，其中λ≠0．
（1）证明
a是等比数列，并求其通项公式；
n
31
（2）若S5，求λ．
32
【答案】
（1）；
（2）
【解析】
解：
（1）S1a,0
nn
a
n
0
当n2时，
aSS11a1a1aa1
nnnnnnn
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即
1anan，
1
0,an0,10,即1
即
a
n
a
n
1
n2
1
，
∴an是等比数列，公比
q，
1
当n=1时，
S11a1a1，
即
a
1
1
1
n1
1
a
n
11
（2）若
S
5
31
32
则
S
5
5
1
1
11531
1
132
1
1
1
【考点】等比数列的证明、由Sn求通项、等比数列的性质
（18）（本小题满分12分）
下图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量（单位：
亿吨）的折线图.
（1）由折线图看出，可用线性回归模型拟合y与t的关系，请用相关系数加以说明；
（2）建立y关于t的回归方程（系数精确到0.01），预测2016年我国生活垃圾无害化处理量.
附注：
参考数据：
777
y9.32，ty40.17，
iii
2
（yiy）0.55，7≈2.646.
i1i1i1
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n
（tt）（yy）
ii
参考公式：
r
i1
nn
22
（tt）（yy）
ii
i1i1
，
回归方程yabt中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：
n
（tt）（yy）
iii1
b，aybt
n
2
（tt）
ii1
【答案】
（1）见解析；
（2）y0.920.10t，1.82亿吨
【解析】
7
（1）由题意得
1234567
t4，
7
y
i
y
i
11.331
7
7n
r
（tt）（yy）tynty
iiii
i1i1
7777
2222
（tt）（yy）（tt）（yy）
iiii
i1i1i1i1
6.741.33
280.55
0.99
因为y与t的相关系数近似为0.99，说明y与t的线性相关程度相当高，从而可以用线性回归方程来拟合
y与t的关系
n
（2）
（tt）（yy）
ii
2.89
i1
b0.103
n
28
2
（tt）
i
i1
aybt1.330.10340.92
所以y关于t的线性回归方程为yabt0.920.10t
将t9代入回归方程可得，y1.82
预测2016年我国生活垃圾无害化处理量将约为1.82亿吨
【考点】相关性分析、线性回归
（19）（本小题满分12分）
如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB=AD=AC=3，PA=BC=4，
M为线段AD上一点，AM=2MD，N为PC的中点.
（1）证明MN∥平面PA；B
（2）求直线AN与平面PMN所成角的正弦值.
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【答案】
（1）见解析；
（2）85
25
【解析】
（1）由已知得
2
AMAD2，取BP的中点T，连接AT,TN，
3
由N为PC中点知TN//BC，
1
TNBC2.......3分
2
又AD//BC，故TN平行且等于AM，四边形AMNT为平行四边形，
于是MN//AT.
因为AT平面PAB，MN平面PAB，所以MN//平面PAB.........6分
（2）取BC中点E，连接AE，则易知AEAD，又PA面ABCD，故可以A为坐标原点，以AE
为x轴，以AD为y轴，以AP为z轴建立空间直角坐标系，
则
5
A0,0,0、P0,0,4、C5,2,0、N,1,2、M0,2,0
2
55
AN,1,2,PM0,2,4,PNN,1,2
22
故平面PMN的法向量n0,2,1
cosAN,n
485
525
2
5
直线AN与平面PMN所成角的正弦值为
85
25
【考点】线面平行证明、线面角的计算
（20）（本小题满分12分）
已知抛物线C：
y2=2x的焦点为F，平行于x轴的两条直线l
2=2x的焦点为F，平行于x轴的两条直线l
1，l2分别交C于A，B两点，交C的准线于
P，Q两点.
（1）若F在线段AB上，R是PQ的中点，证明AR∥FQ；
（2）若△PQF的面积是△ABF的面积的两倍，求AB中点的轨迹方程.
【答案】
（1）见解析；
（2）
2
yx
1
【解析】
（1）法一：
由题设
1
F（,0）.设l1:
ya,l2:
yb，则ab0，且
2
22
ab111ab
A（,a）,B（,b）,P（,a）,Q（,b）,R（,）.
222222
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记过A,B两点的直线为l，则l的方程为2x（ab）yab0......3分
由于F在线段AB上，故1ab0.
记AR的斜率为k，FQ的斜率为k2，则
1
abab1ab
kbk
1222
aa
1aaab
.
所以AR∥FQ.......5分
法二：
证明：
连接RF，PF，
由AP=AF，BQ=BF及AP∥BQ，得∠AFP+∠BFQ=90°，
∴∠PFQ=90°，
∵R是PQ的中点，
∴RF=RP=RQ，
∴△PAR≌△FAR，
∴∠PAR=∠FAR，∠PRA=∠FRA，
∵∠BQF+∠BFQ=180°﹣∠QBF=∠PAF=2∠PAR，
∴∠FQB=∠PAR，
∴∠PRA=∠PQF，
∴AR∥FQ．
（2）设l与x轴的交点为D（x,0），
1
ab111
则SbaFDbax1,S.
ABFPQF
2222
11ab
由题设可得bax1，所以x10（舍去），x11.
222
设满足条件的AB的中点为E（x,y）.
当AB与x轴不垂直时，由kABkDE可得
2
abx
y
1
（x1）
.
而
ab
2
y，所以
21
（1）
yxx.
当AB与x轴垂直时，E与D重合.所以，所求轨迹方程为
21
yx.....12分
【考点】抛物线、轨迹方程
（21）（本小题满分12分）
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设函数fxacos2xa1cosx1，其中a0，记fx的最大值为A.
（1）求f'x；
（2）求A；
（3）证明：
f'x2A.
【答案】见解析
【解析】
（1）f'x2asin2xa1sinx
（2）当a1时，|f（x）||acos2x（a1）（cosx1）|a2（a1）3a2f（0）
因此，A3a2．
当0a1时，将f（x）变形为
2
f（x）2acosx（a1）cosx1．
令
2
g（t）2at（a1）t1，则A是|g（t）|在[1,1]上的最大值，
g
（1）a，g
（1）3a2，且当t
1
a
4a
时，g（t）取得极小值，
极小值为
22
1a（a1）a6a1
g（）1
4a8a8a
．
令
1a
11
，解得
4a
1
a（舍去），
3
1
a．
5
①当
0
1
a时，g（t）在（1,1）内无极值点，|g
（1）|a，|g
（1）|23a，|g
（1）||g
（1）|，所以
5
A23a．
②当
1
5
a1时，由g
（1）g
（1）2（1a）0，知
1a
g
（1）g
（1）g（）
4a
．
又
1a（1a）（17a）
|g（）||g
（1）|0
4a8a
，所以
2
1aa6a1
A|g（）|
4a8a
．
23a,0a
1
5
综上，
2
a6a11
A,a1
8a5
3a2,a1
．
（3）由
（1）得
'
|f（x）||2asin2x（a1）sinx|2a|a1|.
当
0
1
a时，
5
'
|f（x）|1a24a2（23a）2A.
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当
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