MATLAB处理线性系统数学模型.docx
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MATLAB处理线性系统数学模型
实验一用MATLAB处理线性系统数学模型
[说明]
一个控制系统主要由被控对象、测量装置、控制器和执行器四大部分构成。
MATLAB软件的应用对提高控制系统的分析、设计和应用水平起着十分重要的作用。
采用MATLAB软件仿真的关键问题之一是在MATLAB软件平台上怎样正确表示被控对象的数学模型。
[实验目的]
1．了解MATLAB软件的基本特点和功能；
2．掌握线性系统被控对象传递函数数学模型在MATLAB环境下的表示方法及转换；
3．掌握多环节串联、并联、反馈连接时整体传递函数的求取方法；
4．掌握在SIMULINK环境下系统结构图的形成方法及整体传递函数的求取方法；
5．了解在MATLAB环境下求取系统的输出时域表达式的方法。
[实验指导]
一、被控对象模型的建立
在线性系统理论中，一般常用的描述系统的数学模型形式有：
（1）传递函数模型——有理多项式分式表达式
（2）传递函数模型——零极点增益表达式
（3）状态空间模型（系统的内部模型）
这些模型之间都有着内在的联系，可以相互进行转换。
1、传递函数模型——有理多项式分式表达式
设系统的传递函数模型为
若已知系统的传递函数为：
对线性定常系统，式中s的系数均为常数，且an不等于零。
这时系统在MATLAB中可以方便地由分子和分母各项系数构成的两个向量唯一地确定，这两个向量常用num和den表示。
num=[bm,bm-1,…,b1,b0]
den=[an,an-1,…,a1,a0]
注意：
它们都是按s的降幂进行排列的。
分子应为m项，分母应为n项，若有空缺项（系数为零的项），在相应的位置补零。
然后写上传递函数模型建立函数：
sys=tf（num,den）。
这个传递函数便在MATLAB平台中被建立，并可以在屏幕上显示出来。
例1-1：
已知系统的传递函数描述如下：
在MATLAB命令窗口（CommandWindow）键入以下程序：
>>num=[12,24,0,20];
>>den=[24622];
>>sys=tf（num,den）
回车后显示结果：
Transferfunction:
12s^3+24s^2+20
---------------------------------------
2s^4+4s^3+6s^2+2s+2
并同时在MATLAB中建立了这个相应的有理多项式分式形式的传递函数模型。
则
（1）系统的MATLAB程序为：
举例1-2：
已知系统的传递函数描述如下：
其中，多项式相乘项，可借助多项式乘法函数conv来处理。
在MATLAB命令窗口键入以下程序：
>>num=4*conv（[1,2],conv（[1,6,6],[1,6,6]））;
>>den=conv（[1,0],conv（[1,1],conv（[1,1],conv（[1,1],[1,3,2,5]））））;
>>sys=tf（num,den）
回车后显示结果：
Transferfunction:
4s^5+56s^4+288s^3+672s^2+720s+288
---------------------------------------------------------------------------
s^7+6s^6+14s^5+21s^4+24s^3+17s^2+5s
同时在MATLAB中建立了这个有理多项式分式形式的传递函数模型。
2．相应的
（2）系统的MATLAB程序为：
2、传递函数模型——零极点增益模型
零极点增益模型为：
其中：
K为零极点增益，zi为零点，pj为极点。
该模型在MATLAB中，可用[z,p,k]矢量组表示，即
z=[z1,z2,…,zm];p=[p1,p2,...,pn];k=[K];
然后在MATLAB中写上零极点增益形式的传递函数模型建立函数：
sys=zpk（z,p,k）。
这个零极点增益模型便在MATLAB平台中被建立。
举例1-3：
已知系统的零极点增益模型：
在MATLAB命令窗口键入以下程序：
>>z=[-3];p=[-1,-2,-5];k=6;
>>sys=zpk（z,p,k）
Zero/pole/gain:
6（s+3）
-----------------
（s+1）（s+2）（s+5）
则在MATLAB中建立了这个零极点增益的模型。
3．3、状态空间模型
状态方程与输出方程的组合称为状态空间表达式，又称为动态方程，如下：
则在MATLAB中建立状态空间模型的程序如下：
>>A=[A];
>>B=[B];
>>C=[C];
>>D=[D];
>>sys=ss（A,B,C,D）
二、不同形式模型之间的相互转换
不同形式之间模型转换的函数：
（1）tf2zp：
多项式传递函数模型转换为零极点增益模型。
格式为：
[z,p,k]=tf2zp（num,den）
（2）zp2tf：
零极点增益模型转换为多项式传递函数模型。
格式为：
[num,den]=zp2tf（z,p,k）
（3）ss2tf：
状态空间模型转换为多项式传递函数模型。
格式为：
[num,den]=ss2tf（a,b,c,d）
（4）tf2ss:
多项式传递函数模型转换为状态空间模型。
格式为：
[a,b,c,d]=tf2ss（num,den）
（4）zp2ss：
零极点增益模型转换为状态空间模型。
格式为：
[a,b,c,d]=zp2ss（z,p,k）
（5）ss2zp：
状态空间模型转换为零极点增益模型。
格式为：
[z,p,k]=ss2zp（a,b,c,d）
三、环节串联、并联、反馈连接时等效的整体传递函数的求取
1、串联
这里：
在MATLAB中求取整体传递函数的功能，采用如下的语句或函数来实现。
.
1G=G1*G2
2G=series（G1,G2）
3[num,den]=series（num1,den1,num2,den2）
例1-4两环节G1、G2串联，求等效的整体传递函数G
解：
①实现的程序：
>>n1=2;d1=[13];n2=7;d2=[121];G1=tf（n1,d1）;G2=tf（n2,d2）;G=G1*G2
运行结果：
Transferfunction:
14
---------------------
s^3+5s^2+7s+3
②实现的程序：
>>n1=2;d1=[13];n2=7;d2=[121];G1=tf（n1,d1）;G2=tf（n2,d2）;G=series（G1,G2）
运行结果：
Transferfunction:
14
---------------------
s^3+5s^2+7s+3
③实现的程序：
>>n1=2;d1=[13];n2=7;d2=[121];G1=tf（n1,d1）;G2=tf（n2,d2）;
>>[n,m]=series（n1,d1,n2,d2）
运行结果：
n=00014
m=1573
例1-5四环节G1、G2、G3、G4串联，求等效的整体传递函数G
解：
实现的程序：
>>n1=2;d1=[13];n2=7;d2=[121];G1=tf（n1,d1）;G2=tf（n2,d2）;
>>G=G1*G2*G1*G1
运行结果：
Transferfunction:
56
------------------------------------------
s^5+11s^4+46s^3+90s^2+81s+27
2、并联
两环节G1（s）与G2（s）并联，则等效的整体传递函数为
G（s）=G1（s）+G2（s）
在MATLAB中求取整体传递函数的功能，采用如下的语句或函数来实现。
①G=G1+G2
②G=parallel
1（G1,G2）
③[num,den]=parallel
2（num1,den1,num2,den2）
例1-6两环节G1、G2并联，求等效的整体传递函数G（s）
解：
①实现的程序：
>>n1=2;d1=[13];n2=7;d2=[121];G1=tf（n1,d1）;G2=tf（n2,d2）;G1+G2
运行结果：
Transferfunction:
2s^2+11s+23
----------------------------
s^3+5s^2+7s+3
②实现的程序:
>>n1=2;d1=[13];n2=7;d2=[121];G1=tf（n1,d1）;G2=tf（n2,d2）;G=parallel（G1,G2）
运行结果：
Transferfunction:
2s^2+11s+23
---------------------------
s^3+5s^2+7s+3
③实现的程序:
>>n1=2;d1=[13];n2=7;d2=[121];[n,d]=parallel（n1,d1,n2,d2）
运行结果：
n=021123
d=1573
若
则G（s）=G1（s）-G2（s）
相应的语句为
G=G1-G2
例1-7：
程序如下
>>n1=2;d1=[13];n2=7;d2=[121];G1=tf（n1,d1）;G2=tf（n2,d2）;G=G1-G2
运行结果：
Transferfunction:
2s^2-3s-19
------------------------------
s^3+5s^2+7s+3
3．反馈：
feedback
则
在MATLAB中采用如下的语句或函数来求取闭环传递函数
①G=feedback（G1,G2,sign）
②[num,den]=feedback（num1,den1,num2,den2,sign）
③G=cloop（G1,sign）
④[numc,denc]=cloop（num,den,sign）
这里，sign=1时采用正反馈；当sign=-1时采用负反馈；sign缺省时，默认为负反馈。
其中G2；num2,den2；对应H（s）。
3④只用于单位反馈系统。
例1-8，已知
求闭环传递函数。
两环节G1、G2分别为
解：
①a:
>>n1=[3100];d1=[1281];n2=2;d2=[25];
>>G1=tf（n1,d1）;G2=tf（n2,d2）;G=feedback（G1,G2,-1）
结果；
Transferfunction:
6s^2+215s+500
------------------------------------
2s^3+9s^2+178s+605
b:
>>n1=[3100];d1=[1281];n2=2;d2=[25];
G1=tf（n1,d1）;G2=tf（n2,d2）;G=feedback（G1,G2,1）
结果：
Transferfunction:
6s^2+215s+500
---------------------------
2s^3+9s^2+166s+205
②
num1=[3100];den1=[1281];num2=2;den2=[25];
[num,den]=feedback（num1,den1,num2,den2,-1）
结果：
num=
06215500
den=
29178605
举例1-9，已知
求闭环传递函数。
两环节G1、G2分别为
解①
>>n1=[3100];d1=[1281];G1=tf（n1,d1）;G2=1;G=feedback（G1,G2,-1）
结果：
Transferfunction:
3s+100
---------------
s^2+5s+181
③
>>n1=[3100];d1=[1281];G1=tf（n1,d1）;G=cloop（G1,-1）
结果：
Transferfunction:
3s+100
-------------------
s^2+2s+81
✦✦以上语句对于零极点增益模型也是适用的
例1-10：
>>z=[-3];p=[-1];k=3;G1=zpk（z,p,k）;z1=[-4];p1=[-2];k1=5;G1=zpk（z,p,k）;
G2=zpk（z1,p1,k1）;G=G1*G2
Zero/pole/gain:
15（s+3）（s+4）
--------------
（s+1）（s+2）
>>GG=G1+G2
Zero/pole/gain:
8（s+1.275）（s+3.725）
---------------------
（s+1）（s+2）
>>GGG=feedback（G1,G2,-1）
Zero/pole/gain:
0.1875（s+3）（s+2）
------------------
（s+3.25）（s+3.5）
✦✦以上运算中往往通分运算后不约简，可以再使用minreal（）函数来实现约简，其格式为
G1=minreal（G）
举例1-11
>>z=[-3];p=[-1];k=3;G1=zpk（z,p,k）;z1=[-1];p1=[-2];k1=5;G1=zpk（z,p,k）;
G2=zpk（z1,p1,k1）;G=G1*G2
Zero/pole/gain:
15（s+3）（s+1）
--------------
（s+1）（s+2）
>>G1=minreal（G）
Zero/pole/gain:
15（s+3）
--------
（s+2）
四、系统复杂连接时等效的整体传递函数的求取
1．用Siumlink软件实现传递函数的求取
Siumlink软件是基于Windows的模型化图形输入的仿真软件，是MATLAB软件的拓展，在Siumlink环境下输入系统的方框图则可以方便的得到其传递函数。
⑴系统方框图的输入
1在MATLAB命令窗口中输入simulink，出现一个称为SimulinkLibraryBrowser的窗口，它提供构造方框图（或其他仿真图形界面）的模块；
②在MATLAB主窗口对File\New\Model操作，打开模型文件窗口，在此窗口上，构造方框图。
③以下面的系统为例，介绍构造方框图的各模块录入方法和设置方法。
图中，
◇录入各传递函数方框
在SimulinkLibraryBrowser的窗口打开Simulink→Continuous子库,将TransferFcn模块复制到（拽到）模型文件窗口，共复制6个方框，分别放到相应位置。
传递函数是积分环节的，也可以复制Integrator模块
◇录入相加点
在SimulinkLibraryBrowser的窗口打开Simulink→Math子库，将Sum模块复制到（拽到）模型文件窗口，共复制复制到（拽到）模型文件窗口，共复制3个相加点，分别放到相应位置。
◇录入输入点与输出点标记
打开Simulink→Sources子库，将In1模块（输入点）复制到（拽到）模型文件窗口，放到相应位置。
打开Simulink→Sinks子库，将Out1模块（输出点）复制到（拽到）模型文件窗口，放到相应位置。
◇连接各方框（环节）
在模型文件窗口上，按箭头方向从起点到终点按住鼠标左键，连接方框。
传递函数方框有信号的入点和出点标记，画图不方便时，可以修改原来的方向，右键点击方框，在出现的浮动菜单上，作如下选择，即可实现方框旋转。
还可以对方框加阴影，改颜色，增加或取消修改名称注释及其位置等。
其他模块也有这些功能。
◇双击各模块，在参数设定窗口，设置模块参数。
对于方框，是确定该方框表示的具体传递函数。
对于相加点，是确定图形标记是圆形还是方形，并确定有几个需要相加的输入信号及信号极性。
输入点与输出点标记不用再设置。
在模型文件窗口构建得到的方框图如下:
⑵将构建的方框图保存
自定文件名，保存在默认的目录下。
文件名例如:
cdhs。
⑶求取方框图表示的系统的传递函数
①有理多项式形式
在MATLAB命令窗口（CommandWindow）键入以下程序：
>>[n,d]=linmod（'cdhs'）注：
''中是自定的文件名。
结果：
Returningtransferfunctionmodel
n=
00.000000.000012.00002.40000.0000
d=
1.00001.700016.800026.500021.60003.20000.0000
②零极点增益模型
在MATLAB命令窗口（CommandWindow）键入以下程序：
>>[a,b,c,d]=linmod2（'cdhs'）;G=ss（a,b,c,d）;G1=ZPK（G）
结果：
Zero/pole/gain:
12s（s+0.2）
------------------------------------------------------------
s（s+0.1855）（s^2+1.521s+1.12）（s^2-0.006824s+15.41）
化简
>>G2=minreal（G1）
结果：
Zero/pole/gain:
12（s+0.2）
----------------------------------------------------------
（s+0.1855）（s^2+1.521s+1.12）（s^2-0.006824s+15.41）
2．用信号流程图实现传递函数的求取
[实验内容]
1．自确定2个传递函数，实现传递函数的录入和求取串联、并联、反馈连接时等效的整体传递函数。
要求分别采用有理多项式模型和零极点增益模型两种传递函数形式。
2．进行2例有理多项式模型和零极点增益模型间的转换。
3．在Siumlink环境下实现如下系统的传递函数的求取。
各环节传递函数自定。
4．用画信号流程图方法求取下面系统的传递函数。
[实验报告要求]
1．写明实验目的和实验原理。
实验原理中简要说明求取传递函数的途径和采用的语句或函数。
2．在实验过程和结果中，要求按项目写清楚自定的传递函数、画出系统方框图，从屏幕上复制程序和运行结果，复制系统的Simulink方框图，打印报告或打印粘贴在报告上。
不方便打印的同学，要求手动从屏幕上抄写和绘制。
3．简要写出实验心得和问题或建议。
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