导数质量检测.docx

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导数质量检测

质量检测

（二）

测试内容：

函数　导数及应用

（时间：

120分钟　满分：

150分）

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）

1．函数f（x）＝log2（3x－1）的定义域是（　　）

A．RB．（1，＋∞）

C．（0，＋∞）D．（－1，＋∞）

解析：

由3x－1>0得x>0，故定义域是（0，＋∞），选C.

答案：

C

2．若函数y＝f（x）是函数y＝ax（a>0，且a≠1）的反函数，且f

（2）＝1，则f（x）＝（　　）

A．log2xB.

C．logxD．2x－2

解析：

函数y＝ax（a>0，且a≠1）的反函数是f（x）＝logax，

又f

（2）＝1，即loga2＝1，

所以a＝2，故f（x）＝log2x.

答案：

A

3．（2012年北京市丰台区高三第一学期期末）预测人口的变化趋势有多种方法，“直接推算法”使用的公式是Pn＝P0（1＋k）n（k>－1），其中Pn为预测人口数，P0为初期人口数，k为预测年内增长率，n为预测期间隔年数．如果在某一时期有－1

A．呈上升趋势B．呈下降趋势

C．摆动变化D．不变

解析：

由于－1

答案：

B

4．若函数f（x）满足f（x）＝x3－f′

（1）·x2－x，则f′

（1）的值为（　　）

A．0B．2

C．1D．－1

解析：

∵f（x）＝x3－f′

（1）x2－x，

∴f′（x）＝x2－2f′

（1）x－1.

令x＝1得f′

（1）＝1－2f′

（1）－1，

所以f′

（1）＝0，故选A.

答案：

A

5．若函数f（x）＝ax2＋（a2－1）x－3a为偶函数，其定义域为[4a＋2，a2＋1]，则f（x）的最小值为（　　）

A．3B．0

C．2D．－1

解析：

由f（x）为偶函数知a2－1＝0，即a＝±1，

又其定义域需关于原点对称，

即4a＋2＋a2＋1＝0必有a＝－1.

这时f（x）＝－x2＋3，

其最小值为f（－2）＝f

（2）＝－1.

故选D.

答案：

D

6．（2012年河北石家庄质检）牛奶保鲜时间因储藏温度的不同而不同，假定保鲜时间y与储藏温度x的关系为指数型函数y＝kax，若牛奶在0℃的冰箱中，保鲜时间约为100h，在5℃的冰箱中，保鲜时间约是80h，那么在10℃下的保鲜时间是（　　）

A．49hB．56h

C．64hD．76h

解析：

由题意知，指数型函数为y＝kax，于是，

所以k＝100，a5＝，

则当x＝10时，y＝100×a10＝100×（）2＝64.故选C.

答案：

C

7．（2012年山西四校联考）已知a是函数f（x）＝2x－logx的零点，若0

A．f（x0）＝0B．f（x0）>0

C．f（x0）<0D．f（x0）的符号不能确定

解析：

∵0loga.

即－logx0<－loga，∴2x0－logx0<2a－loga

又a是f（x）＝2x－logx的零点，

∴2a－loga＝0，∴f（x0）＝2x0－logx0<0，选C.

答案：

C

8．（2012年重庆）已知f（x）是定义在R上的偶函数，且以2为周期，则“f（x）为[0,1]上的增函数”是“f（x）为[3,4]上的减函数”的（　　）

A．既不充分也不必要的条件B．充分而不必要的条件

C．必要而不充分的条件D．充要条件

解析：

∵x∈[0,1]时，f（x）是增函数，又∵y＝f（x）是偶函数，

∴x∈[－1,0]时，f（x）是减函数．

当x∈[3,4]时，x－4∈[－1,0]，∵T＝2，

∴f（x）＝f（x－4）．∴x∈[3,4]时，f（x）是减函数，充分性成立．

反之：

x∈[3,4]时，f（x）是减函数，x－4∈[－1,0]，∵T＝2，

∴f（x）＝f（x－4），∴x∈[－1,0]时，f（x）是减函数．

∵y＝f（x）是偶函数，∴x∈[0,1]时，f（x）是增函数，必要性成立，故选D.

答案：

D

9．（2012年福州市高三期末质量检查）已知g（x）为三次函数f（x）＝x3＋x2－2ax（a≠0）的导函数，则它们的图象可能是（　　）

解析：

由已知得g（x）＝ax2＋ax－2a＝a（x＋2）（x－1），

∴g（x）的图象与x轴的交点坐标为（－2,0），（1,0），且－2和1是函数f（x）的极值点，故选D.

答案：

D

10．（2012年正定中学第一次月考）已知函数　f（x）＝在[1，＋∞）上为减函数，则实数a的取值范围是（　　）

A．0

C．a≤e　　D．a≥e

解析：

f′（x）＝＝，因为　f（x）在[1，＋∞）上为减函数，故　f′（x）≤0在[1，＋∞）上恒成立，即lna≥1－lnx在[1，＋∞）上恒成立．设φ（x）＝1－lnx，φ（x）max＝1，故lna≥1，a≥e.

答案：

D

11．（2013届河北省重点中学联合考试）定义在（1，＋∞）上的函数f（x）满足：

①f（2x）＝cf（x）（c为正常数）；②当2≤x≤4时，f（x）＝1－（x－3）2，若函数f（x）的图象上所有极大值对应的点均落在同一条直线上，则c等于（　　）

A．1B．2

C．2或4D．1或2

解析：

由已知可得，当1≤x≤2时，f（x）＝f（2x）＝[1－（2x－3）2]；

当2≤x≤4时，f（x）＝1－（x－3）2，

当4≤x≤8时，f（x）＝cf（）＝c[1－（－3）2]

由题意可知三点（，），（3,1），（6，c）共线，则＝，解得c＝1或c＝2.

答案：

D

12．（2012年孝感统考）已知f（x）＝alnx＋x2（a>0），若对任意两个不等的正实数x1、x2都有>2恒成立，则a的取值范围是（　　）

A．[1，＋∞）　B．（1，＋∞）

C．（0,1）D．（0,1]

解析：

由于＝k>2恒成立，所以f′（x）≥2恒成立．又f′（x）＝＋x，故＋x≥2，即a≥－x2＋2x，而g（x）＝－x2＋2x在（0，＋∞）上的最大值为1，所以a≥1.故选A.

答案：

A

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13．　f（x）＝（n∈Z）是偶函数，且y＝　f（x）在（0，＋∞）上是减函数，则n＝________.

解析：

因为　f（x）在（0，＋∞）上是减函数，所以n2－3n<0，即0

答案：

1或2

14．（2012年河北唐山模拟）形如y＝（a>0，b>0）的函数，因其图象类似于汉字中的“冏”字，故我们把它称为“冏函数”．若当a＝1，b＝1时的“冏函数”与函数y＝lg|x|图象的交点个数为n，则n＝__________.

解析：

由题易知，当a＝1，b＝1时，y＝＝在同一坐标系中画出“冏函数”与函数y＝lg|x|的图象如图所示，易知它们有4个交点．

答案：

4

15．（2013届河北普通高中质检）已知函数f（x＋）为奇函数，设g（x）＝f（x）＋1，则g（）＋g（）＋g（）＋g（）＋…＋g（）＝________.

解析：

由题意f（－x＋）＝－f（x＋），即f（－x＋）＋f（x＋）＝0，故可得结论：

若m＋n＝1，则f（m）＋f（n）＝0，g（m）＋g（n）＝2.∴原式＝1006×2＝2012.

答案：

2012

16．（2012年大同市高三学情调研）给出定义：

若m－

①函数y＝f（x）的定义域为R，值域为[0，]；②函数y＝f（x）的图象关于直线x＝（k∈Z）对称；③函数y＝f（x）是周期函数，且最小正周期为1；④函数y＝f（x）在[－，]上是增函数．其中正确的命题是________．

解析：

由条件知－

答案：

①②③

三、解答题（本大题共6小题，共70分，17题10分，18～22题，每题12分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）

17．已知f（x－3）＝loga（a>0，且a≠1），试判断f（x）的奇偶性．

解：

∵f（x－3）＝loga，∴f（x）＝loga.

>0⇒－3

∴定义域关于原点对称．

又f（－x）＋f（x）＝loga＝loga1＝0，∴f（x）为奇函数．

18．已知函数f（x）＝x3＋ax2－x在点A（1，f

（1））处的切线为l，若此切线在点A处穿过y＝f（x）的图象（即动点在点A附近沿曲线y＝f（x）运动，经过点A时，从l的一侧进入另一侧），求函数f（x）的表达式．

解：

由已知得f′（x）＝x2＋ax－1，

由f′

（1）＝a知f（x）在点A（1，f

（1））处的切线l的方程是

y－f

（1）＝f′

（1）（x－1），

即y＝ax－－a.

因为切线l在点A处穿过y＝f（x）的图象，

所以g（x）＝f（x）－（ax－－a）在x＝1两边附近的函数值异号，

则x＝1不是g（x）的极值点．

而g（x）＝x3＋ax2－（1＋a）x＋＋a，

则g′（x）＝x2＋ax－a－1＝（x－1）（x＋1＋a）．

令g′（x）＝0得x＝1或x＝－1－a，

若1≠－1－a，则x＝1和x＝－1－a都是g（x）的极值点，

所以1＝－1－a，即a＝－2，

故f（x）＝x3－x2－x.

19．已知关于x的二次函数f（x）＝x2＋（2t－1）x＋1－2t.

（1）求证：

对于任意t∈R，方程f（x）＝1必有实数根；

（2）若

方程f（x）＝0在区间（－1,0）及（0，）上各有一个实数根．

证明：

（1）对于任意t∈R，方程f（x）＝1必有实数根，

即f（x）－1＝0必有实数根．

x2＋（2t－1）x＋1－2t－1＝0，

x2＋（2t－1）x－2t＝0，

Δ＝（2t－1）2－4×（－2t）＝（2t＋1）2≥0，

所以对于任意t∈R，方程f（x）＝1必有实数根．

（2）当0，f（0）＝1－2t＝2（－t）<0，

f（）＝＋（2t－1）＋1－2t＝－t>0，

所以方程f（x）＝0在区间（－1,0）及（0，）上各有一个实数根．

20．2012年5月12日韩国丽水世博会开幕，某小商品公司以此为契机，开发了一种纪念品，每件产品的成本是15元，销售价是20元，月平均销售a件，通过改进工艺，产品的成本不变，质量得到提高，市场分析的结果表明：

如果产品的销售价提高的百分率为x（0

（1）写出y与x的函数关系式；

（2）改进工艺后，试确定该纪念品的销售价，使该公司销售该纪念品的月平均利润最大．

解：

（1）改进工艺后，每件产品的销售价为20（1＋x）元，月平均销售量为a（1－x2）件，

则月平均利润为y＝a（1－x2）·[20（1＋x）－15]元，

所以y与x的函数关系式为y＝5a（1＋4x－x2－4x3）（0

（2）由y′＝5a（4－2x－12x2）＝0，得x1＝，x2＝－（舍去），

所以当00；当

所以函数y＝5a（1＋4x－x2－4x3）（0

故改进工艺后，纪念品的销售价为20×（1＋）＝30元时，该公司销售该纪念品的月平均利润最大．

21．（2013年宁夏银川月考）已知函数：

f（x）＝x3＋ax2＋bx＋c，过曲线y＝f（x）上的点P（1，f

（1））的切线方程为