北师大版初中数学定理知识点汇总九下.docx

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北师大版初中数学定理知识点汇总九下

北师大版初中数学定理知识点汇总（九下）

图1北师大版初中数学定理知识点汇总[九年级（下册）第一章直角三角形边的关系※一.正切：

定义：

在Rt△ABC中，锐角A的对边与邻边的比叫做A的正切．．，记作tanA，即的邻边的对边AAA=tan;①tanA是一个完整的符号，它表示A的正切，记号里习惯省去角的符号；②tanA没有单位，它表示一个比值，即直角三角形中A的对边与邻边的比；③tanA不表示tan乘以A；④初中阶段，我们只学习直角三角形中，A是锐角的正切；⑤tanA的值越大，梯子越陡，A越大；A越大，梯子越陡，tanA的值越大。

※二.正弦．．：

定义：

在Rt△ABC中，锐角A的对边与斜边的比叫做A的正弦，记作sinA，即斜边的对边AA=sin;※三.余弦：

定义：

在Rt△ABC中，锐角A的邻边与斜边的比叫做A的余弦，记作cosA，即斜边的邻边AA=cos;※余切：

定义：

在Rt△ABC中，锐角A的邻边与对边的比叫做A的余切，记作cotA，即的对边的邻边AAA=cot;※一个锐角的正弦、余弦、正切、余切分别等于它的余角的余弦、正弦、余切、正切。

（通常我们称正弦、余弦互为余函数。

同样，也称正切、余切互为余函数，可以概括为：

一个锐角的三角函数等于它的余角的余函数）用等式表达：

若A为锐角，则①）90cos（sinAA=；）90sin（cosAA=②）90cot（tanAA=；）90tan（cotAA=※当从低处观测高处的目标时，视线与水平线．．※当从高处观测低处的目标时，视线与水平线所成．．※利用特殊角的三角函数值表，可以看出，

（1）当角度在0～90间变化时，正弦值、正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）；余弦值、余切值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）。

（2）0sin1，0cos1。

※同角的三角函数间的关系：

倒数关系：

tgctg=1。

所成的锐角称为仰角的锐角称为俯角※在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和二个锐角。

由直角三角形中除直角外的已知元素，求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形。

◎在△ABC中，C为直角，A、B、C所对的边分别为a、b、c，则有030456090sin02122231cos12322210tan03313cot31330图3图4

（1）三边之间的关系：

a2+b2=c2；

（2）两锐角的关系：

A＋B=90；（3）边与角之间的关系：

bAcaBc1S=∆;cot,tan,cos,sinabAbaAcaA====;cot,tan,cos,sinbaBabBcbB====（4）面积公式:

chcab212=（hc为C边上的高）;（5）直角三角形的内切圆半径2cbar+=（6）直角三角形的外接圆半径cR21=◎解直角三角形的几种基本类型列表如下：

◎解直角三角形的几种基本类型列表如下：

※如图2，坡面与水平面的夹角叫做坡角．．（或叫做坡比．．）。

用字母i表示，即Alhitan==◎从某点的指北方向按顺时针转到目标方向的水平角，叫做方位角．．．。

如图3，OA、OB、OC的方位角分别为45、135、225。

◎指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90的水平角，叫做方向角．．．。

如图4，OA、OB、OC、OD的方向角分别是；北偏东30，南偏东45（东南方向）、南偏西为60，北偏西60。

第二章二次函数2++=a、、b、cbxaxy是常数※二次函数的概念：

形如）0（，a的函数，叫做x的二次函数．．．．。

自变量的取值范围是全体实数。

）0（2=aaxy是二次函数的特例，此时常数b=c=0.※在写二次函数的关系式时，一定要寻找两个变量之间的等量关系，列出相应的函数关系式，并确定自变量的取值范．．．．．．．围．。

※二次函数y＝ax2的图象是一条顶点在原点关于y轴对称的曲线，这条曲线叫做抛物线．．．。

图2hi=h:

llABC描述抛物线常从开口方向、对称性、y随x的变化情况、抛物线的最高（或最低）点、抛物线与x轴的交点等方面来描述。

①函数的定义域是全体实数；②抛物线的顶点在（0，0），对称轴是y轴（或称直线x＝0）。

③当a＞0时，抛物线开口向上，并且向上方无限伸展。

当a＜0时，抛物线开口向下，并且向下方无限伸展。

④函数的增减性：

A、当a＞0时.,0;,0增大而增大x随时增大而减小x随时yxyxB、当a＜0时.,0;,0增大而减小x随时增大而增大x随y时xyx⑤当｜a｜越大，抛物线开口越小；当｜a｜越小，抛物线的开口越大。

⑥最大值或最小值：

当a＞0，且x＝0时函数有最小值，最小值是0；当a＜0，且x＝0时函数有最大值，最大值是0．※二次函数caxy+=2的图象是一条顶点在y轴上且与y轴对称的抛物线※二次函数cbxaxy++=2的图象是以abx2=为对称轴，顶点在（ab2，abac442）的抛物线。

（开口方向和大小由a来决定）※|a|的越大，抛物线的开口程度越小，越靠近对称轴y轴，y随x增长（或下降）速度越快；|a|的越小，抛物线的开口程度越大，越远离对称轴y轴，y随x增长（或下降）速度越慢。

※二次函数caxy+=2的图象中，a的符号决定抛物线的开口方向，|a|决定抛物线的开口程度大小，c决定抛物线的顶点位置，即抛物线位置的高低。

※二次函数cbxaxy++=2的图象与y＝ax2的图象的关系：

cbxaxy++=2的图象可以由y＝ax2的图象平移得到，其步骤如下：

①将cbxaxy++=2配方成khxay+=2）（的形式；（其中h=ab2，k=abac442）；②把抛物线2axy=向右（h0）或向左（h0）平移|h|个单位，得到y=a（x-h）2的图象；③再把抛物线2）（hxay=向上（k0）或向下（k0）平移|k|个单位，便得到khxay+=2）（的图象。

※二次函数cbxaxy++=2的性质：

二次函数cbxaxy++=2配方成abacabxay44）2（22++=则抛物线的①对称轴：

x=ab2②顶点坐标：

（ab2，abac442）③增减性：

若a0，则当xab2时，y随x的增大而减小．．．．．；当xab2时，y随x的增大而增大。

．．．．．．若a0，则当xab2时，y随x的增大而增大．．．．．；当xab2时，y随x的增大而减小。

．．．．．．④最值：

若a0，则当x=ab2时，abacy442=最小；若a0，则当x=ab2时，abacy442=最大※画二次函数cbxaxy++=2的图象：

我们可以利用它与函数2axy=的关系，平移抛物线而得到，但往往我们采用简化了的描点法----五点法来画二次函数来画二次函数的图象，其步骤如下：

2①先找出顶点（ab2，abac44），画出对称轴x=ab2；②找出图象上关于直线x=ab2对称的四个点（如与坐标的交点等）；③把上述五点连成光滑的曲线。

二次函数的最大值或最小值可以通过将解析式配成y=a（x-h）2+k的形式求得，也可以借助图象观察。

解决最大（小）值问题的基本思路是：

①理解问题；②分析问题中的变量和常量，以及它们之间的关系；③用数学的方式表示它们之间的关系；④做数学求解；⑤检验结果的合理性、拓展性等。

※二次函数cbxaxy++=2的图象（抛物线）与x轴的两个交点的横坐标x1，x2是对应一元二次方程02=++cbxax的两个实数根※抛物线与x轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：

acb420===抛物线与x轴有2个交点；acb42=0===抛物线与x轴有1个交点；acb420===抛物线与x轴有0个交点（无交点）；※当acb420时，设抛物线与x轴的两个交点为A、B，则这两个点之间的距离：

2122121224）（）（|||=|1xxxxxxxxAB+==+化简后即为：

）04（||4||22a=acbacbAB------这就是抛物线与x轴的两交点之间的距离公式。

第三章圆一.车轮为什么做成圆形※1.圆的定义：

描述性定义：

在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的圆形叫做圆．；固定的端点O叫做圆心记作⊙O，读作圆O集合性定义：

圆是平面内到定点距离等于定长的点的集合。

其中定点叫做圆心．．；线段OA叫做半径．．；以点O为圆心的圆，．．，定长叫做圆的半径．．。

．．．．，圆心定圆的位置，半径定圆的大小，圆心和半径确定的圆叫做定圆对圆的定义的理解：

①圆是一条封闭曲线，不是圆面；②圆由两个条件唯一确定：

一是圆心（即定点），二是半径（即定长）。

※2.点与圆的位置关系及其数量特征：

如果圆的半径为r，点到圆心的距离为d，则①点在圆上===d=r;②点在圆内===dr;③点在圆外===dr.其中点在圆上的数量特征是重点，它可用来证明若干个点共圆，方法就是证明这几个点与一个定点、的距离相等。

二.圆的对称性:

※1.与圆相关的概念：

①弦和直径：

弦：

连接圆上任意两点的线段叫做弦．。

直径：

经过圆心的弦叫做直径．．。

②弧、半圆、优弧、劣弧：

弧：

圆上任意两点间的部分叫做圆弧．．，简称弧．，用符号⌒表示，以CD为端点的弧记为，读作圆弧CD或弧CD。

半圆：

直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧叫做半圆．．。

优弧：

大于半圆的弧叫做优弧．．。

．．。

（为了区别优弧和劣弧，优弧用三个字母表示。

）③弓形：

弦及所对的弧组成的图形叫做弓形．．。

④同心圆：

圆心相同，半径不等的两个圆叫做同心圆劣弧：

小于半圆的弧叫做劣弧．．．。

⑤等圆：

能够完全重合的两个圆叫做等圆，半径相等的两个圆是等圆。

⑥等弧：

在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧．．。

⑦圆心角：

顶点在圆心的角叫做圆心角．．．.．．．.⑧弦心距:

从圆心到弦的距离叫做弦心距※2.圆是轴对称图形，直径所在的直线是它的对称轴，圆有无数条对称轴。

※3.垂径定理：

垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。

推论：

平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。

说明：

根据垂径定理与推论可知对于一个圆和一条直线来说，如果具备：