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1、北师大版初中数学定理知识点汇总九下 北师大版初中数学定理知识点汇总(九下) 图 1 北师大版初中数学定理知识点汇总九年级(下册) 第一章 直角三角形边的关系 一. 正切： 定义： 在 RtABC 中， 锐角A 的对边与邻边的比叫做A 的正切 ， 记作 tanA， 即的邻边的对边AAA=tan; tanA 是一个完整的符号， 它表示A 的正切， 记号里习惯省去角的符号； tanA 没有单位， 它表示一个比值， 即直角三角形中A 的对边与邻边的比； tanA 不表示tan乘以A； 初中阶段， 我们只学习直角三角形中， A 是锐角的正切； tanA 的值越大， 梯子越陡， A 越大； A 越大， 梯

2、子越陡， tanA 的值越大。 二. 正弦 ： 定义： 在 RtABC 中， 锐角A 的对边与斜边的比叫做A 的正弦， 记作 sinA， 即斜边的对边AA=sin; 三. 余弦： 定义： 在 RtABC 中， 锐角A 的邻边与斜边的比叫做A 的余弦， 记作 cosA， 即斜边的邻边AA=cos; 余切： 定义： 在 RtABC 中， 锐角A 的邻边与对边的比叫做A 的余切， 记作 cotA， 即的对边的邻边AAA=cot; 一个锐角的正弦、 余弦、 正切、 余切分别等于它的余角的余弦、 正弦、 余切、 正切。 （通常我们称正弦、 余弦互为余函数。 同样， 也称正切、 余切互为余函数， 可以概括

3、为： 一个锐角的三角函数等于它的余角的余函数） 用等式表达： 若A 为锐角， 则 )90cos(sinAA=； )90sin(cosAA= )90cot(tanAA=； )90tan(cotAA= 当从低处观测高处的目标时， 视线与水平线 当从高处观测低处的目标时， 视线与水平线所成 利用特殊角的三角函数值表， 可以看出， (1)当 角度在 0 90 间变化时， 正弦值、 正切值随着角度的增大(或减小)而增大(或减小)； 余弦值、 余切值随着角度的增大(或减小)而减小(或增大)。 (2)0sin 1， 0cos 1。 同角的三角函数间的关系： 倒数关系： tg ctg =1。 所成的锐角称为仰

4、角的锐角称为俯角 在直角三角形中， 除直角外， 一共有五个元素， 即三条边和二个锐角。 由直角三角形中除直角外的已知元素， 求出所有未知元素的过程， 叫做解直角三角形。 在ABC 中， C 为直角， A、 B、 C 所对的边分别为 a、 b、 c， 则有 0 30 45 60 90 sin 0 21 22 23 1 cos 1 23 22 21 0 tan 0 33 1 3 cot 3 1 33 0 图 3 图 4 (1)三边之间的关系： a2+b2=c2； (2)两锐角的关系： AB=90 ； (3)边与角之间的关系： bAcaBc1S=;cot,tan,cos,sinabAbaAcaA=

5、;cot,tan,cos,sinbaBabBcbB= (4)面积公式:chcab212=(hc 为 C 边上的高); (5)直角三角形的内切圆半径2cbar+= (6)直角三角形的外接圆半径cR21= 解直角三角形的几种基本类型列表如下： 解直角三角形的几种基本类型列表如下： 如图 2， 坡面与水平面的夹角叫做坡角 (或叫做坡比 )。 用字母 i 表示， 即Alhitan= 从某点的指北方向按顺时针转到目标方向的水平角， 叫做方位角 。 如图 3， OA、 OB、 OC 的方位角分别为 45 、 135 、 225 。 指北或指南方向线与目标方向线所成的小于 90 的水平角， 叫做方向角 。

6、如图 4， OA、 OB、 OC、OD 的方向角分别是； 北偏东 30 ， 南偏东 45 (东南方向)、 南偏西为 60 ， 北偏西 60 。 第二章 二次函数 2+=a、 、b、cbxaxy是常数二次函数的概念： 形如) 0(， a的函数， 叫做 x 的二次函数 。 自变量的取值范围是全体实数。 ) 0(2=aaxy是二次函数的特例， 此时常数 b=c=0. 在写二次函数的关系式时， 一定要寻找两个变量之间的等量关系， 列出相应的函数关系式， 并确定自变量的取值范 围。 二次函数 yax2的图象是一条顶点在原点关于 y 轴对称的曲线， 这条曲线叫做抛物线 。 图 2 h i=h:l l A

7、B C 描述抛物线常从开口方向、 对称性、 y 随 x 的变化情况、 抛物线的最高（或最低） 点、 抛物线与 x 轴的交点等方面来描述。 函数的定义域是全体实数； 抛物线的顶点在(0， 0)， 对称轴是 y 轴(或称直线 x0)。 当 a0 时， 抛物线开口向上， 并且向上方无限伸展。 当 a0 时， 抛物线开口向下， 并且向下方无限伸展。 函数的增减性： A、 当 a0 时 .,0;,0增大而增大x随时增大而减小x随时yxyx B、 当 a0 时 .,0;,0增大而减小x随时增大而增大x随y时xyx 当 a 越大， 抛物线开口越小； 当 a 越小， 抛物线的开口越大。 最大值或最小值： 当

8、a0， 且 x0 时函数有最小值， 最小值是 0； 当 a0， 且 x0 时函数有最大值， 最大值是 0 二次函数caxy+=2的图象是一条顶点在 y 轴上且与 y 轴对称的抛物线 二次函数cbxaxy+=2的图象是以abx2=为对称轴， 顶点在（ab2，abac442） 的抛物线。 （开口方向和大小由 a 来决定） |a|的越大， 抛物线的开口程度越小， 越靠近对称轴 y 轴， y 随 x 增长（或下降） 速度越快； |a|的越小，抛物线的开口程度越大， 越远离对称轴 y 轴， y 随 x 增长（或下降） 速度越慢。 二次函数caxy+=2的图象中， a 的符号决定抛物线的开口方向， |a|

9、决定抛物线的开口程度大小， c 决定抛物线的顶点位置， 即抛物线位置的高低。 二次函数cbxaxy+=2的图象与 yax2的图象的关系： cbxaxy+=2的图象可以由 yax2的图象平移得到， 其步骤如下： 将cbxaxy+=2配方成khxay+=2)(的形式； （其中 h=ab2， k=abac442） ； 把抛物线2axy =向右（h0） 或向左（h0） 平移|h|个单位， 得到 y=a(x-h)2的图象； 再把抛物线2)(hxay=向上（k0） 或向下（k0） 平移| k|个单位， 便得到khxay+=2)(的图象。 二次函数cbxaxy+=2的性质： 二次函数cbxaxy+=2配方成

10、abacabxay44)2(22+=则抛物线的 对称轴： x=ab2 顶点坐标： （ab2，abac442） 增减性： 若 a0， 则当 xab2时， y 随 x 的增大而减小 ； 当 xab2时， y 随 x 的增大而增大。 若 a0， 则当 xab2时， y 随 x 的增大而增大 ； 当 xab2时， y 随 x 的增大而减小。 最值： 若 a0， 则当 x=ab2时，abacy442=最小； 若 a0， 则当 x=ab2时，abacy442=最大 画二次函数cbxaxy+=2的图象： 我们可以利用它与函数2axy =的关系， 平移抛物线而得到， 但往往我们采用简化了的描点法-五点法来画二

11、次函数来画二次函数的图象， 其步骤如下： 2 先找出顶点（ab2，abac44）， 画出对称轴 x=ab2； 找出图象上关于直线 x=ab2对称的四个点（如与坐标的交点等）； 把上述五点连成光滑的曲线。 二次函数的最大值或最小值可以通过将解析式配成 y=a(x-h)2+k 的形式求得， 也可以借助图象观察。 解决最大（小） 值问题的基本思路是： 理解问题； 分析问题中的变量和常量， 以及它们之间的关系； 用数学的方式表示它们之间的关系； 做数学求解； 检验结果的合理性、 拓展性等。 二次函数cbxaxy+=2的图象(抛物线)与 x 轴的两个交点的横坐标 x1， x2是对应一元二次方程02=+c

12、bxax的两个实数根 抛物线与 x 轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定： acb420 = 抛物线与 x 轴有 2 个交点； acb42=0 = 抛物线与 x 轴有 1 个交点； acb420 = 抛物线与 x 轴有 0 个交点（无交点） ； 当acb420 时， 设抛物线与 x 轴的两个交点为 A、 B， 则这两个点之间的距离： 2122121224)()(| |=|1xxxxxxxxAB+=+ 化简后即为： ) 04(|4|22a=acbacbAB - 这就是抛物线与 x 轴的两交点之间的距离公式。 第三章 圆 一. 车轮为什么做成圆形 1. 圆的定义： 描述性定义： 在

13、一个平面内， 线段 OA 绕它固定的一个端点 O 旋转一周， 另一个端点 A 随之旋转所形成的圆形叫做圆； 固定的端点 O 叫做圆心记作O， 读作圆 O 集合性定义： 圆是平面内到定点距离等于定长的点的集合。 其中定点叫做圆心 ； 线 段 OA 叫做半径 ； 以点 O 为圆心的圆， ， 定长叫做圆的半径 。 ，圆心定圆的位置， 半径定圆的大小， 圆心和半径确定的圆叫做定圆 对圆的定义的理解： 圆是一条封闭曲线， 不是圆面； 圆由两个条件唯一确定： 一是圆心（即定点） ， 二是半径（即定长） 。 2. 点与圆的位置关系及其数量特征： 如果圆的半径为 r， 点到圆心的距离为 d， 则 点在圆上 =

14、 d=r; 点在圆内 = dr; 点在圆外 = dr. 其中点在圆上的数量特征是重点， 它可用来证明若干个点共圆， 方法就是证明这几个点与一个定点、的距离相等。 二. 圆的对称性: 1. 与圆相关的概念： 弦和直径： 弦： 连接圆上任意两点的线段叫做弦。 直径： 经过圆心的弦叫做直径 。 弧、 半圆、 优弧、 劣弧： 弧： 圆上任意两点间的部分叫做圆弧 ， 简称弧， 用符号 表示， 以 CD 为端点的弧记为， 读作圆弧 CD 或弧 CD。 半圆： 直径的两个端点分圆成两条弧， 每一条弧叫做半圆 。 优弧： 大于半圆的弧叫做优弧 。 。 (为了区别优弧和劣弧， 优弧用三个字母表示。 ) 弓形：

15、弦及所对的弧组成的图形叫做弓形 。 同心圆： 圆心相同， 半径不等的两个圆叫做同心圆劣弧： 小于半圆的弧叫做劣弧 。 等圆： 能够完全重合的两个圆叫做等圆， 半径相等的两个圆是等圆。 等弧： 在同圆或等圆中， 能够互相重合的弧叫做等弧 。 圆心角： 顶点在圆心的角叫做圆心角 . . 弦心距:从圆心到弦的距离叫做弦心距2. 圆是轴对称图形， 直径所在的直线是它的对称轴， 圆有无数条对称轴。 3. 垂径定理： 垂直于弦的直径平分这条弦， 并且平分弦所对的两条弧。 推论： 平分弦（不是直径） 的直径垂直于弦， 并且平分弦所对的两条弧。 说明： 根据垂径定理与推论可知对于一个圆和一条直线来说， 如果具备：