3．直线y＝4x与曲线y＝x3在第一象限内围成的封闭图形的面积为（ D ）
A．2 B．4
C．2 D．4
解析 由得交点为（0,0），（2,8），（－2，－8），
所以S＝（4x－x3）dx＝＝4，故选D．
4.已知t>1，若（2x＋1）dx＝t2，则t＝__2__.,
解析 （2x＋1）dx＝（x2＋x）|＝t2＋t－2
从而得方程t2＋t－2＝t2，解得t＝2.
5．汽车以36km/h的速度行驶，到某处需要减速停车，设汽车以减速度a＝2m/s2刹车，则从开始刹车到停车，汽车走的距离是__25__m.,
解析 t＝0时，v0＝36km/h＝10m/s，刹车后，汽车减速行驶，速度为v（t）＝v0－at＝10－2t，由v（t）＝0得t＝5s，所以从刹车到停车，汽车所走过的路程为v（t）dt＝（10－2t）dt＝（10t－t2）|＝25（m）．
,
一 定积分的计算,
计算定积分的步骤
（1）把被积函数变形为幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数与常数的积或和或差．
（2）把定积分用定积分性质变形为求被积函数为初等函数的定积分．
（3）分别用求导公式找到一个相应的原函数．
（4）利用微积分基本定理求出各个定积分的值．
（5）计算原始定积分的值．
【例1】计算下列定积分．
（1）（－x2＋2x）dx；
（2）（sinx－cosx）dx；
（3）dx；（4）∫0dx.
解析
（1）（－x2＋2x）dx＝（－x2）dx＋2xdx
＝|＋（x2）|＝－＋1＝.
（2）（sinx－cosx）dx＝sinxdx－cosxdx,＝（－cosx）|－sinx|＝2.
（3）dx＝e2xdx＋dx＝e2x＋lnx|,＝e4－e2＋ln2－ln1＝e4－e2＋ln2.
（4）dx＝|sinx－cosx|dx,＝（cosx－sinx）dx＋（sinx－cosx）dx,＝（sinx＋cosx）＋（－cosx－sinx）,＝－1＋（－1＋）＝2－2.
二 定积分几何意义的应用,
（1）利用定积分求平面图形面积的步骤：
①根据题意画出图形；
②借助图形确定出被积函数，求出交点坐标，确定定积分的上、下限；
③把曲边梯形的面积表示成若干个定积分的和；
④计算定积分，写出答案．
（2）根据平面图形的面积求参数的方法：
先利用定积分求出平面图形的面积，再根据条件构造方程（不等式）求解．
【例2】
（1）由曲线y＝，直线y＝x－2及y轴所围成的图形的面积为（ C ）
A． B．4
C． D．6
（2）如图，一横截面为等腰梯形的水渠，因泥沙沉积，导致水渠截面边界呈抛物线型（图中虚线所示），则原始的最大流量与当前最大流量的比值为__1．2__.
解析
（1）作出曲线y＝和直线y＝x－2的草图（如图所示），所求面积为阴影部分的面积．,由得交点A（4,2）．
因此y＝与y＝x－2及y轴所围成的图形的面积为
[－（x－2）]dx＝（－x＋2）dx＝＝×8－×16＋2×4＝.,
（2）建立如图所示的平面直角坐标系
由抛物线过点（0，－2），（－5,0），（5,0），得抛物线的函数表达式为y＝x2－2，抛物线与x轴围成的面积S1＝dx＝，梯形面积S2＝＝16，最大流量比为S2∶S1＝6∶5.
三 定积分在物理中的应用
定积分在物理中的两个应用
（1）求变速直线运动的路程：
如果变速直线运动物体的速度为v＝v（t），那么从时刻t＝a到t＝b所经过的路程s＝v（t）dt.
（2）变力做功：
一物体在变力F（x）的作用下，沿着与F（x）相同的方向从x＝a移动到x＝b时，力F（x）所做的功是W＝F（x）dx.
【例3】
（1）一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度v（t）＝7－3t＋（t的单位：
s，v的单位：
m/s）行驶至停止．在此期间汽车行驶的距离（单位：
m）是（ C ）
A．1＋25ln5 B．8＋25ln
C．4＋25ln5 D．4＋50ln2
（2）一物体在力F（x）＝（单位：
N）的作用下沿与力F相同的方向，从x＝0处运动到x＝4（单位：
m）处，则力F（x）做的功为__36__J.
解析
（1）由v（t）＝7－3t＋＝0，可得t＝4，因此汽车从刹车到停止一共行驶了4s，此期间行驶的距离为
v（t）dt＝dt＝|,＝4＋25ln5（m）．,
（2）由题意知，力F（x）所做的功为,W＝F（x）dx＝5dx＋（3x＋4）dx＝5×2＋,＝10＋＝36J.
1．定积分dx的值为（ A ）
A． B．
C．π D．2π
解析 令y＝，则（x－1）2＋y2＝1（y≥0），由定积分的几何意义知，dx的值为区域的面积，即为.
2．计算：
（x3cosx）dx＝__0__.
解析 ∵y＝x3cosx为奇函数，∴（x3cosx）dx＝0.
3．如图，由两条曲线y＝－x2，y＝－x2及直线y＝－1所围成的平面图形的面积为！
！
！
###.
解析 由得交点A（－1，－1），B（1，－1）．
由得交点C（－2，－1），D（2，－1）．
所以所求面积
S＝2＝.
4．如图，圆O：
x2＋y2＝π2内的正弦曲线y＝sinx与x轴围成的区域记为M（图中阴影部分），随机向圆O内投一个点A，则点A落在区域M内的概率为！
！
！
###.
解析 阴影部分的面积为2sinxdx＝2（－cosx）|＝4，圆的面积为π3，所以点A落在区域M内的概率是.
易错点 定积分的几何意义不明确
错因分析：
f（x）dx不一定表示面积，也可能是面积的相反数，它可正，可负，也可为零．
【例1】求曲线f（x）＝sinx，x∈与x轴围成的图形的面积．
解析 当x∈[0，π]时，f（x）≥0，当x∈时，f（x）<0.
则所求面积S＝sinxdx＋＝－cosxππ＝2＋＝3－.
【跟踪训练1】（2018·山东淄博一模）如图所示，曲线y＝x2－1，x＝2，x＝0，y＝0围成的阴影部分的面积为（ A ）
A．|x2－1|dx B．
C．（x2－1）dx D．（x2－1）dx＋（1－x2）dx
解析 由曲线y＝|x2－1|的对称性知，所求阴影部分的面积与如下图形的面积相等，即|x2－1|dx.
课时达标 第17讲
[解密考纲]本考点主要考查利用微积分基本定理以及积分的性质求定积分、曲边梯形的面积，常与导数、概率相结合命题，通常以选择题的形式呈现，题目难度中等．
一、选择题
1．exdx的值等于（ C ）
A．e B．1－e
C．e－1 D．（e－1）
解析 exdx＝ex|＝e1－e0＝e－1，故选C．
2．dx＝（ C ）
A．e2－2 B．e－1
C．e2 D．e＋1
解析 dx＝（x2＋lnx）|＝e2.故选C．
3．求曲线y＝x2与直线y＝x所围成图形的面积，其中正确的是（ A ）
A．S＝（x－x2）dx B．S＝（x2－x）dx
C．S＝（y2－y）dy D．S＝（y－）dy
解析 由图象可得S＝（x－x2）dx.
第3题图 第4题图
4．曲线y＝与直线y＝x－1及直线x＝4所围成的封闭图形的面积为（ D ）
A．2ln2 B．2－ln2
C．4－ln2 D．4－2ln2
解析 由曲线y＝与直线y＝x－1及x＝4所围成的封闭图形，如图中阴影部分所示，故所求图形的面积为
S＝dx＝（x2－x－2lnx）|＝4－2ln2.
5．设f（x）＝（其中e为自然对数的底数），则f（x）dx的值为（ A ）
A． B．
C． D．
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