参数估计习题课.docx
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参数估计习题课
第21讲参数估计习题课
教学目的：
1.通过练习使学生进一步掌握矩估计和最大似然估计的计算方法；
2.通过练习使学生理解无偏性和有效性对于评价估计量标准的重要性；
3.通过练习使学生进一步掌握正态总体参数的区间估计和单侧置信限。
教学重点：
矩估计和最大似然估计，无偏性与有效性，正态总体参数的区间估计。
教学难点：
矩估计，最大似然估计，正态总体参数的区间估计。
教学时数：
2学时。
教学过程：
一、知识要点回顾
1.矩估计
）
用各阶样本原点矩作为各阶总体原点矩的估计,。
若有参数，则参数的矩估计为
。
2.最大似然估计
似然函数，取对数，从=0中解得的最大似然估计。
3.无偏性,有效性
当时，称为的无偏估计。
当时，称估计量比有效。
二、典型例题解析
1．设，求的矩估计。
解设
则=
）
故，所以。
2.设总体在上服从均匀分布，求a和b的矩估计。
解由均匀分布的数学期望和方差知
（1）
（2）
由
（1）解得，代入
（2）得，整理得，解得
故得的矩估计为
其中。
|
3．设总体的密度函数为，求的最大似然估计。
解设，则
4．设总体的密度函数已知），求参数的最大似然估计。
解
解得。
5.设和为参数的两个独立的无偏估计量，且假定，求常数和，使为的无偏估计，并使方差最小。
`
解由于,且知，故得c+d=1。
又由于
并使其最小，即使，满足条件c+d=1的最小值。
令d=1-c，代入得，
解得。
7.设某电子元件的寿命服从正态分布，抽样检查10个元件，得样本均值，样本标准差。
求
（1）总体均值置信水平为的置信区间；
（2）用作为的估计值，求绝对误差值不大于10（h）的概率。
解
（1）由于未知，s=14（h）,根据求置信区间的公式得
;
查表得，故总体均值置信水平为的置信区间为
（2）
=
8.设为正态总体的一个样本，确定常数的值，使为的无偏估计。
解
由于，所以有
—
由（无偏性），故有，所以。
|
二、计算题
—
1.某工厂生产滚珠.从某日生产的产品中随机抽取9个,测得直径（单位:
mm）如下:
用矩估计法估计该日生产的滚珠的平均直径和均方差.
解.设滚珠的直径为X,平均直径为μ,均方差为σ.
由矩估计法可知
而 ,
∴.
,
而=,
[
∴.
窗体底端
窗体顶端
2.设总体X的密度函数为
其中（θ＞0）,求θ的极大似然估计量.
解.设（X1,X2,…,Xn）是来自X的一样本.
由极大似然估计原理,参数θ的似然函数为:
,
|
上式两边取对数
似然方程为
解似然方程得θ的极大似然估计量是
.
窗体底端
窗体顶端
3.设总体X的密度函数为
【
求α的极大似然估计量和矩估计量.
解.设（X1,X2,…,Xn）是来自X的样本.
（1）由矩估计法
∴.
即参数α的矩估计量是
.
（2）由极大似然估计原理,参数α的似然函数为
,
上式两边取对数
似然方程为
解似然方程得到参数α的极大似然估计量是
.
—
%
（
1．设，求的矩估计。
解设
则=
故，所以。
3.一地质学家研究密歇根湖湖地区的岩石成分，随机地自该地区取100个样品，每个样品有10块石子，记录了每个样品中属石灰石的石子数。
假设这100次观察相互独立，并由过去经验知，它们都服从参数为n=10，P的二项分布。
P是该地区一块石子是石灰石的概率。
求p的极大似然估计值，该地质学家所得的数据如下
样品中属石灰石的石子数
—
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
}
10
观察到石灰石的样品个数
0
1
6
7
23
26
21
12
…
3
1
0
解：
λ的极大似然估计值为==
4.设X1，X1，…，Xn为总体的样本，求各未知参数的极大似然估计值和估计量
（1）其中c>0为已知，θ>1，θ为未知参数。
（2）其中θ>0，θ为未知参数。
解
（1）似然函数
（解唯一故为极大似然估计量）
*
（2）
。
（解唯一）故为极大似然估计量。
6.设样本来自总体，如果要以%的概率保证，试问样本容量n应取多大
解：
。
现要求n,使
即，查表得，，所以n=219，即样本容量为219。
8.设总体X具有分布律
X
1
2
3
Pk
θ2
2θ（1－θ）
（1－θ）2
其中θ（0<θ<1）为未知参数。
已知取得了样本值x1=1，x2=2，x3=1，试求θ的矩估计值和最大似然估计值。
解：
（1）求θ的矩估计值
则得到θ的矩估计值为
（2）求θ的最大似然估计值
似然函数
lnL（θ）=ln2+5lnθ+ln（1－θ）
求导
得到唯一解为
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