九年级数学上册244解直角三角形教案华东师大版整理Word文档下载推荐.docx

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1．引导学生对三角函数进行变形,如由sinA＝

，得a＝c·

sinA，c＝

等．

我们已掌握Rt△ABC的边角关系、三边关系、角角关系，利用这些关系，在知道其中的两个元素（至少有一个是边）后，就可求出其余的元素．

2．“为什么两个已知元素中至少有一条边?

”让全体学生思考，在作出准确回答后,教师请学生概括什么是解直角三角形？

在直角三角形中，由已知的边角关系求出未知的边与角，叫做解直角三角形．

3．对应练习

（1）如图①和②,根据图中的数据解直角三角形；

①　　　　　　　　　②

（2）在△ABC中，∠C为直角，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，且b＝20，∠B＝35°

，解这个三角形（精确到0。

1）．

（3）在△ABC中，∠C为直角,∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c,且c＝20，∠B＝35°

，解这个三角形（精确到0.1）．

【教学说明】

（1）引导学生用多种方法解并组织学生比较各种方法中哪些较好，选一种板演．

（2）完成之后引导学生小结“已知一边一角，如何解直角三角形?

”

答：

先求另外一角，然后选取恰当的函数关系式求另两边．计算时，利用所求的量如不比原始数据简便的话，最好用题中原始数据计算，这样误差小些，也比较可靠,防止第一步错导致一错到底．

（3）做完以上练习后归纳解直角三角形的类型：

①已知两条边;

②已知一条边和一个锐角．

（4）在解直角三角形的过程中，常会遇到近似计算，本书除特别说明外，边长保留四个有效数字，角度精确到1′.

知识运用

例:

如图所示,一棵大树在一次强烈的地震中于离地面5米处折断倒下，树顶落在离树根12米处．大树在折断之前高多少?

教师展示教材中例1（图24.4。

1）．我们在遇到实际问题时，总是首先把新问题与我们熟悉的问题联系起来,再把新问题转化成熟悉的问题来进行研究．那么,怎样把这个实际问题变成我们熟悉的图形呢？

学生动手尝试，分组交流后，举手回答．师生共同画图转化为直角三角形．

明确：

对于现实问题通常化为数学模型来处理,这里体现数学建模的思想。

解：

利用勾股定理可以求出折断倒下部分的长度为

＝13。

13＋5＝18（米）．

所以，大树在折断之前高为18米．

三、尝试练习，掌握新知

基础练习

1．在Rt△ABC中，∠C＝90°

，a、b、c是△ABC的三边，a＝5，b＝5

求c，∠A、∠B的值．

2．教材第113页练习第1题．

拓展练习

3．在锐角△ABC中，AB＝6，AC＝7，∠B＝60°

，求BC的长．

4．请同学们完成《探究在线·

高效课堂》“随堂练习”部分．

四、课堂小结，梳理新知

通过本节课的学习,你有什么收获？

本节的重要内容是解直角三角形的有关知识,解直角三角形的依据是勾股定理、两锐角互余和边角之间的关系，一般有两种类型:

已知两边,已知一边和一锐角，解题时要选择适当的关系式，尽可能使用原题数据和避免做除法运算．

五、深入练习，巩固新知

请同学们完成《探究在线·

高效课堂》“课时作业”部分．

1．教材习题24。

4第1、2题．

2．如图所示,是某单位的停车棚上方的角钢固定架，若BC＝15米,∠B＝28°

，点D、E、F将BC四等分．问制成这样的钢架共需角钢多少米？

（不考虑焊接损失，结果保留到1米）

3．如图，在△ABC中,∠A＝30°

，tanB＝

AC＝2

，求AB.

第2课时　方向角与解直角三角形

第3课时　仰角、俯角与解直角三角形

1．了解仰角、俯角、方向角的概念．

2．能根据直角三角形的知识解决与仰角、俯角、方向角有关的实际问题．

能够借助辅助线解决实际问题,掌握数形结合、抽象归纳的思想方法．

感知本节与实际生活的密切联系，认识知识应用于实践的意义．

解直角三角形在实际中的应用．

将某实际问题中的数量关系,归结为直角三角形中元素之间的关系,从而解决问题．

一、创设情境,导入新知

1．什么叫解直角三角形?

2．如图，△ABC中，∠B＝45°

，∠C＝60°

AD⊥BC于D,AD＝2，求BC的长．

1．方向角

（1）引导学生复习与方向角有关的知识．

（2）例题．

例1：

如图，A城气象部门测得今年第9号台风上午8时在A城南偏东30°

的海面生成，并以每小时40海里的速度向正北方向移动，上午10时测得台风中心移到了A城南偏东45°

的方向，若台风中心120海里的范围内将受台风影响，问A城是否会受9号台风影响？

分析：

A城是否会受台风影响，就是A城到台风移动路线BC的距离是否大于120海里．

解：

过A作AE⊥BC于E，设AE＝EC＝x,则BE＝

x，

∵BC＝2×

40＝80，∴BC＝BE－CE＝（

－1）x＝80.

∴x＝40（

＋1）≈109。

3〈120.

∴A城会受台风影响．

【教学说明】通过例题，学会解决与方向角有关的问题．

2．俯角、仰角

（1）几个概念：

①铅垂线；

②水平线；

③视线；

④仰角：

视线在水平线的上方，视线与水平线的夹角；

⑤俯角：

视线在水平线的下方,视线与水平线的夹角．

说明：

学生阅读教材“读一读”．教学时，可以让学生仰视灯或俯视桌面以体会仰角与俯角．

（2）例题

例2:

如图，为了测量电线杆的高度AB，在离电线杆22。

7米的C处，用高1.20米的测角仪CD测得电线杆顶端B的仰角α＝22°

求电线杆AB的高．（精确到0。

1米）

在Rt△BDE中，

BE＝DE×

tanα＝AC×

tanα＝22.7×

tan22°

≈9。

17，

∴AB＝BE＋AE＝BE＋DC＝9。

17＋1.20≈10.4（米）．

答:

电线杆的高度约为10.4米．

（3）练习

教材第114页练习第1题．

1.如图,小雅家（图中点O处）门前有一条东西走向的公路,经测得有一水塔（图中点A处）在她家北偏东60度500m处,那么水塔所在的位置到公路的距离AB是（　　）

A．250m　　　　　B．250

m

C。

m　D．250

m

2．教材第114页练习第2题．

3。

如图,某数学兴趣小组在活动课上测量学校旗杆高度，已知小明的眼睛与地面的距离AB是1.7m，看旗杆顶部M的仰角为45°

；

小红的眼睛与地面的距离CD是1.5m,看旗杆顶部M的仰角为30°

.两人相距28米且位于旗杆两侧（点B、N、D在同一条直线上）．

请求出旗杆MN的高度．（参考数据：

≈1。

4，

7，结果保留整数）

【教学说明】完成上述问题后,让学生总结解决与仰角、俯角、方向角有关的问题时,常用以下两个基本图形．

其中第一个图中满足：

DE＝

＋

，第二个图中满足DE＝

－

。

可让学生推导出这两个式子．

通过本节课的学习，你有什么收获？

请学生总结：

通过学习两个例题及练习,初步学会把一些实际问题转化为数学问题,通过解直角三角形来解决，具体来说，本节课通过让学生把实际问题转化为数学问题，利用正切解直角三角形，从而把问题解决．

本课涉及一种重要数学思想：

转化思想．

4第3、4题．

2.在我市迎接奥运圣火的活动中,某校教学楼上悬挂着宣传条幅DC，小丽同学在点A处,测得条幅顶端D的仰角为30°

再向条幅方向前进10米后，又在点B处测得条幅顶端D的仰角为45°

，已知测点A、B和C离地面高度都为1.44米,求条幅顶端D点距离地面的高度．（计算结果精确到0.1米，参考数据：

≈1.414，

≈1.732）

3．如图，在小山的西侧A处有一热气球,以30米/分钟的速度沿着与垂直方向所成夹角为30°

的方向升空，40分钟后到达C处，这时热气球上的人发现，在A处的正东方向有一处着火点B，十分钟后,在D处测得着火点B的俯角为15°

求热气球升空点A与着火点B的距离．（结果保留根号，参考数据:

sin15°

＝

cos15°

tan15°

＝2－

）

第4课时　利用坡角或坡比解直角三角形

会运用解直角三角形有关知识解决与坡度、坡角有关的实际问题．

逐步培养学生分析问题、解决问题的能力；

渗透数形结合的数学思想和方法．

进一步感知本节与实际生活的密切联系，认识知识应用于实践的意义．

解决有关坡度的实际问题．

理解坡度的有关术语．

前面我们研究了与仰角、俯角、方向角有关的问题，今天研究与坡度、坡角有关的问题．

1．坡度、坡角的概念

展示教材中“读一读”，你看懂图24.4.5了吗？

几个概念：

（1）铅垂高度h;

（2）水平长度l;

（3）坡度（坡比）i：

坡面的铅垂高度h和水平长度l的比i＝

（4）坡角α:

坡面与水平面的夹角α;

i＝

＝tanα。

显然，坡度i越大,坡角α就越大，坡面就越陡．

2．例题

如图,在山坡上种树，要求株距（相邻两树间的水平距离）是5.5m，测得斜坡的倾斜角是24°

，求斜坡上相邻两树间的坡面距离是多少（精确到0.1m）．

（1）例题中出现许多术语--株距、倾斜角，这些概念学生未接触过，比较生疏,而株距概念又是学生易记错之处，因此教师最好准备教具：

用木板钉成一斜坡，再在斜坡上钉几个铁钉，利用这种直观教具更容易说明术语，符合学生的思维特点．

（2）引导学生将实际问题转化为数学问题画出图形（上图中的第二个图）．已知:

Rt△ABC中,∠C＝90°

，AC＝5。

5m，∠A＝24°

，求AB。

（3）学生运用解直角三角形知识完全可以独立解决例1。

教师可请一名同学上黑板做,其余同学在练习本上做,教师巡视．

在Rt△ABC中,cosA＝

∴AB＝

≈6。

0（米）．

斜坡上相邻两树间的坡面距离约是6.0米．

教师引导学生评价黑板上的解题过程，做到全体学生都掌握．

3．练习：

（1）沿山坡前进10米，相应升高5米,则山坡坡度________，坡角________．

（2）若一斜坡的坡面的余弦为

，则坡度为______．

（3）堤坝横断面是等腰梯形．（如图所示）

①若AB＝10，CD＝4，高h＝4，则坡度i＝______，AD＝______；

②若AB＝10，CD＝4，i＝

，则h＝______．

例2：

如图，一段路基的横断面是梯形，高为4。

2米，上底的宽是12.51米，路基的坡面与地面的倾角分别是32°

和28°

.求路基下底的宽．（精确到0。

先让学生思考：

在遇到梯形时怎么把它分割成能够解决的图形呢？

解:

作DE⊥AB，CF⊥AB，垂足分别为E、F.

由题意可知DE＝CF＝4。

2（米）,CD＝EF＝12。

51（米）．

在Rt△ADE中，

∵i＝

＝tan32°

，∴AE＝

≈6.72（米）．

在Rt△BFC中，同理可得BF＝

≈7。

90（米）．

∴AB＝AE＋EF＋BF≈6.72＋12。

51＋7.90≈27。

1（米）．

答：

路基下底的宽约为27.1米．

例3：

沿水库拦水坝的背水坡，将坝顶加宽2m，坡度由原来的1∶2改为1∶2.5，已知坝高6m，坝长50m，求：

（1）加宽部分横断面的面积；

（2）完成这一工程需要的土方是多少？

分析：

加宽部分的横断面AFEB为梯形，故通过作梯形的高构造直角三角形,利用坡度的变化求解．

解:

（1）设梯形ABCD为原大坝的横截面图，梯形AFEB为加宽部分，

过A、F分别作AG⊥BC于G，FH⊥BC于H.

在Rt△ABG中，由iAB＝1∶2,AG＝6,得BG＝12,

在Rt△EFH中，由iEF＝1∶2。

5，FH＝6，得EH＝15，

∴EB＝EH－BH＝EH－（BG－HG）＝15－（12－2）＝5，

∴S四边形AFEB＝

（2＋5）×

6＝21m2。

（2）V＝50×

S四边形AFEB＝21×

50＝1050m3。

【教学说明】例3可根据学生情况、时间选择讲解．

1．在坡角为30°

的斜坡上两树间的水平距离AC为2m,则两树间的坡面距离AB为（　　）

　A．4m　　　　　　　　B。

m

　C.

mD．4

2．某商场门前的台阶截面如图所示．已知每级台阶的宽度（如CD）均为30cm，每级台阶高度（如BE）均为20cm.为了方便残疾人行走，商场决定将其中一个门的门前台阶改造成供轮椅行走的斜坡，并且设计斜坡的倾斜角为9°

，请计算从斜坡起点A到台阶前的点B的水平距离．（参考数据：

sin9°

≈0。

16。

cos9°

99，tan9°

16）

3．如图，水库堤坝的横断面成梯形ABCD,DC∥AB。

迎水坡AD长为2

米，上底DC长为2米，背水坡BC长也为2米，又测得∠DAB＝30°

∠CBA＝60°

，求下底AB的长．

答案:

过D、C分别作DE⊥AB于E，CF⊥AB于F.

在Rt△ADE中，∠A＝30°

，AD＝2

∴DE＝ADsin30°

，AE＝ADcos30°

＝3。

在Rt△CBF中，BF＝BCcos60°

＝1，

∴AB＝AE＋EF＋BF＝3＋2＋1＝6（米）．

下底的长为6米．

教师请学生总结：

1．在这类实际应用题中,都是直接或间接地把问题放在直角三角形中,虽然有一些专业术语，但要明确各术语指的什么元素,要善于发现直角三角形，用三角函数等知识解决问题．

2．利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是:

（1）将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，转化为解直角三角形的问题）；

（2）根据条件的特点，适当选用锐角三角函数去解直角三角形；

（3）得到数学问题的答案;

（4）得到实际问题的答案．

1.教材第116页练习．

2.如图，梯形ABCD是拦水坝的横断面图（图中i＝1∶

是指坡面的铅直高度DE与水平宽度CE的比）,∠B＝60°

，AB＝6，AD＝4，求拦水坝的横断面ABCD的面积．（结果保留三位有效数字．参考数据：

≈1.732，

414）