1999全国高考数学文科试题文档格式.docx
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元素在映射f下的象,且对任意的a∈A,在B中和它对应的元素是|a|,则集合B中元素
的个数是
(A)4 (B)5(C)6(D)7
(3)若函数y=f(x)的反函数是y=g(x),f(a)=b,ab≠0,则g(b)等于
(A)a (B)a-1 (C)b(D)b-1
(4)函数f(x)=Msin(ωx+ρ)(ω>
0)在区间[a,b]上是增函数,且f(a)=-M,f(b)=M,
则函数g(x)=Mcos(ωx+ρ)在[a,b]上
(A)是增函数 (B)是减函数
(C)可以取得最大值M (D)可以取得最小值-M
(5)若f(x)sinx是周期为∏的奇函数,则f(x)可以是
(A)sinx (B)cosx(C)sin2x (D)cos2x
(6)曲线x2+y2+2
x-2
y=0关于
(A)直线x=轴对称 (B)直线y=-x轴对称
(C)点(-2,
)中心对称 (D)点(-
,0)中心对称
(7)若干毫升水倒人底面半径为2cm的圆柱形器皿中,量得水面的高为6cm,若将这些水倒
人轴截面是正三角形的倒圆锥形器皿中,则水面的高度是
(A)6
cm (B)6cm(C)2
cm (D)3
cm
(8)若(2x+
)3=a0+a1x+a2x2+a3x3,则(a0+a2)2-(a1+a3)2的值为
(A)-1 (B)l (C)0(D)2
(9)直线
x+y-2
=O截圆x2+y2=4得的劣弧所对的圆心角为
(A)
(B)
(C)
(D)
(10)如图,在多面体ABCDEF中,已知面ABCD是边长为3的正方形,
EF∥AB,EF=3/2,EF与面AC的距离为2,则该多面体的体积为
(A)9/2(B)5(C)6(D)15/2
(11)若sina>tga>ctga(-
<a<
),则a∈
(A)(-
,-
)(B)(-
,0)(C)(0,
)(D)(
,
)
(12)如果圆台的上底面半径为5,下底面半径为R,中截面把圆台分为上、下两个圆台,它们的
侧面积的比为1:
2,那么R=
(A)10 (B)15 (C)20 (D)25
(13)给出下列曲线:
①4x+2y-1=0②x2+y2=3③x2/2+y2=1④x2/2-y2=1
其中与直线r=-2x-3有交点的所有曲线是
(A)①③ (B)②④ (C)①②③ (D)②③④
(14)某电脑用户计划使用不超过500元的资金购买单价分别为60元、70元的单片软件和盒装
磁盘根据需要,软件至少买3片,磁盘至少买2盒则不同的选购方式共有
(A)5种 (B)6种 (C)7种 (D)8种
第II卷(非选择题共90分)
1.第II卷共6页,用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷中。
2.答卷前将密封线内的项目填写清楚。
二,填空题:
本大题共4小题;
每小题4分,共16分,把答案填在题中横线
(15)设椭圆(x2/a2)+(y2/b2)=1(a>
b>
0)的右焦点为F1,右准线为l1若过F1且垂直于x轴的弦的长
等于点F1到l1的距离,则椭圆的离心率是_______
(16)在一块并排10垄的田地中,选择2垄分别种植A,B两种作物,每种作物种植一垄,为有利于作
物生长。
要求A、B两种作物的问隔不小于6垄,则不同的选垄方法共有_____种(用数字作答)
(17)若正数a、b满足ab=a+b+3,则ab的取值范围是__________
(18)α、β是两个不同的平面,m、n是平面α及β之外的两条不同直线,给出四个论断:
①m⊥n②α⊥β③n⊥β④m⊥α
以其中三个论断作为条件,余下一个论断作为结论,写出你认为正确的一个命题:
______________________________________________________________________
三.解答题:
本大题共6小题;
共74分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
(19)(本小题满分10分)
解方程
-3lgx+4=0
(20)(本小题满分12分)
数列{an}的前n项和记为Sn,已知an=5Sn-3(n∈N)求
(al+a3+…+a2n-1)的值。
(21)(本小题满分12分)
设复数z=3cosθ+isinθ.求函数y=tg(θ-argz)(0<
θ<
)的最大值以及对应的θ值
(22)(本小题满分12分〕
如图,已知正四棱柱ABCD—A1B1C1D1,点E在棱D1D上,截面EAC∥D1B,且面EAC与底面ABCD所
成的角为45°
,AB=a
(Ⅰ)求截画EAC的面积;
(Ⅱ)求异面直线A1B1与AC之间的距离;
(Ⅲ〕求三棱B1—EAC的体积。
(23)(本小题满分14分)
下图为一台冷轧机的示意图。
冷轧机由若干对轧辊组成,带钢从一端输入,经过各对轧辊逐步
减薄后输出。
(1)输入带钢的厚度为a,输出带钢的厚度为β,若每对轧辊的减薄率不超过r0,问冷轧机至少需
要安装多少对轧辊?
(Ⅱ)已知一台冷轧机共有4对减薄率为20%的轧辊,所有轧辊周长均为1600mm,若第k对轧辊有缺陷,
每滚动一周在带钢上压出一个疵点,在冷轧机输出的带钢上,疵点的间距为Lk,为了便于检
修,请计算L1、L2、L3并填入下表(轧钢过程中,带钢宽度不变,且不考虑损耗)。
轧辊序号
1
2
3
4
疵点间距Lk(单位:
mm)
1600
(24)(本小题满分14分)
如图,给出定点A(a,0)(a>0,a≠1)和直线l:
x=-LB是直线l上的动点,∠BOA的
角平分线交AB于点C,求点C的轨迹方程,并讨论方程表示的曲线类型与a值的关系。
1999年普通高等学校招生全国统一考试
数学试题参考答案及评分标准(文史类)
说明:
一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力,并给了一种或几种解法供参考,如果考生的解法
与本解答不同,可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则。
二、对计算题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后继部分的解答未改变该题的内容和难,
可视影响的程度决定后继部分的给分,但不得超过该部分解答应得分数的一半;
如果后继部分的解
答有较严重的错误,就不再给分。
三、解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数。
四、只给整数分数,选择题和填空题不给中间分。
本题考查基本知识和基本运算。
第
(1)-第(10)题每小题4分,第(11)-(14)
题每小题5分,满分60分。
(1)C
(2)A(3)A(4)C(5)B
(6)B(7)B(8)A(9)C(10)D
(11)B(12)D(13)D(14)C
二.填空题:
本题考查基本知识和基本运算,每小题4分,满分16分
(15)1/2
(16)12
(17)[9,+∞]
(18)m⊥a,n⊥β,a⊥β==>
m⊥n或m⊥n,m⊥a,m⊥β==>
a⊥β
三.解答题
(19)本小题主要考查对数方程、无理方程的解法和运算能力。
满分10分。
解:
设 (31gx-2)1/2=y, 原方程化为
y-y2+2=0.----4分
解得y=-1,y=2.----6分
因为(31gx-2)1/2≥0, 所以将y=-1舍去,
由(31gx-2)1/2=2
得lgx=2,
所以x=100.----9分
经检验x=100为原方程的解.----10分
(20)本小题主要考查等比数列和数列极限等基础知识,满分12分。
解:
由Sn=a1+a2+…+an知
an=Sn-Sn-1(n≥2),
a1=S1,----2分
由已知an=5Sn-3得
an-1=5Sn-1-3.----4分
于是an-an-1=5(Sn-Sn-1)=5an,
所以an=-(an-1/4).----6分
由a1=5S1-3,
得a1=3/4.
所以,数列{an}是首项a1=3/4,公比q=-1/4的等比数列.----8分
由此知数列a1,a3,a5,…,a2n-1,……是首项为a1=3/4,公比为(-1/4)2的等比数列。
所以limn→∞(a1+a3+a5+…+a2n-1)=(3/4)/[1-(-1/4)2]=4/5.12分
(21)本小题主要考查复数的基本概念、三角公式和不等式等基本知识,考查综合运用所学数学
知识解决问题的能力,满分12分。
由0<
π/2得tgθ>
0.
由z=3cosθ+isinθ得tg(argz)=sinθ/3cosθ=1/3tgθ.----3分
故y=tg(θ-argz)
=(tgθ-1/3tgθ)/(1+1/3tg2θ)----6分
=2/[(3/tgθ)+tgθ].
∵(3/tgθ)+tgθ≥2(3)1/2,
∴2/[(3/tgθ)+tgθ]≤(3)1/2/3.----9分
当且仅当3/tgθ=tgθ(0<
π/2)时,即tgθ=(3)1/2时,上式取等号。
所以当θ=π/3时,函数y取得最大值(3)1/2/3。
----12分。
(22)本小题主要考查空间线面关系,二面角和距离的概念,逻辑思维能力、空间想象能力及运算
能力,满分12分。
(1)解:
如图,连结DB交AC于O,连结EO。
∵底面ABCD是正方形
∴DO⊥AC。
又∵ED⊥底面AC,
∴EO⊥AC。
∴∠EOD是面EAC与底面AC所成二面角的平面角,----2分
∴∠EOD=45°
。
DO=
(2)1/2/2a,AC=
(2)1/2a,Eo=[
(2)1/2a·
sec45°
]/2=a.
故S△EAC=
(2)1/2×
a2/24分
(II)解:
由题设ABCD-A1B1C1D1是正四棱柱,得A1A⊥底面AC,A1A⊥AC。
又A1A⊥A1B1,
∴A1A是异面直线A1B1与AC间的公垂线。
----6分
∵D1B∥面EAC,且面D1BD与面EAC交线为EO,
∴D1B∥EO。
又O是DB的中点,
∴E是D1D的中点,D1B=2ED=2a。
异面直线A1B1与AC间的距离为
(2)1/2a。
----8分
(III)解法一:
如图,连结D1B1。
∵D1D=DB=
(2)1/2a,
∴BDD1B1是正方形。
连结B1D交D1B于P,交EO于Q。
∵B1D⊥D1B。
EO∥D1B,
∴B1D⊥EO
又AC⊥EO,AC⊥ED,
∴AC⊥面BDD1B1
∴B1D⊥AC
∴B1D⊥面EAC。
∴B1Q是三棱锥B1-EAC的高。
----10分
由DQ=PQ,得B1Q=3B1D/4=3a/2。
∴VB1-EAC=(1/3)·
[
(2)1/2a2/2]·
(3/20=
(2)1/2·
a3/4.
所以三棱锥了-EAC的体积是
(2)1/2·
a3/4.----12分
解法二:
连结B1O,则VB1-EAC=2VA-EOB1。
∵AO⊥面BDD1B1,
∴AO是三棱锥A-EOB1的高,AO=
(2)1/2·
a/2
在正方形BDD1B1中,E、O分别是D1D、DB的中点(如右图),
则S△EOB1=3a2/4.
∴VB1-EAC=2×
(1/30×
(3a2/4)×
[
(2)1/2a/2}=
(2)1/2·
所以三棱锥B1-EAC的体积是
(2)1/2·
a3/4.----12分。
(23)本小题主要考查等比数列,对数计算等基本知识,考查综合运用数学知识和方法解决实际问题
的能力,满分14分。
(I)解:
厚度为a的带钢经过减薄率均为ro的n对轧辊后厚度为a(1-ro)n.
为使出带钢的厚度不超过β,冷轧机的轧辊数(以对为单位)应满足
a(1-ro)n≤β,
即(1-ro)n≤β/a ----4分
由于(1-ro)n>
O,β/a>
0,对上式两端取对数,得
nlg(l-ro)≤lg(β/a).
由于lg(1-ro)<
0,
所以n≥(lgβ-lga)/[lg(1-ro)].
因此,至少需要安装不小于(lgβ-lga)/[lg(1-ro)]的整数对轧辊----7分
(II)解法一:
第k对轧辊出口处疵点间距离为轧辊周长,在此处出口的两疵点间带钢的体积为
1600a×
(1-r)k×
宽度(其中r=20%),
而在冷轧机出口处两疵点间带钢的体积为
Lk×
a(1-r)4×
宽度。
因宽度相等,且无损耗,由体积相等得
1600·
a(1-r)k=Lk·
a(1-k)4(r=20%),
即Lk=1600·
0.8K-4.----10分
由此得l3=2000(mm),
l2=2500(mm),
l1=3125mm)
填表如下:
轧辊序号K
1
2
3
4
疵点间距LK(mm)
3125
2500
2000
----14分
第3对轧辊出口疵点间距为轧辊周长,在此处出口的两疵点间带钢体积与冷轧机出口处两疵点
间带钢体积相等,因宽度不变,有:
1600=L3·
(1-0.2),
所以L3=1600/0.8=2000(mm).----10分
同理L2=L3/0.8=2500(mm).
L1=L2/0.8=3125(mm).
填表如下:
----14分
(24)本小题主要考查曲线与方程,直线和圆锥曲线等基础知识,以及求动点轨迹的基本技能和综合
运用数学知识解决问题的能力。
满分14分。
解法一:
依题意,记B(-1,b)(b∈R),则直线OA和OB的方程分别为y=0和y=-bx,
设点C(x,y),则有0≤x<
a,由OC平分∠AOB,知点C到OA、OB距离相等,根据点到直线
的距离公式得
|y|=|y+bx|/
①----4分
依题设,点C在直线AB上,故有
y=[-b/(1+a)](x-a).----6分
由x-a≠0,得b=-(1+a)y/(x-a).②
将②式代入①式得
y2[1+(1+a)2y2/(x-a)2]=[y-(1+a)xy/x-a]2,
整理得
y2[(1-a)x2-2ax+(1+a)y2]=0.----9分
若y≠0,则(1-a)x2-2as+(1+a)y2=0(0<
x<
a);
若y=0,则b=0,∠AOB=π,点C的坐标为(0,0),满足上式,
综上得点C的轨迹方程为
(1-a)a2-2ax+(1+A)y2=0(0≠x<
a),----10分
∵a≠1,
∴[x-a/(1-a)]2/[a/(1-a)]2+y2/[a2/(1-a2)]=1(0≤x<
a).③----12分
由此知,当〔」「工时,方程③表示椭圆孤段;
当a>
1时,方程③表示双曲线一支的弧段。
----14分
解法二:
如图,设D是l与x轴的交点,过点C作CE⊥x轴,E是垂足。
(1)当|BD|≠0时,设点C(x,y),则0<
ay≠0.
由CE∥BD得|BD|=|CE|·
|DA|/|EA|=|y|/a-x(1+a).----3分
∵∠COA=∠COB=∠COD-∠BOD=π-∠COA-∠BOD,
∴2∠COA=π-∠BOD,
∵tg(2COA)=2tg∠COA/(1-tg2∠COA),tg(π-∠BOD)=-tg∠BOD,
tg∠COA=|y|/x,tg∠BOD=∠|BD|/|OD|=|y|/a-x(1+a).
∴[2·
|y|/x]/[1-(y2/x2)]=[|y|/(a-x)](1+a),
整理得(1-a)x2-2ax+(1+a)y2=0(0<
a).
(II)当|BD|=0时,∠BOA=π,则点C的坐标为(0,0),满足上式。
综合(I)(II),得点C的轨迹方程为
(1-a)x2-2ax+(1+a)y2=0(0≤x<
a)----10分
以下同解法一。