高中数学必修1第一章 集合与常用逻辑用语152Word格式.docx

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∃x∈M，綈p（x），全称量词命题的否定是存在量词命题．

跟踪训练1　写出下列命题的否定，并判断其否定的真假：

（1）p：

不论m取何实数，方程x2＋mx－1＝0必有实根；

（2）p：

∀x∈N,2x>

解　

（1）綈p：

存在一个实数m，使方程x2＋mx－1＝0没有实数根．因为该方程的判别式Δ＝m2＋4>

0恒成立，故綈p为假命题．

（2）綈p：

∃x∈N,2x≤0.綈p为假命题．

二、存在量词命题的否定

例2　写出下列命题的否定．

（1）有些四边形有外接圆；

（2）某些平行四边形是菱形；

（3）∃x∈R，x2＋1<

解　

（1）所有的四边形都没有外接圆；

（2）所有平行四边形都不是菱形；

（3）∀x∈R，x2＋1≥0.

反思感悟　对存在量词命题进行否定时，首先把存在量词改为全称量词，然后对判断词进行否定，可以结合命题的实际意义进行表述．

跟踪训练2　写出下列存在量词命题的否定，并判断其否定的真假：

（1）有些实数的绝对值是正数；

（2）∃x，y∈Z，使得

x＋y＝3.

解　

（1）命题的否定：

“不存在一个实数，它的绝对值是正数”，也即“所有实数的绝对值都不是正数”．由于|－2|＝2，因此命题的否定为假命题．

（2）命题的否定：

“∀x，y∈Z，

x＋y≠3”．

∵当x＝0，y＝3时，

x＋y＝3，

∴命题的否定是假命题．

三、全称量词命题、存在量词命题的综合应用

例3　对于任意实数x，不等式x2＋4x－1>

m恒成立．求实数m的取值范围．

解　令y＝x2＋4x－1，x∈R，

则y＝（x＋2）2－5，

因为∀x∈R，不等式x2＋4x－1>

m恒成立，

所以只要m<

－5即可．

所以所求m的取值范围是{m|m<

－5}．

延伸探究

本例条件变为：

“存在实数x，使不等式－x2＋4x－1>

m有解”，求实数m的取值范围．

解　令y＝－x2＋4x－1，

因为y＝－x2＋4x－1＝－（x－2）2＋3.

又因为∃x∈R，－x2＋4x－1>

m有解，

所以只要m小于函数的最大值即可，

所以所求m的取值范围是{m|m<

3}．

反思感悟　求解含有量词的命题中参数范围的策略

（1）对于全称量词命题“∀x∈M，a>

y（或a<

y）”为真的问题，实质就是不等式恒成立问题，通常转化为求函数y的最大值（或最小值），即a>

ymax（或a<

ymin）．

（2）对于存在量词命题“∃x∈M，a>

y）”为真的问题，实质就是不等式能成立问题，通常转化为求函数y的最小值（或最大值），即a>

ymin（或a<

ymax）．

跟踪训练3　若命题p：

∃x∈R，x2＋2x＋a≤0是真命题，则实数a的取值范围是（　　）

A．a≥1B．a>

1C．a<

1D．a≤1

答案　D

解析　命题p：

∃x∈R，x2＋2x＋a≤0是真命题，则Δ≥0，即a≤1.故选D.

1．命题“∀x∈R，|x|＋x2≥0”的否定是（　　）

A．∀x∈R，|x|＋x2<

B．∀x∈R，|x|＋x2≤0

C．∃x∈R，|x|＋x2<

D．∃x∈R，|x|＋x2≥0

答案　C

解析　条件∀x∈R的否定是∃x∈R，结论“|x|＋x2≥0”的否定是“|x|＋x2<

0”．

2．命题“存在实数x，使x>

1”的否定是（　　）

A．对任意实数x，都有x>

1

B．不存在实数x，使x≤1

C．对任意实数x，都有x≤1

D．存在实数x，使x≤1

解析　利用存在量词命题的否定是全称量词命题求解．

“存在实数x，使x>

1”的否定是“对任意实数x，都有x≤1”．故选C.

3．关于命题p：

“∀x∈R，x2＋1≠0”的叙述，正确的是（　　）

A．綈p：

∃x∈R，x2＋1≠0

B．綈p：

∀x∈R，x2＋1＝0

C．p是真命题，綈p是假命题

D．p是假命题，綈p是真命题

“∀x∈R，x2＋1≠0”的否定是“∃x∈R，x2＋1＝0”．所以p是真命题，綈p是假命题．

4．命题“同位角相等”的否定为________．

答案　有的同位角不相等

解析　全称量词命题的否定是存在量词命题，故否定为：

有的同位角不相等．

5．命题：

“有的三角形是直角三角形”的否定是：

________.

答案　所有的三角形都不是直角三角形

解析　命题：

“有的三角形是直角三角形”是存在量词命题，其否定是全称量词命题，按照存在量词命题改为全称量词命题的规则，即可得到该命题的否定．

1．知识清单：

（1）全称量词命题、存在量词命题的否定．

（2）命题真假的判断．

2．方法归纳：

转化思想．

3．常见误区：

否定不唯一，命题与其否定的真假性相反．

1．若p：

∀x∈R，|x|≤1，则（　　）

∃x∈R，|x|>

∀x∈R，|x|>

C．綈p：

∃x∈R，|x|≥1

D．綈p：

∀x∈R，|x|≥1

答案　A

解析　根据全称量词命题的否定为存在量词命题可知，∀x∈R，|x|≤1的否定为：

1，故选A.

2．命题“∀x>

0，都有x2－x＋3≤0”的否定（　　）

A．∃x>

0，使得x2－x＋3≤0

B．∃x>

0，使得x2－x＋3>

C．∀x>

0，都有x2－x＋3>

D．∀x≤0，都有x2－x＋3>

答案　B

解析　命题“∀x>

0，都有x2－x＋3≤0”的否定是：

∃x>

3．命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是（　　）

A．任意一个有理数，它的平方是有理数

B．任意一个无理数，它的平方不是有理数

C．存在一个有理数，它的平方是有理数

D．存在一个无理数，它的平方不是有理数

解析　量词“存在”改为“任意”，结论“它的平方是有理数”否定后为“它的平方不是有理数”，故选B.

4．命题p：

∀x∈N，x3>

x2的否定形式綈p为（　　）

A．∀x∈N，x3≤x2B．∃x∈N，x3>

x2

C．∃x∈N，x3<

x2D．∃x∈N，x3≤x2

x2的否定形式是存在量词命题；

∴綈p：

“∃x∈N，x3≤x2”．

故选D.

5．已知命题p：

实数的平方是非负数，则下列结论正确的是（　　）

A．命题綈p是真命题

B．命题p是存在量词命题

C．命题p是全称量词命题

D．命题p既不是全称量词命题也不是存在量词命题

实数的平方是非负数，是真命题，故綈p是假命题，命题p是全称量词命题，故选C.

6．命题“∃x∈N，x2>

1”的否定是________．

答案　∀x∈N，x2≤1

解析　由题意，根据存在量词命题与全称量词命题的关系可得，命题“∃x∈N，x2>

1”的否定为“∀x∈N，x2≤1”．

7．命题：

∃x∈R，x2－x＋1＝0的否定是____________．

答案　∀x∈R，x2－x＋1≠0.

解析　因为存在量词命题的否定是全称量词命题，

所以∃x∈R，x2－x＋1＝0的否定是：

∀x∈R，x2－x＋1≠0.

8．命题“任意一个x∈R，都有x2－2x＋4≤0”的否定是________．

答案　存在x∈R，使得x2－2x＋4>

解析　原命题为全称量词命题，其否定为存在量词命题，所以其否定为：

存在x∈R，使得x2－2x＋4>

9．写出下列命题的否定，并判断它们的真假．

（1）∀x∈R，x2>

0；

（2）∃x∈R，x2＝1；

（3）∃x∈R，x是方程x2－3x＋2＝0的根；

（4）等腰梯形的对角线垂直．

∃x∈R，使x2≤0，因为x＝0时，02＝0，所以命题的否定为真．

∀x∈R，使x2≠1，

因为x＝1时，x2＝1，所以命题的否定为假．

（3）命题的否定：

∀x∈R，x不是方程x2－3x＋2＝0的根，因为x＝1时，12－3×

1＋2＝0，即x＝1为方程的根，所以命题的否定为假．

（4）命题的否定：

存在一个等腰梯形的对角线不垂直，是真命题．

10．命题p是“对某些实数x，若x－a>

0，则x－b≤0”，其中a，b是常数．

（1）写出命题p的否定；

（2）当a，b满足什么条件时，命题p的否定为真？

解　

（1）命题p的否定：

对任意实数x，若x－a>

0，则x－b>

（2）b≤a.

11．下列命题的否定是真命题的是（　　）

A．三角形角平分线上的点到两边的距离相等

B．所有平行四边形都不是菱形

C．任意两个等边三角形都是相似的

D．3是方程x2－9＝0的一个根

解析　A的否定：

存在一个三角形，它的角平分线上的点到两边的距离不相等，假命题，

B的否定：

有些平行四边形是菱形，真命题，

C的否定：

有些等边三角形不相似，假命题，

D的否定：

3不是方程x2－9＝0的一个根，假命题，

故选B.

12．已知命题“∃x∈R，使4x2＋（a－2）x＋

≤0”是假命题，则实数a的取值范围是（　　）

A．a<

0B．0≤a≤4

C．a≥4D．0<

a<

4

解析　∵命题“∃x∈R，使4x2＋（a－2）x＋

≤0”是假命题，∴命题“∀x∈R，使4x2＋（a－2）x＋

>

0”是真命题，即判别式Δ＝（a－2）2－4×

4×

<

0，即Δ＝（a－2）2<

4，则－2<

a－2<

2，即0<

4，故选D.

13．命题∀x∈R，x2－x＋3>

0的否定是________，命题∃x∈R，x2＋1<

0的否定是________．

答案　∃x∈R，x2－x＋3≤0　∀x∈R，x2＋1≥0

14．已知命题p：

任意x∈R，x2＋2ax＋a>

0.若命题p是假命题，则实数a的取值范围是____________．

答案　{a|a≤0，或a≥1}

解析　若命题p为真命题，则Δ＝4a2－4a<

0，

∴0<

1，所以当p为假命题时，a的取值范围是a≤0或a≥1.

15．命题“∀x∈R，∃n∈N*，使得n≥2x＋1”的否定形式是（　　）

A．∀x∈R，∃n∈N*，使得n<

2x＋1

B．∀x∈R，∀n∈N*，使得n<

C．∃x∈R，∃n∈N*，使得n<

D．∃x∈R，∀n∈N*，使得n<

解析　由题意可知，全称量词命题“∀x∈R，∃n∈N*，使得n≥2x＋1”的否定形式为存在量词命题“∃x∈R，∀n∈N*，使得n<

2x＋1”，故选D.

16．已知命题“存在x∈R，ax2－2ax－3>

0”是假命题，求实数a的取值范围．

解　因为命题“存在x∈R，ax2－2ax－3>

0”的否定为“对于任意x∈R，ax2－2ax－3≤0恒成立”，

由命题真，其否定假；

命题假，其否定真可知该命题的否定是真命题．

事实上，当a＝0时，对任意的x∈R，不等式－3≤0恒成立；

当a≠0时，借助二次函数的图象（图略），数形结合，易知不等式ax2－2ax－3≤0恒成立的等价条件是a<

0且其判别式Δ＝4a2＋12a≤0，

即－3≤a<

综上知，实数a的取值范围是{a|－3≤a≤0}．