1、xM,綈p(x),全称量词命题的否定是存在量词命题跟踪训练1写出下列命题的否定,并判断其否定的真假:(1)p:不论m取何实数,方程x2mx10必有实根;(2)p:xN,2x解(1)綈p:存在一个实数m,使方程x2mx10没有实数根因为该方程的判别式m240恒成立,故綈p为假命题(2)綈p:xN,2x0.綈p为假命题二、存在量词命题的否定例2写出下列命题的否定(1)有些四边形有外接圆;(2)某些平行四边形是菱形;(3)xR,x21m恒成立求实数m的取值范围解令yx24x1,xR,则y(x2)25,因为xR,不等式x24x1m恒成立,所以只要m5即可所以所求m的取值范围是m|mm有解”,求实数m的
2、取值范围解令yx24x1,因为yx24x1(x2)23.又因为xR,x24x1m有解,所以只要m小于函数的最大值即可,所以所求m 的取值范围是m|my(或aymax(或ay)”为真的问题,实质就是不等式能成立问题,通常转化为求函数y的最小值(或最大值),即aymin(或a1 Ca1 Da1答案D解析命题p:xR,x22xa0是真命题,则0,即a1.故选D.1命题“xR,|x|x20”的否定是()AxR,|x|x2BxR,|x|x20CxR,|x|x2DxR,|x|x20答案C解析条件xR的否定是xR,结论“|x|x20”的否定是“|x|x21”的否定是()A对任意实数x,都有x1B不存在实数x
3、,使x1C对任意实数x,都有x1D存在实数x,使x1解析利用存在量词命题的否定是全称量词命题求解“存在实数x,使x1”的否定是“对任意实数x,都有x1”故选C.3关于命题p:“xR,x210”的叙述,正确的是()A綈p:xR,x210B綈p:xR,x210Cp是真命题,綈p是假命题Dp是假命题,綈p是真命题“xR,x210”的否定是“xR,x210”所以p是真命题,綈p是假命题4命题“同位角相等”的否定为_答案有的同位角不相等解析全称量词命题的否定是存在量词命题,故否定为:有的同位角不相等5命题:“有的三角形是直角三角形”的否定是:_.答案所有的三角形都不是直角三角形解析命题:“有的三角形是直
4、角三角形”是存在量词命题,其否定是全称量词命题,按照存在量词命题改为全称量词命题的规则,即可得到该命题的否定1知识清单:(1)全称量词命题、存在量词命题的否定(2)命题真假的判断2方法归纳:转化思想3常见误区:否定不唯一,命题与其否定的真假性相反1若p:xR,|x|1,则()xR,|x|xR,|x|C綈p:xR,|x|1D綈p:xR,|x|1答案A解析根据全称量词命题的否定为存在量词命题可知,xR,|x|1的否定为:1,故选A.2命题“x0,都有x2x30”的否定()Ax0,使得x2x30Bx0,使得x2x3Cx0,都有x2x3Dx0,都有x2x3答案B解析命题“x0,都有x2x30”的否定是
5、:x3命题“存在一个无理数,它的平方是有理数”的否定是()A任意一个有理数,它的平方是有理数B任意一个无理数,它的平方不是有理数C存在一个有理数,它的平方是有理数D存在一个无理数,它的平方不是有理数解析量词“存在”改为“任意”,结论“它的平方是有理数”否定后为“它的平方不是有理数”,故选B.4命题p:xN,x3x2的否定形式綈p为()AxN,x3x2 BxN,x3x2CxN,x31”的否定是_答案xN,x21解析由题意,根据存在量词命题与全称量词命题的关系可得,命题 “xN,x21”的否定为“xN,x21”7命题:xR,x2x10的否定是_答案xR,x2x10.解析因为存在量词命题的否定是全称
6、量词命题,所以xR,x2x10的否定是:xR,x2x10.8命题“任意一个xR,都有x22x40”的否定是_答案存在xR,使得x22x4解析 原命题为全称量词命题,其否定为存在量词命题,所以其否定为:存在xR,使得x22x49写出下列命题的否定,并判断它们的真假(1)xR,x20;(2)xR,x21;(3)xR,x是方程x23x20的根;(4)等腰梯形的对角线垂直xR,使x20,因为x0时,020,所以命题的否定为真xR,使x21,因为x1时,x21,所以命题的否定为假(3)命题的否定:xR,x不是方程x23x20的根,因为x1时,123120,即x1为方程的根,所以命题的否定为假(4)命题的
7、否定:存在一个等腰梯形的对角线不垂直,是真命题10命题p是“对某些实数x,若xa0,则xb0”,其中a,b是常数(1)写出命题p的否定;(2)当a,b满足什么条件时,命题p的否定为真?解(1)命题p的否定:对任意实数x,若xa0,则xb(2)ba.11下列命题的否定是真命题的是()A三角形角平分线上的点到两边的距离相等B所有平行四边形都不是菱形C任意两个等边三角形都是相似的D3是方程x290的一个根解析A的否定:存在一个三角形,它的角平分线上的点到两边的距离不相等,假命题,B的否定:有些平行四边形是菱形,真命题,C的否定:有些等边三角形不相似,假命题,D的否定: 3不是方程x290的一个根,假
8、命题,故选B.12已知命题“xR,使4x2(a2)x0”是假命题,则实数a的取值范围是()Aa0 B0a4Ca4 D0a0”是真命题,即判别式(a2)2440,即(a2)24,则2a22,即00的否定是_,命题xR,x210.若命题p是假命题,则实数a的取值范围是_答案a|a0,或a1解析 若命题p为真命题,则4a24a0,01,所以当p为假命题时,a的取值范围是a0或a1.15命题“xR,nN*,使得n2x1”的否定形式是()AxR,nN*,使得n2x1BxR,nN*,使得nCxR,nN*,使得nDxR,nN*,使得n解析由题意可知,全称量词命题“xR,nN*,使得n2x1”的否定形式为存在量词命题“xR,nN*,使得n0”是假命题,求实数a的取值范围解因为命题“存在xR,ax22ax30”的否定为“对于任意xR,ax22ax30恒成立”,由命题真,其否定假;命题假,其否定真可知该命题的否定是真命题事实上,当a0时,对任意的xR,不等式30恒成立;当a0时,借助二次函数的图象(图略),数形结合,易知不等式ax22ax30恒成立的等价条件是a0且其判别式4a212a0,即3a综上知,实数a的取值范围是a|3a0
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