北师大版高中数学必修二学案第二章 22 圆的一般方程文档格式.docx

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图形

x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0

D2＋E2－4F<

不表示任何图形

D2＋E2－4F＝0

表示一个点（－

，－

）

D2＋E2－4F>

表示以（－

）为圆心，以

为半径的圆

类型一　圆的一般方程的概念

例1　若方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0表示圆，求实数m的取值范围，并写出圆心坐标和半径．

反思与感悟　形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的二元二次方程，判定其是否表示圆时可有如下两种方法

（1）由圆的一般方程的定义，令D2＋E2－4F>

0成立，则表示圆，否则不表示圆．

（2）将方程配方后，根据圆的标准方程的特征求解．

应用这两种方法时，要注意所给方程是不是x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0这种标准形式，若不是，则要化为这种形式再求解．

跟踪训练1　

（1）已知a∈R，方程a2x2＋（a＋2）y2＋4x＋8y＋5a＝0表示圆，则圆心坐标为____________，半径为____________．

（2）点M、N在圆x2＋y2＋kx＋2y－4＝0上，且点M、N关于直线x－y＋1＝0对称，则该圆的面积为________．

类型二　求圆的一般方程

例2　已知A（2,2），B（5,3），C（3，－1）．

（1）求△ABC的外接圆的方程；

（2）若点M（a,2）在△ABC的外接圆上，求a的值．

引申探究

若本例中将点“C（3，－1）”改为“圆C过A，B两点且圆C关于直线y＝－x对称”，其他条件不变，如何求圆C的方程？

反思与感悟　应用待定系数法求圆的方程时应注意

（1）如果由已知条件容易求得圆心坐标、半径或需利用圆心坐标或半径列方程，一般采用圆的标准方程，再用待定系数法求出a，b，r.

（2）如果已知条件与圆心和半径都无直接关系，一般采用圆的一般方程，再用待定系数法求出常数D，E，F.

跟踪训练2　已知一圆过P（4，－2），Q（－1,3）两点，且在y轴上截得的线段长为4

，求圆的方程．

类型三　圆的方程的实际应用

例3　如图是某圆拱形桥一孔圆拱的示意图．这个圆的圆拱跨度AB＝20m，拱高OP＝4m，建造时每间隔4m需要用一根支柱支撑，求支柱A2P2的高度．（精确到0.01m）

反思与感悟　在解决圆在实际生活中的应用问题时，借助坐标系，利用方程求解可取得简便、精确的效果．应用解析法的关键是建系，合理适当的建系对问题的解决会有很大帮助．

跟踪训练3　如图所示，一座圆拱桥，当水面在图示位置时，拱顶离水面2m，水面宽12m，当水面下降1m后，水面宽为多少？

1．圆x2＋y2－2x＋6y＋8＝0的面积为（　　）

A．8πB．4π

C．2πD．π

2．若点M（3,0）是圆x2＋y2－8x－4y＋10＝0内一点，则过点M（3,0）的最长的弦所在的直线方程是（　　）

A．x＋y－3＝0B．x－y－3＝0

C．2x－y－6＝0D．2x＋y－6＝0

3．方程x2＋y2－x＋y＋m＝0表示一个圆，则m的取值范围是（　　）

A．m≤2B．m＜

C．m＜2D．m≤

4．方程x2＋y2＋2ax－by＋c＝0表示圆心为C（2,2），半径为2的圆，则a，b，c的值依次为（　　）

A．－2,4,4B．－2，－4,4

C．2，－4,4D．2，－4，－4

5．已知圆心为C的圆经过点A（1,0），B（2,1），且圆心C在y轴上，求此圆的一般方程．

1．判断二元二次方程表示圆要“两看”：

一看方程是否具备圆的一般方程的特征；

二看它能否表示圆．此时判断D2＋E2－4F是否大于0或直接配方变形，判断等号右边是否为大于零的常数．

2．待定系数法求圆的方程

如果已知条件与圆心和半径都无直接关系，一般采用圆的一般方程，再用待定系数法分别求出常数D、E、F.

答案精析

问题导学

知识点

思考1　对方程x2＋y2－2x＋4y＋1＝0配方，得（x－1）2＋（y＋2）2＝4，表示以（1，－2）为圆心，2为半径的圆，

对方程x2＋y2－2x＋4y＋6＝0配方，得（x－1）2＋（y＋2）2＝－1，不表示任何图形．

思考2　对方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0配方并移项，得

（x＋

）2＋（y＋

）2＝

.

①当D2＋E2－4F＞0时，方程表示的是以（－

）为圆心，

为半径的圆；

②当D2＋E2－4F＝0时，方程只有一个实数解x＝－

，y＝－

，它表示一个点（－

）；

③当D2＋E2－4F＜0时，方程无实数解，它不表示任何图形．

题型探究

例1　解　由表示圆的条件，

得（2m）2＋（－2）2－4（m2＋5m）>

0，

解得m<

，即实数m的取值范围为（－∞，

）．

圆心坐标为（－m,1），半径为

跟踪训练1　

（1）（－2，－4）　5　

（2）9π

解析　

（1）由圆的一般方程的形式知，a＋2＝a2，得a＝2或－1.

当a＝2时，该方程可化为x2＋y2＋x＋2y＋

＝0，

∵D2＋E2－4F＝12＋22－4×

＜0，

∴a＝2不符合题意．

当a＝－1时，方程可化为x2＋y2＋4x＋8y－5＝0，

即（x＋2）2＋（y＋4）2＝25，

∴圆心坐标为（－2，－4），半径为5.

（2）圆x2＋y2＋kx＋2y－4＝0的圆心坐标为（－

，－1），

由圆的性质知，直线x－y＋1＝0经过圆心，

∴－

＋1＋1＝0，得k＝4，

∴圆x2＋y2＋4x＋2y－4＝0的半径为

＝3，

∴该圆的面积为9π.

例2　解　

（1）设△ABC外接圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，

由题意，得