排列组合常见题型及解题策略难Word文档格式.docx
《排列组合常见题型及解题策略难Word文档格式.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《排列组合常见题型及解题策略难Word文档格式.docx(14页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
![排列组合常见题型及解题策略难Word文档格式.docx](https://file1.bdocx.com/fileroot1/2023-1/9/9ad484db-a8a2-48ac-8fab-53d6ce57727e/9ad484db-a8a2-48ac-8fab-53d6ce57727e1.gif)
c3a;
A2A;
=144,符合条件的排法故共有288
3.相离问题插空法:
元素相离(即不相邻)问题,可先把无位置要求的几个元素全排
列,再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端
【例1】七人并排站成一行,如果甲乙两个必须不相邻,那么不同的排法种数是
除甲乙外,其余5个排列数为A种,再用甲乙去插6个空位有A2种,不同的排法
种数是a5a23600种
【例2】书架上某层有6本书,新买3本插进去,要保持原有6本书的顺序,有种不
同的插法(具体数字作答)
A;
a8a9=504
【例3】高三
(一)班学要安排毕业晚会的4各音乐节目,2个舞蹈节目和1个曲艺节目的
演出顺序,要求两个舞蹈节目不连排,则不同排法的种数是
不同排法的种数为a;
5A2=3600
【例4】某工程队有6项工程需要单独完成,其中工程乙必须在工程甲完成后才能进行,工
程丙必须在工程乙完成后才能进行,有工程丁必须在工程丙完成后立即进行。
那么安排这6
项工程的不同排法种数是
依题意,只需将剩余两个工程插在由甲、乙、丙、丁四个工程形成的5个空中,可
2
得有A=20种不同排法。
【例5】某市春节晚会原定10个节目,导演最后决定添加3个与“抗冰救灾”有关的节目,
10个节目的相对顺序不变,
但是赈灾节目不排在第一个也不排在最后一个,并且已经排好的
则该晚会的节目单的编排总数为种•
111
A9A1oAh=99O
【例6].马路上有编号为1,2,3…,9九只路灯,现要关掉其中的三盏,但不能关掉相邻的
二盏或三盏,也不能关掉两端的两盏,求满足条件的关灯方案有多少种?
【解析]:
把此问题当作一个排对模型,在6盏亮灯的5个空隙中插入3盏不亮的灯C;
种方
法,所以满足条件的关灯方案有10种•
说明:
一些不易理解的排列组合题,如果能转化为熟悉的模型如填空模型,排队模型,装盒
模型可使问题容易解决•
【例7]3个人坐在一排8个椅子上,若每个人左右两边都有空位,则坐法的种数有多少种?
解法1、先将3个人(各带一把椅子)进行全排列有a3,O*O*O*O,在四个空
中分别放一把椅子,还剩一把椅子再去插空有a4种,所以每个人左右两边都空位的排法有
A3=24种•
解法2:
先拿出5个椅子排成一排,在5个椅子中间出现4个空,*O*O*O*O*再让3个人每人带一把椅子去插空,于是有a4=24种•
【例8]停车场划出一排12个停车位置,今有8辆车需要停放•要求空车位置连在一起,不同的停车方法有多少种?
先排好8辆车有A8种方法,要求空车位置连在一起,则在每2辆之间及其两端的9个空档中任选一个,将空车位置插入有C;
种方法,所以共有C;
种方法•
注:
题中*表示元素,O表示空•
四.元素分析法(位置分析法):
某个或几个元素要排在指定位置,可先排这个或几个元素;
再排其它的元素。
【例1]2010年广州亚运会组委会要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四
人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作,若其中小张和小赵只能从事前两项工作,
其余三人均能从事这四项工作,则不同的选派方案共有()一•…
方法一:
从后两项工作出发,采取位置分析法。
a2a336
方法二:
分两类:
若小张或小赵入选,则有选法c2c2a;
24;
若小张、小赵都入选,则有
选法AA12,共有选法36种,选A.
【例2】1名老师和4名获奖同学排成一排照相留念,若老师不站两端则有不同的排法有多少种?
老师在中间三个位置上选一个有a3种,4名同学在其余4个位置上有a4种方法;
所以共有A3a472种。
.
【例3】有七名学生站成一排,某甲不排在首位也不排在末位的排法有多少种?
【解析】法一:
a5a63600法二:
a2a53600法三:
AA6a3600
五.多排问题单排法:
把元素排成几排的问题可归结为一排考虑,再分段处理。
高―
【例11
(1)6个不同的元素排成前后两排,每排3个元素,那么不同的排法种数是()
A、36种B、120种C、720种D、1440种
(2)把15人分成前后三排,每排5人,不同的排法种数为
(A)(B)AIa^Xa;
(C)A;
5(D)A^oAfA
(3)8个不同的元素排成前后两排,每排4个元素,其中某2个元素要排在前排,某1个元素排在后排,有多少种不同排法?
(1)前后两排可看成一排的两段,因此本题可看成6个不同的元素排成一排,共
6
A720种,选C.-…
(2)答案:
C
(3)看成一排,某2个元素在前半段四个位置中选排2个,有A2种,某1个元素排在后半
段的四个位置中选一个有A1种,其余5个元素任排5个位置上有A5种,故共有A4A42A55760种排法.
五•定序问题缩倍法(等几率法):
在排列问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序,可用缩小倍数的方法•
【例1】•A,B,C,D,E五人并排站成一排,如果B必须站在A的右边(A,B可以不相邻)那么不同的排法种数是()_☆
B在A的右边与B在A的左边排法数相同,所以题设的排法只是5个元素全排列
数的一半,即丄60种
【例2】书架上某层有6本书,新买3本插进去,要保持原有6本书的顺序,有多少种不同
的插法?
-…
法一:
Ag法二:
乙人;
A6
【例3】将A、B、C、D、E、F这6个字母排成一排,若A、B、C必须按A在前,B居中,C在后的原则(A、B、C允许不相邻),有多少种不同的排法?
【解析】:
A
A33a6
六•标号排位问题(不配对问题)把元素排到指定位置上,可先把某个元素按规定排
入,第二步再排另一个元素,如此继续下去,依次即可完成
【例1】将数字1,2,3,4填入标号为1,2,3,4的四个方格里,每格填一个数,则每个方格的标号与所填数字均不相同的填法有()
A、6种B、9种C、11种D、23种一….
先把1填入方格中,符合条件的有3种方法,第二步把被填入方格的对应数字填
入其它三个方格,又有三种方法;
第三步填余下的两个数字,只有一种填法,共有3X3X1=9
种填法,选B.
【例2】编号为1、2、3、4、5的五个人分别去坐编号为1、2、3、4、5的五个座位,其中
有且只有两个的编号与座位号一致的坐法是()
A10种B20种C30种D60种
答案:
B
【例3】:
同室4人各写一张贺年卡,先集中起来,然后每人从中拿一张别人送出的贺年卡,则4张贺年卡不同的分配方式共有()
(A6种(B)9种(C)11种(D)23种
设四个人分别为甲、乙、丙、丁,各自写的贺年卡分别为a、b、c、d。
第一步,甲取其中一张,有3种等同的方式;
第二步,假设甲取b,则乙的取法可分两类:
(1)乙取a,则接下来丙、丁取法都是唯一的,
(2)乙取c或d(2种方式),不管哪一种情况,接下来丙、丁的取法也都是唯一的。
故选(B)
根据加法原理和乘法原理,一共有3(12)9种分配方式。
【例4】:
五个人排成一列,重新站队时,各人都不站在原来的位置上,那么不同的站队方式共有()-•■☆
(A)60种(B)44种(C)36种(D)24种
六•不同元素的分配问题(先分堆再分配):
注意平均分堆的算法
【例1】有6本不同的书按下列分配方式分配,问共有多少种不同的分配方式?
(1)分成1本、2本、3本三组;
(2)分给甲、乙、丙三人,其中一个人1本,一个人2本,一个人3本;
(3)分成每组都是2本的三个组;
(4)分给甲、乙、丙三人,每个人2本;
(5)分给5人每人至少1本。
(2)c6c;
c3A3
(3)
(4)C©
C;
(5)
第一步将4名大学生按,2,1,1分成三组,其分法有
cLcLcL
3
第二步将分好的三组分配到3个乡镇,其分法有A3所以满足条件得分配的方案有
C42C2C;
36
分配的元素多于对象且每一对象都有元素分配时常用先分组再分配
【例3】5名志愿者分到3所学校支教,每个学校至少去一名志愿者,则不同的分派方法共有
(A)150种(B)180种(C)200种(D)280种
A=60种,
附斤】:
人数分配上有1,2,2与1,1,3两种方式,若是1,2,2,则有葺
【例4】将9个(含甲、乙)平均分成三组,甲、乙分在同一组,则不同分组方法的种数为()
A.70B.140C.280D.840
(A)
【例5】将5名实习教师分配到高一年级的3个班实习,每班至少1名,最多2名,则不同的分配方案有()
(A)30种(B)90种(C)180种(D)270种
将5名实习教师分配到高一年级的3个班实习,每班至少1名,最多2名,则将5
名教师分成三组,一组1人,另两组都是2人,有C5C415种方法,再将3组分到3个班,
共有15A390种不同的分配方案,选B.
选D;
【例7】
(1)5本不同的书,全部分给4个学生,每个学生至少一本,不同的分法种数为()
案有多少种?
答案:
这三项任务,不同的选法种数是()
先从10人中选出2人承担甲项任务,再从剩下的8人中选1人承担乙项任务,第
三步从另外的7人中选1人承担丙项任务,不同的选法共有C20c8c72520种,选C.
【例9】.某高校从某系的10名优秀毕业生中选4人分别到西部四城市参加中国西部经济开发
建设,其中甲同学不到银川,乙不到西宁,共有多少种不同派遣方案?
--网☆
因为甲乙有限制条件,所以按照是否含有甲乙来分类,有以下四种情况:
1若甲乙都不参加,则有派遣方案a4种;
2若甲参加而乙不参加,先安排甲有3种方法,然后安排其余学生有A3方法,所以共
有3A;
3若乙参加而甲不参加同理也有3A3种;
④若甲乙都参加,则先安排甲乙,有7种方
法,然后再安排其余8人到另
两个城市有a2种,共有7a2方法•所以共有不同的派遣方法总数为
A43A33A37A^4088种
c2种,再排:
在四个盒中每
【例10】四个不同球放入编号为1,2,3,4的四个盒中,则恰有一个空盒的放法有多少种?
先取四个球中二个为一组,另二组各一个球的方法有
23
次排3个有A3种,故共有C4A4144种.
七•相同元素的分配问题隔板法:
【例1】:
把20个相同的球全放入编号分别为1,2,3的三个盒子中,要求每个盒子中的球数
不少于其编号数,则有多少种不同的放法?
向1,2,3号三个盒子中分别放入0,1,2个球后还余下17个球,然后再把这17
个球分成3份,每份至少一球,运用隔板法,共有C16120种。
-•…
【例2】10个三好学生名额分到7个班级,每个班级至少一个名额,有多少种不同分配方
案?
10个名额分到7个班级,就是把10个名额看成10个相同的小球分成7堆,每堆至少一个,可以在10个小球的9个空位中插入6块木板,每一种插法对应着一种分配方案,故共有不同的分配方案为G?
84种.一….
变式1:
7个相同的小球,任意放入四个不同的盒子,问每个盒子都不空的放法有
种
变式2:
马路上有编号为1,2,3,4,5,6,乙8,9的9盏路灯,为节约用电,可以把其
中的三盏路灯关掉,但不能同时关掉相邻的两盏或三盏,也不能关掉两端的路灯,满足条件
的关灯办法有种
将4个相同的白球、5个相同的黑球、6个相同的红球放入4各不同的盒子中的3个中,使得有一个空盒且其他盒子中球的颜色齐全的不同放法有多少种?
-
1、先从4个盒子中选三个放置小球有C:
种方法。
2、注意到小球都是相同的,我们可以采用隔板法。
为了保证三个盒子中球的颜色齐全,可以
在4个相同的白球、5个相同的黑球、6个相同的红球所产生的3个、4个5个空挡中分别插
222
入两个板。
各有C3、C4、C5种方法。
3、由分步计数原理可得C43C32C4Cf=720种
八•多面手问题(分类法---选定标准)
有11名外语翻译人员,其中5名是英语译员,4名是日语译员,另外两名是英、
日语均精通,从中找出8人,使他们可以组成翻译小组,其中4人翻译英语,另4人翻译日
语,这两个小组能同时工作,问这样的8人名单可以开出几张?
变式:
.有11名外语翻译人员,其中有5名会英语,4名会日语,另外两名英,日语都精通,从中选出8人,组成两个翻译小组,其中4人翻译英语,另4人翻译日语,问共有多少不同的选派方式?
185高…
九•走楼梯问题(分类法与插空法相结合)
【例1】小明家住二层,他每次回家上楼梯时都是一步迈两级或三级台阶。
已知相邻楼层之间有16级台阶,那么小明从一层到二层共有多少种不同的走法?
插空法解题:
考虑走3级台阶的次数:
1)有0次走3级台阶(即全走2级),那么有1种走法;
一
2)有1次走三级台阶。
(不可能完成任务);
3)有两次走3级台阶,则有5次走2级台阶:
(a)两次三级台阶挨着时:
相当于把这两个挨着的三级台阶放到5个两级台阶形成的空中,
有C:
6种
5个两级台阶形成的空
(b)两次三级不挨着时:
相当于把这两个不挨着的三级台阶放到中,有C:
15种走法。
4)有3次(不可能)-…
5)有4次走3级台阶,则有2次走两级台阶,互换角色,想成把两个2级台阶放到3级台
阶形成得空中,同(3)考虑挨着和不挨着两种情况有种C5C;
15走法;
6)有5次(不可能)
故总共有:
1+6+15+15=37种。
欲登上第10级楼梯,如果规定每步只能跨上一级或两级,则不同的走法共
有()
(A)34种(B)55种(C)89种(D)144种答案:
(C)
十•排数问题(注意数字“0”一I
(1)由数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的六位数,其中个位数字小于十位数字的共有()
按题意,个位数字只可能是0,1,2,3,4共5种情况,分别有A5个,
aAa3,朋阳a;
a3a;
a3a个,合并总计300个,选b.
(2)从1,2,3,…,100这100个数中任取两个数,使其和能被4整除的取法(不计顺序)
有多少种?
将I1,2,3L,100分成四个不相交的子集,能被4整除的数集
A4,8,12,L100;
能被4除余1的数集B1,5,9,L97,能被4除余2的
数集C2,6,L,98,能被4除余3的数集D3,7,11,L99,易见这四个集
合中每一个有25个元素;
从A中任取两个数符合要;
从B,D中各取一个数也符合
要求;
从C中任取两个数也符合要求;
此外其它取法都不符合要求;
所以符合要求
的取法共有C25C;
5C;
5C:
种•
十^一.染色问题:
涂色问题的常用方法有:
(1)可根据共用了多少种颜色分类讨论;
(2)根据相对区域是否同色分类讨论;
一|
(3)将空间问题平面化,转化成平面区域涂色问题。
【例1】将一个四棱锥SABCD的每个顶点染上一种颜色,并使同一条棱的两端点异色,
如果只有5种颜色可供使用,那么不同的染色方法的总数是.
【解析一】满足题设条件的染色至少要用三种颜色。
(1)若恰用三种颜色,可先从五种颜色中任选一种染顶点S,再从余下的四种颜色中任选两种涂
12
A、B、C、D四点,此时只能A与CB与D分别同色,故有C5A460种方法。
(2)若恰用四种颜色染色,可以先从五种颜色中任选一种颜色染顶点S,再从余下的四种颜色中
任选两种染A与B,由于A、B颜色可以交换,故有A种染法;
再从余下的两种颜色中任选一种染D或C,而D与C,而D与C中另一个只需染与其相对顶点同色即可,故有
1211
C5AtC2C2240种方法。
5I
(3)若恰用五种颜色染色,有A120种染色法-•…
综上所知,满足题意的染色方法数为60+240+120=420种。
【答案】420.
【解析二】设想染色按S-A—B—C-D的顺序进行,对S、A、B染色,有54360种染色方法。
由于C点的颜色可能与A同色或不同色,这影响到D点颜色的选取方法数,故分类讨论:
C与A同色时(此时C对颜色的选取方法唯一),D应与A(C)、S不同色,有3种选择;
C与A不同色时,C有2种选择的颜色,D也有2种颜色可供选择,从而对C、D染色有
13227种染色方法。
由乘法原理,总的染色方法是607420
【解析三】可把这个问题转化成相邻区域不同色问题:
如图,-•…
对这五个区域用5种颜色涂色,有多少种不同的涂色方法?
总体实施分步完成,可分为四大步:
1给S涂色有5种方法;
2给A涂色有4种方法(与S不同色);
3给B涂色有3种方法(与A,S不同色);
4给C,D涂色•当C与A异色时,C,D都有2种涂色方法;
当C与A同色时,C有一种涂色方
法(与A同色),D有3种涂色方法•给C,D涂色共有2X2+3=7种方法•
由分步计数原理共有5X4X3X7=420种方法
[规律小结]涂色问题的常用方法有:
(2)根据相对
区域是否同色分类讨论;
(3)将空间问题平面化,转化成平面区域涂色问题。
十二•“至多”“至少”问题用间接法或分类
十三.几何中的排列组合问题
已知直线-y1(a,b是非零常数)与圆ab
横坐标和纵坐标均为整数,那么这样的直线共有
其中平行于坐标轴的有14条不满则条件
66-4+12-14=60
60
21
G2=66其中关于原点对称的有4条不满则条件切线有C12=12