排列组合常见题型及解题策略难Word文档格式.docx
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c3a；
A2A；
=144，符合条件的排法故共有288
3.相离问题插空法：
元素相离（即不相邻）问题，可先把无位置要求的几个元素全排
列，再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端
【例1】七人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同的排法种数是
除甲乙外，其余5个排列数为A种，再用甲乙去插6个空位有A2种，不同的排法
种数是a5a23600种
【例2】书架上某层有6本书，新买3本插进去，要保持原有6本书的顺序，有种不
同的插法（具体数字作答）
A；
a8a9=504
【例3】高三
（一）班学要安排毕业晚会的4各音乐节目，2个舞蹈节目和1个曲艺节目的
演出顺序，要求两个舞蹈节目不连排，则不同排法的种数是
不同排法的种数为a；
5A2=3600
【例4】某工程队有6项工程需要单独完成，其中工程乙必须在工程甲完成后才能进行，工
程丙必须在工程乙完成后才能进行，有工程丁必须在工程丙完成后立即进行。
那么安排这6
项工程的不同排法种数是
依题意，只需将剩余两个工程插在由甲、乙、丙、丁四个工程形成的5个空中，可
2
得有A=20种不同排法。
【例5】某市春节晚会原定10个节目，导演最后决定添加3个与“抗冰救灾”有关的节目，
10个节目的相对顺序不变,
但是赈灾节目不排在第一个也不排在最后一个，并且已经排好的
则该晚会的节目单的编排总数为种•
111
A9A1oAh=99O
【例6].马路上有编号为1,2,3…，9九只路灯，现要关掉其中的三盏，但不能关掉相邻的
二盏或三盏，也不能关掉两端的两盏，求满足条件的关灯方案有多少种？
【解析]:
把此问题当作一个排对模型，在6盏亮灯的5个空隙中插入3盏不亮的灯C；
种方
法,所以满足条件的关灯方案有10种•
说明：
一些不易理解的排列组合题，如果能转化为熟悉的模型如填空模型，排队模型，装盒
模型可使问题容易解决•
【例7]3个人坐在一排8个椅子上，若每个人左右两边都有空位，则坐法的种数有多少种？
解法1、先将3个人（各带一把椅子）进行全排列有a3,O*O*O*O,在四个空
中分别放一把椅子，还剩一把椅子再去插空有a4种，所以每个人左右两边都空位的排法有
A3=24种•
解法2:
先拿出5个椅子排成一排，在5个椅子中间出现4个空，*O*O*O*O*再让3个人每人带一把椅子去插空，于是有a4=24种•
【例8]停车场划出一排12个停车位置，今有8辆车需要停放•要求空车位置连在一起，不同的停车方法有多少种？
先排好8辆车有A8种方法，要求空车位置连在一起，则在每2辆之间及其两端的9个空档中任选一个，将空车位置插入有C；
种方法，所以共有C；
种方法•
注：
题中*表示元素，O表示空•
四.元素分析法（位置分析法）：
某个或几个元素要排在指定位置，可先排这个或几个元素；
再排其它的元素。
【例1]2010年广州亚运会组委会要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四
人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作，若其中小张和小赵只能从事前两项工作，
其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有（）一•…
方法一：
从后两项工作出发，采取位置分析法。
a2a336
方法二：
分两类：
若小张或小赵入选，则有选法c2c2a；
24;
若小张、小赵都入选，则有
选法AA12，共有选法36种，选A.
【例2】1名老师和4名获奖同学排成一排照相留念，若老师不站两端则有不同的排法有多少种？
老师在中间三个位置上选一个有a3种，4名同学在其余4个位置上有a4种方法；
所以共有A3a472种。
.
【例3】有七名学生站成一排，某甲不排在首位也不排在末位的排法有多少种？
【解析】法一：
a5a63600法二：
a2a53600法三：
AA6a3600
五.多排问题单排法：
把元素排成几排的问题可归结为一排考虑，再分段处理。
高―
【例11
（1）6个不同的元素排成前后两排，每排3个元素，那么不同的排法种数是（）
A、36种B、120种C、720种D、1440种
（2）把15人分成前后三排，每排5人，不同的排法种数为
（A）（B）AIa^Xa；
（C）A；
5（D）A^oAfA
（3）8个不同的元素排成前后两排，每排4个元素，其中某2个元素要排在前排，某1个元素排在后排，有多少种不同排法？
（1）前后两排可看成一排的两段，因此本题可看成6个不同的元素排成一排，共
6
A720种，选C.-…
（2）答案：
C
（3）看成一排，某2个元素在前半段四个位置中选排2个，有A2种，某1个元素排在后半
段的四个位置中选一个有A1种，其余5个元素任排5个位置上有A5种，故共有A4A42A55760种排法.
五•定序问题缩倍法（等几率法）：
在排列问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序，可用缩小倍数的方法•
【例1】•A,B,C,D,E五人并排站成一排，如果B必须站在A的右边（A,B可以不相邻）那么不同的排法种数是（）_☆
B在A的右边与B在A的左边排法数相同，所以题设的排法只是5个元素全排列
数的一半，即丄60种
【例2】书架上某层有6本书，新买3本插进去，要保持原有6本书的顺序，有多少种不同
的插法？
-…
法一：
Ag法二：
乙人；
A6
【例3】将A、B、C、D、E、F这6个字母排成一排，若A、B、C必须按A在前，B居中，C在后的原则（A、B、C允许不相邻），有多少种不同的排法？
【解析】：
A
A33a6
六•标号排位问题（不配对问题）把元素排到指定位置上，可先把某个元素按规定排
入，第二步再排另一个元素，如此继续下去，依次即可完成
【例1】将数字1,2,3,4填入标号为1,2,3,4的四个方格里，每格填一个数，则每个方格的标号与所填数字均不相同的填法有（）
A、6种B、9种C、11种D、23种一….
先把1填入方格中，符合条件的有3种方法，第二步把被填入方格的对应数字填
入其它三个方格，又有三种方法；
第三步填余下的两个数字，只有一种填法，共有3X3X1=9
种填法，选B.
【例2】编号为1、2、3、4、5的五个人分别去坐编号为1、2、3、4、5的五个座位，其中
有且只有两个的编号与座位号一致的坐法是（）
A10种B20种C30种D60种
答案：
B
【例3】：
同室4人各写一张贺年卡，先集中起来，然后每人从中拿一张别人送出的贺年卡,则4张贺年卡不同的分配方式共有（）
（A6种（B）9种（C）11种（D）23种
设四个人分别为甲、乙、丙、丁，各自写的贺年卡分别为a、b、c、d。
第一步，甲取其中一张，有3种等同的方式；
第二步，假设甲取b，则乙的取法可分两类：
（1）乙取a，则接下来丙、丁取法都是唯一的，
（2）乙取c或d（2种方式），不管哪一种情况，接下来丙、丁的取法也都是唯一的。
故选（B）
根据加法原理和乘法原理，一共有3（12）9种分配方式。
【例4】：
五个人排成一列，重新站队时，各人都不站在原来的位置上，那么不同的站队方式共有（）-•■☆
（A）60种（B）44种（C）36种（D）24种
六•不同元素的分配问题（先分堆再分配）：
注意平均分堆的算法
【例1】有6本不同的书按下列分配方式分配，问共有多少种不同的分配方式？
（1）分成1本、2本、3本三组；
（2）分给甲、乙、丙三人，其中一个人1本，一个人2本，一个人3本;
（3）分成每组都是2本的三个组；
（4）分给甲、乙、丙三人，每个人2本；
（5）分给5人每人至少1本。
（2）c6c；
c3A3
（3）
（4）C©
C；
（5）
第一步将4名大学生按，2,1,1分成三组，其分法有
cLcLcL
3
第二步将分好的三组分配到3个乡镇，其分法有A3所以满足条件得分配的方案有
C42C2C；
36
分配的元素多于对象且每一对象都有元素分配时常用先分组再分配
【例3】5名志愿者分到3所学校支教，每个学校至少去一名志愿者，则不同的分派方法共有
（A）150种（B）180种（C）200种（D）280种
A=60种，
附斤】：
人数分配上有1,2,2与1,1,3两种方式，若是1,2,2，则有葺
【例4】将9个（含甲、乙）平均分成三组，甲、乙分在同一组，则不同分组方法的种数为（）
A.70B.140C.280D.840
（A）
【例5】将5名实习教师分配到高一年级的3个班实习，每班至少1名，最多2名，则不同的分配方案有（）
（A）30种（B）90种（C）180种（D）270种
将5名实习教师分配到高一年级的3个班实习，每班至少1名，最多2名，则将5
名教师分成三组，一组1人，另两组都是2人，有C5C415种方法，再将3组分到3个班,
共有15A390种不同的分配方案，选B.
选D;
【例7】
（1）5本不同的书，全部分给4个学生，每个学生至少一本，不同的分法种数为（）
案有多少种?
答案:
这三项任务，不同的选法种数是（）
先从10人中选出2人承担甲项任务，再从剩下的8人中选1人承担乙项任务，第
三步从另外的7人中选1人承担丙项任务，不同的选法共有C20c8c72520种，选C.
【例9】.某高校从某系的10名优秀毕业生中选4人分别到西部四城市参加中国西部经济开发
建设，其中甲同学不到银川，乙不到西宁，共有多少种不同派遣方案？
--网☆
因为甲乙有限制条件，所以按照是否含有甲乙来分类，有以下四种情况：
1若甲乙都不参加，则有派遣方案a4种；
2若甲参加而乙不参加，先安排甲有3种方法，然后安排其余学生有A3方法，所以共
有3A；
3若乙参加而甲不参加同理也有3A3种；
④若甲乙都参加，则先安排甲乙，有7种方
法，然后再安排其余8人到另
两个城市有a2种，共有7a2方法•所以共有不同的派遣方法总数为
A43A33A37A^4088种
c2种，再排：
在四个盒中每
【例10】四个不同球放入编号为1,2,3,4的四个盒中，则恰有一个空盒的放法有多少种？
先取四个球中二个为一组，另二组各一个球的方法有
23
次排3个有A3种，故共有C4A4144种.
七•相同元素的分配问题隔板法：
【例1】：
把20个相同的球全放入编号分别为1，2，3的三个盒子中，要求每个盒子中的球数
不少于其编号数，则有多少种不同的放法？
向1,2，3号三个盒子中分别放入0,1，2个球后还余下17个球，然后再把这17
个球分成3份，每份至少一球，运用隔板法，共有C16120种。
-•…
【例2】10个三好学生名额分到7个班级，每个班级至少一个名额，有多少种不同分配方
案？
10个名额分到7个班级，就是把10个名额看成10个相同的小球分成7堆，每堆至少一个，可以在10个小球的9个空位中插入6块木板，每一种插法对应着一种分配方案，故共有不同的分配方案为G?
84种.一….
变式1:
7个相同的小球，任意放入四个不同的盒子，问每个盒子都不空的放法有
种
变式2:
马路上有编号为1,2,3,4,5,6,乙8,9的9盏路灯，为节约用电，可以把其
中的三盏路灯关掉，但不能同时关掉相邻的两盏或三盏，也不能关掉两端的路灯，满足条件
的关灯办法有种
将4个相同的白球、5个相同的黑球、6个相同的红球放入4各不同的盒子中的3个中，使得有一个空盒且其他盒子中球的颜色齐全的不同放法有多少种？
-
1、先从4个盒子中选三个放置小球有C：
种方法。
2、注意到小球都是相同的，我们可以采用隔板法。
为了保证三个盒子中球的颜色齐全，可以
在4个相同的白球、5个相同的黑球、6个相同的红球所产生的3个、4个5个空挡中分别插
222
入两个板。
各有C3、C4、C5种方法。
3、由分步计数原理可得C43C32C4Cf=720种
八•多面手问题（分类法---选定标准）
有11名外语翻译人员，其中5名是英语译员，4名是日语译员，另外两名是英、
日语均精通，从中找出8人，使他们可以组成翻译小组，其中4人翻译英语，另4人翻译日
语，这两个小组能同时工作，问这样的8人名单可以开出几张？
变式：
.有11名外语翻译人员，其中有5名会英语,4名会日语，另外两名英，日语都精通，从中选出8人，组成两个翻译小组，其中4人翻译英语，另4人翻译日语，问共有多少不同的选派方式？
185高…
九•走楼梯问题（分类法与插空法相结合）
【例1】小明家住二层，他每次回家上楼梯时都是一步迈两级或三级台阶。
已知相邻楼层之间有16级台阶，那么小明从一层到二层共有多少种不同的走法？
插空法解题：
考虑走3级台阶的次数：
1）有0次走3级台阶（即全走2级），那么有1种走法；
一
2）有1次走三级台阶。
（不可能完成任务）；
3）有两次走3级台阶，则有5次走2级台阶：
（a）两次三级台阶挨着时：
相当于把这两个挨着的三级台阶放到5个两级台阶形成的空中,
有C：
6种
5个两级台阶形成的空
（b）两次三级不挨着时：
相当于把这两个不挨着的三级台阶放到中，有C：
15种走法。
4）有3次（不可能）-…
5）有4次走3级台阶，则有2次走两级台阶，互换角色，想成把两个2级台阶放到3级台
阶形成得空中，同（3）考虑挨着和不挨着两种情况有种C5C；
15走法;
6）有5次（不可能）
故总共有：
1+6+15+15=37种。
欲登上第10级楼梯，如果规定每步只能跨上一级或两级，则不同的走法共
有（）
（A）34种（B）55种（C）89种（D）144种答案:
（C）
十•排数问题（注意数字“0”一I
（1）由数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字的共有（）
按题意，个位数字只可能是0,1,2,3,4共5种情况，分别有A5个，
aAa3,朋阳a；
a3a；
a3a个，合并总计300个,选b.
（2）从1,2,3,…，100这100个数中任取两个数，使其和能被4整除的取法（不计顺序）
有多少种？
将I1,2,3L,100分成四个不相交的子集，能被4整除的数集
A4,8,12,L100；
能被4除余1的数集B1,5,9,L97，能被4除余2的
数集C2,6,L,98，能被4除余3的数集D3,7,11,L99，易见这四个集
合中每一个有25个元素；
从A中任取两个数符合要；
从B,D中各取一个数也符合
要求；
从C中任取两个数也符合要求；
此外其它取法都不符合要求；
所以符合要求
的取法共有C25C；
5C；
5C：
种•
十^一.染色问题：
涂色问题的常用方法有：
（1）可根据共用了多少种颜色分类讨论；
（2）根据相对区域是否同色分类讨论；
一|
（3）将空间问题平面化，转化成平面区域涂色问题。
【例1】将一个四棱锥SABCD的每个顶点染上一种颜色，并使同一条棱的两端点异色，
如果只有5种颜色可供使用，那么不同的染色方法的总数是.
【解析一】满足题设条件的染色至少要用三种颜色。
（1）若恰用三种颜色，可先从五种颜色中任选一种染顶点S,再从余下的四种颜色中任选两种涂
12
A、B、C、D四点，此时只能A与CB与D分别同色，故有C5A460种方法。
（2）若恰用四种颜色染色，可以先从五种颜色中任选一种颜色染顶点S，再从余下的四种颜色中
任选两种染A与B，由于A、B颜色可以交换，故有A种染法；
再从余下的两种颜色中任选一种染D或C，而D与C，而D与C中另一个只需染与其相对顶点同色即可，故有
1211
C5AtC2C2240种方法。
5I
（3）若恰用五种颜色染色，有A120种染色法-•…
综上所知，满足题意的染色方法数为60+240+120=420种。
【答案】420.
【解析二】设想染色按S-A—B—C-D的顺序进行，对S、A、B染色，有54360种染色方法。
由于C点的颜色可能与A同色或不同色，这影响到D点颜色的选取方法数，故分类讨论：
C与A同色时（此时C对颜色的选取方法唯一），D应与A（C）、S不同色，有3种选择；
C与A不同色时，C有2种选择的颜色，D也有2种颜色可供选择，从而对C、D染色有
13227种染色方法。
由乘法原理，总的染色方法是607420
【解析三】可把这个问题转化成相邻区域不同色问题：
如图，-•…
对这五个区域用5种颜色涂色，有多少种不同的涂色方法？
总体实施分步完成，可分为四大步：
1给S涂色有5种方法；
2给A涂色有4种方法（与S不同色）；
3给B涂色有3种方法（与A,S不同色）；
4给C,D涂色•当C与A异色时,C,D都有2种涂色方法；
当C与A同色时,C有一种涂色方
法（与A同色）,D有3种涂色方法•给C,D涂色共有2X2+3=7种方法•
由分步计数原理共有5X4X3X7=420种方法
［规律小结］涂色问题的常用方法有：
（2）根据相对
区域是否同色分类讨论；
（3）将空间问题平面化，转化成平面区域涂色问题。
十二•“至多”“至少”问题用间接法或分类
十三.几何中的排列组合问题
已知直线-y1（a,b是非零常数）与圆ab
横坐标和纵坐标均为整数，那么这样的直线共有
其中平行于坐标轴的有14条不满则条件
66-4+12-14=60
60
21
G2=66其中关于原点对称的有4条不满则条件切线有C12=12
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