排列组合常见题型及解题策略难Word文档格式.docx

1、c3a；A2A；=144，符合条件的排法故共有 2883.相离问题插空法 ：元素相离（即不相邻）问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端【例1】七人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同的排法种数是 除甲乙外，其余5个排列数为 A种，再用甲乙去插6个空位有A2种，不同的排法种数是a5a2 3600种【例2】 书架上某层有6本书，新买3本插进去，要保持原有 6本书的顺序，有 种不同的插法（具体数字作答）A；a8a9=504【例3】 高三（一）班学要安排毕业晚会的 4各音乐节目，2个舞蹈节目和1个曲艺节目的演出顺序，要求两个舞蹈节目不连排

2、，则不同排法的种数是 不同排法的种数为 a；5A2= 3600【例4】 某工程队有6项工程需要单独完成，其中工程乙必须在工程甲完成后才能进行，工程丙必须在工程乙完成后才能进行，有工程丁必须在工程丙完成后立即进行。那么安排这 6项工程的不同排法种数是 依题意，只需将剩余两个工程插在由甲、乙、丙、丁四个工程形成的 5个空中，可2得有A= 20种不同排法。【例5】某市春节晚会原定10个节目，导演最后决定添加 3个与“抗冰救灾”有关的节目，10个节目的相对顺序不变,但是赈灾节目不排在第一个也不排在最后一个，并且已经排好的则该晚会的节目单的编排总数为 种11 1A9A1oAh=99O【例6.马路上有编号

3、为1, 2, 3，9九只路灯，现要关掉其中的三盏，但不能关掉相邻的二盏或三盏，也不能关掉两端的两盏，求满足条件的关灯方案有多少种？【解析:把此问题当作一个排对模型，在 6盏亮灯的5个空隙中插入3盏不亮的灯C；种方法,所以满足条件的关灯方案有 10种说明：一些不易理解的排列组合题，如果能转化为熟悉的模型如填空模型，排队模型，装盒模型可使问题容易解决【例7 3个人坐在一排8个椅子上，若每个人左右两边都有空位， 则坐法的种数有多少种？解法1、先将3个人（各带一把椅子）进行全排列有 a3, O*O*O*O,在四个空中分别放一把椅子，还剩一把椅子再去插空有 a4种，所以每个人左右两边都空位的排法有A 3

4、=24 种解法2:先拿出5个椅子排成一排，在 5个椅子中间出现 4个空，* O*O*O*O*再让3个人 每人带一把椅子去插空，于是有 a4=24种【例8 停车场划出一排12个停车位置，今有8辆车需要停放要求空车位置连在一起，不 同的停车方法有多少种？先排好8辆车有A8种方法，要求空车位置连在一起，则在每 2辆之间及其两端的 9 个空档中任选一个，将空车位置插入有 C；种方法，所以共有 C；种方法注：题中*表示元素，O表示空四.元素分析法（位置分析法）：某个或几个元素要排在指定位置，可先排这个或几个元 素；再排其它的元素。【例1 2010年广州亚运会组委会要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿

5、者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作，若其中小张和小赵只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有 （ ）一方法一： 从后两项工作出发，采取位置分析法。 a2a336方法二：分两类：若小张或小赵入选，则有选法 c2c2a；24 ;若小张、小赵都入选，则有选法A A 12，共有选法36种，选A.【例2】1名老师和4名获奖同学排成一排照相留念，若老师不站两端则有不同的排法有多 少种？老师在中间三个位置上选一个有 a3种，4名同学在其余4个位置上有a4种方法；所以共有A3a4 72种。.【例3】有七名学生站成一排，某甲不排在首位也不排在末位的排法有多少种？【

6、解析】 法一：a5a63600 法二： a2a53600 法三： A A6 a3600五.多排问题单排法： 把元素排成几排的问题可归结为一排考虑，再分段处理。 高【例11 （ 1） 6个不同的元素排成前后两排，每排 3个元素，那么不同的排法种数是（ ）A、36 种 B、120 种 C、720 种 D、1440 种（2）把15人分成前后三排，每排 5人，不同的排法种数为（A） （B） AIaXa；（C） A；5 （D） AoAf A（3）8个不同的元素排成前后两排，每排 4个元素，其中某2个元素要排在前排，某 1个元 素排在后排，有多少种不同排法？（1）前后两排可看成一排的两段，因此本题可看成

7、6个不同的元素排成一排，共6A720种，选C .-（2）答案：C（3 ）看成一排，某2个元素在前半段四个位置中选排 2个，有A2种，某1个元素排在后半段的四个位置中选一个有A1种，其余5个元素任排5个位置上有A5种，故共有 A4A42A5 5760 种排法.五定序问题缩倍法（等几率法）：在排列问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序， 可用缩小倍数的方法【例1】 A,B,C,D,E五人并排站成一排，如果 B必须站在A的右边（A,B可以不相邻）那 么不同的排法种数是（ ）_B在A的右边与B在A的左边排法数相同，所以题设的排法只是 5个元素全排列数的一半，即丄60种【例2】 书架上某层有6本书，新买

8、3本插进去，要保持原有 6本书的顺序，有多少种不同的插法？-法一：Ag 法二：乙人；A6【例3】将A、B、C、D、E、F这6个字母排成一排，若 A、B、C必须按A在前，B居中，C 在后的原则（A、B、C允许不相邻），有多少种不同的排法？ 【解析】：AA33a6六标号排位问题（不配对问题） 把元素排到指定位置上，可先把某个元素按规定排入，第二步再排另一个元素，如此继续下去，依次即可完成【例1】 将数字1, 2, 3, 4填入标号为1 , 2, 3, 4的四个方格里，每格填一个数，则每个 方格的标号与所填数字均不相同的填法有（ ）A、6 种 B、9 种 C、11 种 D、23 种一.先把1填入方格

9、中，符合条件的有 3种方法，第二步把被填入方格的对应数字填入其它三个方格，又有三种方法；第三步填余下的两个数字， 只有一种填法，共有3 X 3 X 1=9种填法，选B .【例2】 编号为1、2、3、4、5的五个人分别去坐编号为 1、2、3、4、5的五个座位，其中有且只有两个的编号与座位号一致的坐法是（ ）A 10种 B 20种 C 30种 D 60种答案：B【例3】：同室4人各写一张贺年卡，先集中起来，然后每人从中拿一张别人送出的贺年卡, 则4张贺年卡不同的分配方式共有 （）（A 6 种 （B）9 种 （C） 11 种 （D） 23 种设四个人分别为甲、乙、丙、丁，各自写的贺年卡分别为 a、b

10、、c、d。第一步，甲取其中一张，有 3种等同的方式；第二步，假设甲取 b，则乙的取法可分两类：（1） 乙取a，则接下来丙、丁取法都是唯一的，（2） 乙取c或d（ 2种方式），不管哪一种情况，接下来丙、丁的取法也都是唯一的。故选（B）根据加法原理和乘法原理，一共有 3 （1 2） 9种分配方式。【例4】：五个人排成一列，重新站队时，各人都不站在原来的位置上，那么不同的站队方式 共有（）- （A） 60 种 （B） 44 种 （C） 36 种 （D） 24 种六不同元素的分配问题（先分堆再分配）：注意平均分堆的算法【例1】 有6本不同的书按下列分配方式分配，问共有多少种不同的分配方式？（1） 分成

11、1本、2本、3本三组；（2） 分给甲、乙、丙三人，其中一个人 1本，一个人2本，一个人3本;（3） 分成每组都是2本的三个组；（4） 分给甲、乙、丙三人，每个人 2本；（5） 分给5人每人至少1本。（2） c6c；c3A3（3）（4） CC；（5）第一步将4名大学生按，2, 1 , 1分成三组，其分法有cLcLcL3第二步将分好的三组分配到 3个乡镇，其分法有 A3所以满足条件得分配的方案有C42C2 C；36分配的元素多于对象且每一对象都有元素分配时常用先分组再分配【例3】5名志愿者分到3所学校支教，每个学校至少去一名志愿者，则不同的分派方法共有（A）150种 （B）180 种 （C）200

12、 种 （D）280 种A = 60 种，附斤】：人数分配上有1,2,2与1,1,3两种方式，若是1,2,2，则有葺【例4】 将9个（含甲、乙）平均分成三组，甲、乙分在同一组，则不同分组方法的种数为 （）A. 70 B. 140 C. 280 D. 840（A ）【例5】 将5名实习教师分配到高一年级的3个班实习，每班至少1名，最多2名，则不同 的分配方案有（ ）（A）3 0 种 （B）9 0 种 （C）180 种 （D） 2 7 0 种将5名实习教师分配到高一年级的 3个班实习，每班至少 1名，最多2名，则将5名教师分成三组，一组1人，另两组都是2人，有C5C415种方法，再将3组分到3个班,

13、共有15 A3 90种不同的分配方案，选 B.选D;【例7】（1） 5本不同的书，全部分给4个学生，每个学生至少一本， 不同的分法种数为（）案有多少种?答案:这三项任务，不同的选法种数是（ ）先从10人中选出2人承担甲项任务，再从剩下的 8人中选1人承担乙项任务，第三步从另外的7人中选1人承担丙项任务，不同的选法共有 C20c8c72520种，选C.【例9】.某高校从某系的10名优秀毕业生中选 4人分别到西部四城市参加中国西部经济开发建设，其中甲同学不到银川，乙不到西宁，共有多少种不同派遣方案？ - 网因为甲乙有限制条件，所以按照是否含有甲乙来分类，有以下四种情况：1若甲乙都不参加，则有派遣方

14、案 a4种；2若甲参加而乙不参加， 先安排甲有3种方法，然后安排其余学生有 A3方法，所以共有3A ；3若乙参加而甲不参加同理也有 3A3种；若甲乙都参加，则先安排甲乙，有 7种方法，然后再安排其余 8人到另两个城市有a2种，共有7a2方法所以共有不同的派遣方法总数为A4 3A3 3A3 7A 4088 种c2种，再排：在四个盒中每【例10】四个不同球放入编号为 1, 2, 3, 4的四个盒中，则恰有一个空盒的放法有多少种？先取四个球中二个为一组，另二组各一个球的方法有2 3次排3个有A3种，故共有C4A4 144种.七相同元素的分配问题隔板法：【例1】：把20个相同的球全放入编号分别为 1，

15、2，3的三个盒子中，要求每个盒子中的球数不少于其编号数，则有多少种不同的放法？向1, 2，3号三个盒子中分别放入 0, 1，2个球后还余下17个球，然后再把这17个球分成3份，每份至少一球，运用隔板法，共有 C16 120种。-【例2】10个三好学生名额分到 7个班级，每个班级至少一个名额，有多少种不同分配方案？10个名额分到7个班级，就是把10个名额看成10个相同的小球分成 7堆，每堆 至少一个，可以在10个小球的9个空位中插入6块木板，每一种插法对应着一种分配方案， 故共有不同的分配方案为 G? 84种.一.变式1 : 7个相同的小球，任意放入四个不同的盒子，问每个盒子都不空的放法有 种变

16、式2 :马路上有编号为1 , 2, 3, 4, 5, 6,乙8, 9的9盏路灯，为节约用电，可以把其中的三盏路灯关掉，但不能同时关掉相邻的两盏或三盏，也不能关掉两端的路灯，满足条件的关灯办法有 种将4个相同的白球、5个相同的黑球、6个相同的红球放入 4各不同的盒子中的 3个 中，使得有一个空盒且其他盒子中球的颜色齐全的不同放法有多少种？ -1、先从4个盒子中选三个放置小球有 C：种方法。2、 注意到小球都是相同的，我们可以采用隔板法。为了保证三个盒子中球的颜色齐全，可以在4个相同的白球、5个相同的黑球、6个相同的红球所产生的 3个、4个5个空挡中分别插2 2 2入两个板。各有 C3、C4、C5

17、种方法。3、 由分步计数原理可得 C43C32C4 Cf=720种八多面手问题（分类法-选定标准）有11名外语翻译人员，其中 5名是英语译员，4名是日语译员，另外两名是英、日语均精通，从中找出 8人，使他们可以组成翻译小组，其中 4人翻译英语，另4人翻译日语，这两个小组能同时工作，问这样的 8人名单可以开出几张？变式：.有11名外语翻译人员，其中有5名会英语,4名会日语，另外两名英，日语都精通，从中 选出8人，组成两个翻译小组，其中4人翻译英语，另4人翻译日语，问共有多少不同的 选派方式？185高九走楼梯问题 （分类法与插空法相结合）【例1】 小明家住二层，他每次回家上楼梯时都是一步迈两级或三

18、级台阶。已知相邻楼层之 间有16级台阶，那么小明从一层到二层共有多少种不同的走法？插空法解题：考虑走 3级台阶的次数：1 ）有0次走3级台阶（即全走 2级），那么有1种走法；一2） 有1次走三级台阶。（不可能完成任务）；3） 有两次走3级台阶，则有5次走2级台阶：（a）两次三级台阶挨着时：相当于把这两个挨着的三级台阶放到 5个两级台阶形成的空中,有C： 6种5个两级台阶形成的空（b）两次三级不挨着时：相当于把这两个不挨着的三级台阶放到 中，有C： 15种走法。4 ）有3次（不可能）-5）有4次走3级台阶，则有2次走两级台阶，互换角色，想成把两个 2级台阶放到3级台阶形成得空中，同（3）考虑挨着

19、和不挨着两种情况有种 C5 C；15走法;6 ）有5次（不可能）故总共有：1+6+15+15=37 种。欲登上第10级楼梯，如果规定每步只能跨上一级或两级，则不同的走法共有（）（A） 34种 （B） 55 种 （C） 89 种 （D） 144 种 答案:（C）十排数问题（注意数字“ 0” 一 I（1）由数字0, 1 , 2, 3, 4, 5组成没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十位 数字的共有（ ）按题意，个位数字只可能是 0, 1 , 2 , 3 , 4共5种情况，分别有 A5个，aAa3,朋阳a；a3a；,a3a个，合并总计300个,选b.（2）从1 , 2, 3,，100这100个数

20、中任取两个数，使其和能被 4整除的取法（不计顺序）有多少种？将I 1,2,3L ,100分成四个不相交的子集，能被4整除的数集A 4,8,12,L 100 ；能被4除余1的数集B 1,5,9,L 97，能被4除余2的数集C 2,6,L ,98，能被4除余3的数集D 3,7,11,L 99，易见这四个集合中每一个有25个元素；从 A中任取两个数符合要；从 B, D中各取一个数也符合要求；从C中任取两个数也符合要求；此外其它取法都不符合要求；所以符合要求的取法共有C25 C；5C；5 C：种十一.染色问题：涂色问题的常用方法有：（1）可根据共用了多少种颜色分类讨论 ；（2） 根据相对区域是否同色分

21、类讨论 ；一|（3）将空间问题平面化，转化成平面区域涂色问题。【例1】 将一个四棱锥S ABCD的每个顶点染上一种颜色，并使同一条棱的两端点异色，如果只有5种颜色可供使用，那么不同的染色方法的总数是 .【解析一】满足题设条件的染色至少要用三种颜色。（1）若恰用三种颜色，可先从五种颜色中任选一种染顶点 S,再从余下的四种颜色中任选两种涂1 2A、B、C、D四点，此时只能 A与C B与D分别同色，故有 C5A4 60种方法。（2）若恰用四种颜色染色，可以先从五种颜色中任选一种颜色染顶点 S，再从余下的四种颜色中任选两种染 A与B，由于A、B颜色可以交换，故有 A种染法；再从余下的两种颜色中任选 一

22、种染 D或C，而D与C，而D与C中另一个只需染与其相对顶点同色即可，故有12 11C5 At C2C2 240种方法。5 I（3）若恰用五种颜色染色，有 A120种染色法-综上所知，满足题意的染色方法数为 60+240+120=420种。【答案】420.【解析二】 设想染色按 S- A B C- D的顺序进行，对 S、A、B染色，有5 4 3 60种染 色方法。由于C点的颜色可能与 A同色或不同色，这影响到 D点颜色的选取方法数，故分类讨论：C与A同色时（此时 C对颜色的选取方法唯一），D应与A （C）、S不同色，有3种选择； C与A不同色时，C有2种选择的颜色，D也有2种颜色可供选择，从而对

23、 C、D染色有1 3 2 2 7种染色方法。由乘法原理，总的染色方法是 60 7 420【解析三】 可把这个问题转化成相邻区域不同色问题：如图， -对这五个区域用5种颜色涂色，有多少种不同的涂色方法？总体实施分步完成，可分为四大步：1给S涂色有5种方法；2给A涂色有4种方法（与S不同色）；3给B涂色有3种方法（与A,S不同色）；4给C,D涂色当C与A异色时,C,D都有2种涂色方法；当C与A同色时,C有一种涂色方法（与A同色）,D有3种涂色方法给C,D涂色共有2 X 2+3=7种方法由分步计数原理共有 5X 4 X 3 X 7=420种方法规律小结涂色问题的常用方法有：（2）根据相对区域是否同色分类讨论；（3）将空间问题平面化，转 化成平面区域涂色问题。十二“至多”“至少”问题用间接法或分类十三.几何中的排列组合问题已知直线-y1（ a, b是非零常数）与圆 a b横坐标和纵坐标均为整数，那么这样的直线共有其中平行于坐标轴的有 14条 不满则条件66-4+12-14=60602 1G2=66 其中关于原点对称的有 4条 不满则条件 切线有C12 = 12