二元一次方程组教案文档格式.docx

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二元一次方程组的应用

对于含有多个未知数的问题，利用列方程组来解，一般比列一元一次方程解题容易得多．列方程组解应用问题有以下几个步骤：

（1）选定几个未知数；

（2）依据已知条件列出与未知数的个数相等的独立方程，组成方程组；

（3）解方程组，得到方程组的解；

（4）检验求得未知数的值是否符合题意，符合题意即为应用题的解．

例题解析

例1、解方程组

解：

把②代入①得，

把x=3代入②，得

所以，原方程组的解是

例2、解方程组

2x+5y=13

3x-5y=7

由①+②得:

5x=20x＝4

把x＝4代入①，得y＝1

所以原方程组的解是x=4

y=1

例3已知

是方程组

的解，求（m+n）的值．

【分析】由方程组的解的定义可知

，同时满足方程组中的两个方程，将

代入两个方程，分别解二元一次方程，即得m和n的值，从而求出代数式的值．

【解答】把x=2，y=1代入方程组

中，得

①②

由①得m=－1，由②得n=0．

所以当m=－1，n=0时，（m+n）=（－1+0）=－1．

例4（2008，长沙市）“5．12”汶川大地震后，灾区急需大量帐篷．某服装厂原有4条成衣生产线和5条童装生产，工厂决定转产，计划用3天时间赶制1000顶帐篷支援灾区．若启用1条成衣生产线和2条童装生产线，一天可以生产帐篷105顶；

若启用2条成衣生产线和3条童装生产线，一天可以生产帐篷178顶．

（1）每条成衣生产线和童装生产线平均每天生产帐篷各多少顶？

（2）工厂满负荷全面转产，是否可以如期完成任务？

如果你是厂长，你会怎样体现你的社会责任感？

【解答】

（1）设每条成衣生产线和童装生产线平均每天生产帐篷各x，y顶，则

解得：

x=41；

y=32

答：

每条成衣生产线平均每天生产帐篷41顶，每条童装生产线平均每天生产帐篷32顶．

（2）由3×

（4×

41+5×

32）=972<

1000知，即使工厂满负荷全面转产，也不能如期完成任务．

可以从加班生产，改进技术等方面进一步挖掘生产潜力，或者动员其他厂家支援等，想法尽早完成生产任务，为灾区人民多做贡献．

例5（2006，海南）某商场正在热销2008年北京奥运会吉祥物“福娃”和徽章两种奥运商品，根据下图提供的信息，求一盒“福娃”玩具和一枚徽章的价格各是多少元？

【分析】本题以图文形式提供了部分信息，主要考查学生运用二元一次方程组解决实际问题的能力．

【解答】设一盒“福娃”玩具和一枚徽章的价格分别为x元和y元．依题意，得

解这个方程组，得

故一盒“福娃”玩具的价格为125元，一枚徽章的价格为10元．

应用题型归类。

（一）、数字问题

例1一个两位数，比它十位上的数与个位上的数的和大9；

如果交换十位上的数与个位上的数，所得两位数比原两位数大27，求这个两位数．

分析：

设这个两位数十位上的数为x，个位上的数为y，则这个两位数及新两位数及其之间的关系可用下表表示：

十位上的数

个位上的数

对应的两位数

相等关系

原两位数

x

y

10x+y

10x+y=x+y+9

新两位数

ｘ

10y+x

10y+x=10x+y+27

解方程组

，得

，因此，所求的两位数是14．

（二）、利润问题

例2一件商品如果按定价打九折出售可以盈利20%；

如果打八折出售可以盈利10元，问此商品的定价是多少？

商品的利润涉及到进价、定价和卖出价，因此，设此商品的定价为x元，进价为y元，则打九折时的卖出价为0.9x元，获利（0.9x-y）元，因此得方程0.9x-y=20%y；

打八折时的卖出价为0.8x元，获利（0.8x-y）元，可得方程0.8x-y=10.

，解得

，

因此，此商品定价为200元．

点评：

商品销售盈利百分数是相对于进价而言的，不要误为是相对于定价或卖出价．利润的计算一般有两种方法，一是：

利润=卖出价-进价；

二是：

利润=进价×

利润率（盈利百分数）．特别注意“利润”和“利润率”是不同的两个概念．

（三）、配套问题

例3　某厂共有120名生产工人，每个工人每天可生产螺栓25个或螺母20个，如果一个螺栓与两个螺母配成一套，那么每天安排多名工人生产螺栓，多少名工人生产螺母，才能使每天生产出来的产品配成最多套？

要使生产出来的产品配成最多套，只须生产出来的螺栓和螺母全部配上套，根据题意，每天生产的螺栓与螺母应满足关系式：

每天生产的螺栓数×

2=每天生产的螺母数×

1．因此，设安排ｘ人生产螺栓，ｙ人生产螺母，则每天可生产螺栓25ｘ个，螺母20ｙ个，依题意，得

，解之，得

．

故应安排20人生产螺栓，100人生产螺母．

产品配套是工厂生产中基本原则之一，如何分配生产力，使生产出来的产品恰好配套成为主管生产人员常见的问题，解决配套问题的关键是利用配套本身所存在的相等关系，其中两种最常见的配套问题的等量关系是：

（1）“二合一”问题：

如果ａ件甲产品和ｂ件乙产品配成一套，那么甲产品数的ｂ倍等于乙产品数的ａ倍，即

；

（2）“三合一”问题：

如果甲产品ａ件，乙产品ｂ件，丙产品ｃ件配成一套，那么各种产品数应满足的相等关系式是：

（四）、行程问题

例4　在某条高速公路上依次排列着A、B、C三个加油站，A到B的距离为120千米，B到C的距离也是120千米．分别在A、C两个加油站实施抢劫的两个犯罪团伙作案后同时以相同的速度驾车沿高速公路逃离现场，正在B站待命的两辆巡逻车接到指挥中心的命令后立即以相同的速度分别往A、C两个加油站驶去，结果往B站驶来的团伙在1小时后就被其中一辆迎面而上的巡逻车堵截住，而另一团伙经过3小时后才被另一辆巡逻车追赶上．问巡逻车和犯罪团伙的车的速度各是多少？

【研析】设巡逻车、犯罪团伙的车的速度分别为x、y千米/时，则

，整理，得

因此，巡逻车的速度是80千米/时，犯罪团伙的车的速度是40千米/时．

“相向而遇”和“同向追及”是行程问题中最常见的两种题型，在这两种题型中都存在着一个相等关系，这个关系涉及到两者的速度、原来的距离以及行走的时间，具体表现在：

“相向而遇”时，两者所走的路程之和等于它们原来的距离；

“同向追及”时，快者所走的路程减去慢者所走的路程等于它们原来的距离．

（五）、货运问题

例5某船的载重量为300吨，容积为1200立方米，现有甲、乙两种货物要运，其中甲种货物每吨体积为6立方米，乙种货物每吨的体积为2立方米，要充分利用这艘船的载重和容积，甲、乙两重货物应各装多少吨？

“充分利用这艘船的载重和容积”的意思是“货物的总重量等于船的载重量”且“货物的体积等于船的容积”．设甲种货物装x吨，乙种货物装y吨，则

因此，甲、乙两重货物应各装150吨．

由实际问题列出的方程组一般都可以再化简，因此，解实际问题的方程组时要注意先化简，再考虑消元和解法，这样可以减少计算量，增加准确度．化简时一般是去分母或两边同时除以各项系数的最大公约数或移项、合并同类项等．

（六）、工程问题

例6某服装厂接到生产一种工作服的订货任务，要求在规定期限内完成，按照这个服装厂原来的生产能力，每天可生产这种服装150套，按这样的生产进度在客户要求的期限内只能完成订货的

现在工厂改进了人员组织结构和生产流程，每天可生产这种工作服200套，这样不仅比规定时间少用1天，而且比订货量多生产25套，求订做的工作服是几套？

要求的期限是几天？

设订做的工作服是x套，要求的期限是y天，依题意，得

.

工程问题与行程问题相类似，关键要抓好三个基本量的关系，即“工作量=工作时间×

工作效率”以及它们的变式“工作时间=工作量÷

工作效率，工作效率=工作量÷

工作时间”．其次注意当题目与工作量大小、多少无关时，通常用“1”表示总工作量．