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0.75，于是可得质点运动方

2t2

112t

0.75

12bt2运动,v0、

2

为何值时总加速度在数值上等于b？

（3）当加速度达到b时,质点已沿圆周运行了多少圈？

1-22一质点沿半径为R的圆周按规律sv0t

b都是常量．

（1）求t

时刻质点的总加速度大小；

（2）t

知识点：

圆周运动的加速度的切向分量及法向分量表达式．本题采用线量的方式来描述圆周运动的运动方程。

解

（1）质点作圆周运动的速率为

其加速度的切向分量和法向分量分别为

故加速度的大小为

（2）要使aan2at2b,由b2（v0R2bt）b可得

tv0b

（3）从t＝0开始到t＝v0/b时,质点经过的路程为

因此质点运行的圈数为

2v04πbR

kt2，

（2）取t＝0

为4.0m·

ｓ-1．求：

（1）该轮在t′＝0.5ｓ的角速度,轮缘一点的切向加速度和总加速度；

（2）该点在2.0ｓ内所转过的角度．

分析--题目的另一种描述方法：

一质点（即题目中轮缘一点）作半径为R=0.50m的圆周运动，且（t）

dt

其中k为未知常数。

在t＝2.0ｓ时v4m·

ｓ-1．求：

（1）在t′＝0.5ｓ时质点的角速度,切向加速度和法向加速度；

ｓ时00，求t＝2.0ｓ时的（t2）。

第一问--圆周运动的加速度的切向分量及法向分量表达式；

第二问--运动学积分问题：

已知速度及初位置求某时

刻质点位置

d2

解

（1）因ωR＝v,且（t）kt2得

vR（t）Rkt2，

将t＝2.0ｓ时v4m·

ｓ-1代入上式解得k2，

所以ωω（t）2t2。

则t′＝0.5ｓ时的角速度、角加速度和切向加速度分别为

21

2t20.5rads1

atRd4Rt1

tdt

241

anR24Rt4

2）在2.0ｓ内该点所转过的角度

1-24一质点在半径为0.10m的圆周上运动,其角位置为θ24t,式中θ的单位为rad,t的单位为ｓ．

（1）求在t＝2.0

ｓ时质点的法向加速度和切向加速度．

（2）当切向加速度的大小恰等于总加速度大小的一半时,θ值为多少？

（3）t为多少时,法

向加速度和切向加速度的值相等？

圆周运动的加速度的切向分量及法向分量表达式．

此时刻的角位置为

324Rt

224

R212t2

t＝0.55ｓ

第二章牛顿定律

DACB

F的作用下沿x轴作直线运动,已知F＝120t＋40,式中F的单位为N,t的单位的ｓ．在5.0m处,其速度v＝9m·

ｓ-1．求质点

（1）在任意时刻的速度和

（2）位置．

-14一质量为10kg的质点在力t＝1时,质点位于x

1）由牛顿第二定律有

牛顿第二定律应用：

已知力及初速度（或某个时刻的速度）求任意时刻速度解

aF12t4

m

（2）由v

dx

及上面所求得的速度表达式，

vdt（6t24t1）dt

32

x2t32t2tC2

又由题目条件，t＝1ｓ时x＝5，代入上式中解得C2

2，于是可得质点运动方程为

2t3

2t2t2。

2-20质量为45.0kg的物体,由地面以初速60.0m·

ｓN/（m·

ｓ-1）．

（1）求物体发射到最大高度所需的时间。

已知力及初速度（或某个时刻的速度）度的表达式，只需要得到速度和时间之间的关系式。

解

（1）物体在空中受重力mg和空气阻力Fr＝kv作用而减速．

-1竖直向上发射,物体受到空气的阻力为Fr＝kv,且k＝0.03

求任意时刻速度。

在这个题目中，并不需要得到速

由牛顿定律得

mg

dvm

将上式改写成微元等式，有dt

g

dv

k

v

dv，积分得到k

gv

mkln（g

mkv）

C。

由题意，将t=0时速度为v0

60代入上式，有

mkln（gk

mkv0）

，即

mln（gkv0），

km

故有时间和速度的关系为m

tkln（g

v0）m

kln（g

v）m

ln（

k1

v0

mg）

k）

又当物体发射到最大高度时，速度

0，所以有此时所对应时间为

kv0

2-22质量为m的摩托车,在恒定的牵引力F的作用下工作,并受到一定的阻力，使得它能达到的最大速率是以下情况从摩托车由静止加速到vm/2所需的时间：

（1）阻力Fr＝kv2；

（2）阻力Fr＝kv，其中k为未知比例系数。

已知力及初速度（或某个时刻的速度）求任意时刻速度。

和上题一样，在这个题目中，并

不需要得到速度的表达式，只需要得到速度和时间之间的关系式。

解

（1）设摩托车沿x轴正方向运动,在牵引力F和阻力Fr同时作用下,由牛顿定律有

tmln1

6.11s。

vm

试计算

当加速度a＝dv/dt＝0时,摩托车的速率最大,此时牵引力和阻力相抵消，因此可得

代入上式中有

Fkv2

k＝F/vm2

F1v2vm

mdv，

将上式改写成微元等式，并利用1

1v2vm

Ftvmln（1v）m2vm

v2mln（1

1有

v）

F

1v2

（dv

21vm

dvv）

，两边积分有

1vvmln（21vm

vm）

由t=0时，v=0，代入上式，有C=0。

则当v=vm/2时，有2F

1

tvmln（

2Fm1

21）

2F

vmln3

2）设摩托车沿x轴正方向运动,在牵引力F和阻力Fr同时作用下,由牛顿定律有

kvmdv

F1v

k＝F/vm

将上式改写成微元等式，有Fdt

dv，两边积分有

1v

vmln（1

由t=0时，v=0，代入上式，有C=0。

则当v=vm/2时，有t

mFvmln（1

12）

Fvm

ln2

第三章动量守恒定律和能量守恒定律

T1，T3、4、5：

CCDC

3-6一架以3.0×

102m·

ｓ-1的速率水平飞行的飞机,与一只身长为0.20m、质量为0.50kg的飞鸟相碰．设碰撞后飞鸟的尸体与飞机具有同样的速度,而原来飞鸟对于地面的速率甚小,可以忽略不计．试估计飞鸟对飞机的冲击力（碰撞时间可用飞鸟身长被飞机速率相除来估算）．

质点动量定理的应用：

已知速度变化求平均作用力

解以飞鸟为研究对象,取飞机运动方向为x轴正向．由动量定理得

FΔtmv0

式中F′为飞机对鸟的平均冲力,等式右边的0指小鸟的初始动量忽略不计，而身长为20cm的飞鸟与飞机碰撞时间约为Δtl/v,以此代入上式可得

Fmv2.55105N

l

根据作用力和反作用力定律，则鸟对飞机的平均冲力为

FF2.55105N

3-8Fx＝30＋4t（式中Fx的单位为N,t的单位为s）的合外力作用在质量m＝10kg的物体上,试求：

（1）在开始2ｓ内此力

的冲量；

（2）若冲量I＝300N·

s,此力作用的时间；

（3）若物体的初速度v1＝10m·

s-1,方向与Fx相同,在t＝6.86s时,此物体的速度v2．

冲量的定义，质点动量定理的积分形式

解

（1）由冲量定义It2Fdt，有

t1

I304tdt30t2t20268Ns

（2）由I＝300＝30t＋2t2,解此方程可得

t＝6．86s（另一解t<

0不合题意已舍去）

t2

（3）由动量定理,IFdtmv2mv1，t1

又由I30t2t2可知t＝6．86s时I＝300N·

s,

将I、m及v1代入可得

0处运动到x＝L处的过程中力F对质点所作功和质点在x＝L处的速率．

3-17质量为m的质点在外力F的作用下沿Ox轴运动,已知t＝0时质点位于原点,且初始速度为零．设外力F随距离变化规律为FF0F0x．试求质点从x

功的定义，动能定理

W1mv

L处的质点速率为

3ct2

代入F（v）＝kv2,得到物体所受阻力的大小和时间关系为

功的定义

解水桶在匀速上提过程中,拉力F与水桶重力P平衡,有

F＋P＝0

（在图示所取坐标下,）（注：

考试时括号文字不写）记初始时刻水桶内水的质量为m0，则水桶重力随位置的变化关系为

Pm0g0.2gy

其中y为水桶的高度，以井底为y=0。

则由功的定义Wy2Fdy，有人对水桶的拉力的功为

y1

l10

WFdym0g0.2gydy900J

3-21一质量为0.20kg的球,系在长为2.00m的细绳上,细绳的另一端系在天花板上．把小球移至使细绳与竖直方向成30°

角的位置,然后从静止放开．求：

（1）在绳索从30°

角到0°

角的过程中,重力和张力所作的功；

（2）物体在最低位置时的动能和速率；

（3）在最低位置时的张力．

势能定义，重力势能函数，机械能守恒：

已知某一过程质点的初始及末位置，求功、动能变化、速度变化等；

圆周运动和受力关系

解

（1）张力由于和小球运动方向垂直，故做功为零。

由保守力做功和势能的关系,则重力做功有WEPEP1EP2。

又若将小球最低点取为势能零点，

重力势能函数为EP（）mghmgl1cos。

将1300，200代入公式，有重力做功为

又由初始时动能为零Ek1

0,故在最低位置时，亦即在

00时的动能为

Ek2Ek

2Ek1

EkEPW0.53J

小球在最低位置的速率为

EP

（3）当小球在最低位置时,记张力为FT，则由牛顿定律可得

mv

FTmgl，

其中Fnmv为圆周运动的法向力，则有

nl

FTmg2.49N

第四章刚体的转动

T5：

B

4－28我国1970年4月24日发射的第一颗人造卫星，其近地点为4.39×

105m、远地点为2.38×

106m.试计算卫星在近地点和远地点的速率.（设已知卫星绕地球运动过程角动量守恒。

）

角动量守恒，引力势能的函数，机械能守恒

解记近地点处卫星离地球距离为r1，速率为v1，远地点处则分别为r2、v2。

由于卫星绕地球运动轨迹为以地球为焦点的椭圆，且在近地点和远地点处的速度方向与地球到卫星连线相垂直，则由角动量

又因卫星与地球系统的机械能守恒，故有

式中mＥ和m分别为地球和卫星的质量。

将v2r1v1代入上式有

r13

v21v16.31103ms

4－30如图所示，一质量为m的小球由一绳索系着，以角速度ω0在无摩擦的水平面上，作半径为r0的圆周运动.如果在绳的另一端作用一竖直向下的拉力，使小球作半径为r0/2的圆周运动.试求：

（1）小球新的角速度；

（2）拉力所作的功.

5

角动量守恒，质点动能定理

运动时角动量相等Lmr020m（r0）2

故新的角速度为40

（2）当小球作半径为r0的圆周运动时速度为v0r00，作半径为r0/2的圆周运动时速度为vr2r00。

由动能定理，

有

322

W

Ek

mv0

mr00。

k2

200

第五章

静

电场

T1-3：

BBD

5－9若电荷Q均匀地分布在长为L的细棒上.求在棒的延长线，且离棒中心为r>

0处的P点上的

（1）电场强度E

（2）电势V，以无穷远处电势为0.

连续带电体电场强度、电势求解：

1）电荷元积分法解：

（1）沿着带电细棒建立坐标轴x，以棒的中点为坐标原点。

在棒上任取一个线微元dx，其电荷元为dq，由均匀带电有dq＝

Qdx/L。

记该电荷元的坐标为x，离P点距离为r，则有rrx，该电荷元对P点所产生的电场强度大小为

整个带电体在点P的电场强度为

2）沿着带电细棒建立坐标轴x，以棒的中点为坐标原点。

在棒上任取一个线微元dx，其电荷元为dq，由均匀带电有dq＝Qdx/L

记该电荷元的坐标为

x，离P点距离为r

，则有r

rx，该电荷元对P点所产生的电势大小为

dVdq

Qdx，

40r'

4

0L（rx）

则整个带电体在点P

的电势大小为

VdV

dq

L/2

Qdx

，（注意积分时r是常数）

40r'

L/24

0L（r

x）

Q

r

解得V

ln

。

4π

0Lr

6－21两个带有等量异号电荷的无限长同轴圆柱面，半径分别为R1和R2>

R1），单位长度上的电荷为λ.求离轴线为r处

的电场强度：

（1）r<

R1，

（2）R1<

r<

R2，（3）r>

R2.

连续带电体电场强度求解：

2）高斯定理法

解作带电体的同轴圆柱面（半径为r，高为L）为高斯面，则由电荷分布对称性，在圆柱面侧面上任意一点电场强度大小相等，方向垂直于高斯面，而在圆柱面底面上电场强度方向与面相平行，无电通量。

因此，高斯面上的电通量和r处电场强度的

QinQin

关系为eES侧=E2πrL。

又由高斯定理eQin/0，则有E=inin，则对应于r为不同的位置：

0S侧2rL0

1）r<

R1，高斯面所包围的带电体为0，故有Qin0，E10

3）r>

R2，高斯面所包围的带电体正负相抵，净电荷为0故有Qin0，E30。

5－22如图所示，有三个点电荷Q1、Q2、Q3沿一条直线等间距分布且Q1＝Q3＝Q.已知其中任一点电荷所受合力均为零，求在固定Q1、Q3的情况下，将Q2从点O移到无穷远处外力所作的功.

电势差和静电力做功的关系

点电荷的电势，电势定义：

电势和电势能的关系，电势和电场强度的关系，

解由题意Q1所受的合力为零及库仑力的定义Fq1q22，有

4π0r2

Q1Q22Q1Q320

4πε0d4πε02d

11

解得Q2Q3Q

2434

由于Q1、Q3都是点电荷，则由点电荷电势的公式Vq及电势叠加原理得Q1、Q3在点O的电势

4π0r

Q1Q3Q

4πε0d4πε0d2πε0d

则有Q2在点O的电势能为EP0Q2V0。

将Q2从点O推到无穷远处（V0）的过程中，由电场力作功与电势能差的关系有电场力做功为，

WEP0EPQ2V0VQ2V0

补充例题：

均匀带电球体的电场强度

设有一半径为R，均匀带电为Q的球体，求球体内部任意一点P（距离球心r<

R）的电场强度。

（球体外部一点的电场强度求法和P169例1相同）

解作带电体的同心球面（半径为r）为高斯面，则由电荷分布对称性，在该球面上任意一点电场强度大小相等，方向垂直于

高斯面，因此，高斯面上的电通量和r处电场强度的关系为eES球=E4πr2。

又由高斯定理eQin/0，则有

Qin2。

又由半径为r的高斯面所包围的球体的体积为4r，及球体均匀带电，有高斯面内所包围电量为：

r203

E（Rr）3QrQ

E23

4r204R30

第十三章热力学基础

T1-5：

BBCDA

3523

13-10一定量的空气，吸收了1.71103J的热量，并保持在1105Pa下膨胀，体积从1102m3增加到

23

1.510m，问空气对外做了多少功？

它的内能改变了多少？

四个准静态过程的性质---等压过程。

523解：

由题意，该过程为等压过程，其中压强为P110Pa，初末状态体积分别为V1110m，

233

V21.5102m3，过程中吸热为Q1.71103J。

由等压过程做功公式，气体对外做功为

P

VP（V2V1）500J；

由热力学第一定律：

QEW，

代入热量和功的值有内能变化为E

1.21103J。

13-211mol氢气在温度为300K，体积为0.025m3的状态下，经过

（1）等压膨胀；

（2）等温膨胀；

（3）绝热膨胀。

气体的体积都变为原来的两倍。

试分别计算这三种过程中氢气对外作的功以及吸收的热量。

四个准静态过程的性质

解：

由题目给出条件，氢气为双原子气体，分子自由度i5，绝热系数1.4，气体的初状态为T1300K，

V10.025m3，末状态体积为V22V1。

（1）等压过程：

气体对外做功为WPVP（V2V1），又由理想气体物态方程（v1），PV1RT1，解得

RT13

则有WP（V2V1）1（V2V1）RT12.49103J；

V1

由摩尔定压热容的定义有吸收热量为QCP,m（T2T1）（i1）R（T2T1），又由理想气体物态方程（v1），

PV1RT1，PV2RT2有

iii73

Q

（1）R（T2T1）

（1）P（V2V1）

（1）WW8.73103J

2222

（2）等温过程：

EiRT0，由热力学第一定律

2气体吸热等于做功，且QWRTlnV2RTln21.73103J。

i11（3）绝热过程：

Q0，由热力学第一定律WER（T2T1），需要求T2。

又由绝热关系T1V11T2V21，

221

亦即T2T1（V1）13000.50.4227K，故有V2

i3WERT2.58.31731.52103J。

13-31在夏季，假定室外温度恒定为37.00C，启动空调使室内温度始终保持在17.00C.如果每天有2.51108J的热量通过热传导等方式自室外流入室内，则空调一天耗电多少？

（设该空调制冷机的制冷系数为同条件下的卡诺制冷机制冷系数的60%）

制冷系数定义，卡诺制冷系数

由题目给出条件，高温热源温度为T1310.15K，低温热源T2290.15K，每天输入低温热源热量为

8

Qin2.51108J。

又由题意，制冷机制冷系数为

e0.6e卡0.6T28.70，且根据制冷系数定义eQ2，其中Q2为由低温热源输出的热量，为求W，需要知

T1T2W

道Q2。

由于制冷机工作状态下要令低温热源温度不变，所以要外界输入热量Qin完全输出到制冷机，也就是Q2Qin2.51108J，故有WQ2Qin2.89107J8kWh。

v6t24tC1

3-19一物体在介质中按规律x＝ct3作直线运动,c为一常量．设介质对物体的阻力F（v）＝kv2，其中k为已知阻力系数。

试求物体由x0＝0运动到x＝l时,阻力所作的功．

解由运动方程x＝ct3,可得物体的速度