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1、0.75 ，于是可得质点运动方2t2112t0.7512 bt 2 运动 ,v0 、2为何值时总加速度在数值上等于 b？（3） 当加速度达到 b 时 ,质点已沿圆周运行了多少圈？1 -22 一质点沿半径为 R 的圆周按规律 s v0tb 都是常量 （1） 求 t时刻质点的总加速度大小； （2） t知识点： 圆周运动的加速度的切向分量及法向分量表达式本题采用线量的方式来描述圆周运动的运动方程。 解 （1） 质点作圆周运动的速率为其加速度的切向分量和法向分量分别为故加速度的大小为（2） 要使 a an2 at2 b ,由 b2 （v0R2bt） b 可得t v0 b （3） 从t0 开始到 tv0

2、 /b 时,质点经过的路程为因此质点运行的圈数为2 v0 4bRk t2 ，（2）取t0为4.0 m-1求： （1） 该轮在 t 0.5的角速度 ,轮缘一点的切向加速度和总加速度； （2）该点在 2.0内所转过的角度分析-题目的另一种描述方法：一质点（即题目中 轮缘一点 ）作半径为 R=0.50 m的圆周运动，且 （t）dt其中k为未知常数。在 t2.0 时v 4 m-1 求： （1）在t0.5时质点的角速度 ,切向加速度和法向加速度；时 0 0 ，求 t 2.0时的 （t 2） 。第一问 - 圆周运动的加速度的切向分量及法向分量表达式；第二问 - 运动学积分问题：已知速度及初位置求某时刻质点

3、位置d2解 （1）因 Rv, 且 （t） k t2 得v R （t） R k t2 ，将 t 2.0 时 v 4 m -1 代入上式解得 k 2 ，所以 （t） 2t2 。则t0.5 时的角速度、角加速度和切向加速度分别为212t2 0.5 rad s 1at Rd 4Rt 1t dt2 4 1an R 2 4Rt42）在 2.0内该点所转过的角度1 -24 一质点在半径为 0.10 m的圆周上运动 ,其角位置为 2 4t ,式中的单位为 rad,t 的单位为 （1） 求在t 2.0时质点的法向加速度和切向加速度 （2） 当切向加速度的大小恰等于总加速度大小的一半时 , 值为多少？ （3） t

4、 为多少时 ,法向加速度和切向加速度的值相等？圆周运动的加速度的切向分量及法向分量表达式此时刻的角位置为3 24Rt2 2 4R2 12t 2t 0.55第二章 牛顿定律 DACBF 的作用下沿 x 轴作直线运动 ,已知F 120t 40,式中F 的单位为 N,t 的单位的在 5.0 m处,其速度 v9 m-1 求质点（ 1）在任意时刻的速度和（ 2）位置-14 一质量为 10 kg 的质点在力 t 1 时,质点位于 x1）由牛顿第二定律有牛顿第二定律应用：已知力及初速度（或某个时刻的速度）求任意时刻速度 解a F 12t 4m（2）由 vdx及上面所求得的速度表达式，vdt （6t2 4t

5、1）dt32x 2t3 2t 2 t C2又由题目条件， t 1时 x 5，代入上式中解得 C22，于是可得质点运动方程为2t32t2 t 2 。2 -20 质量为 45.0 kg 的物体 , 由地面以初速 60.0 m N/（ m -1 ）（1） 求物体发射到最大高度所需的时间。已知力及初速度（或某个时刻的速度） 度的表达式，只需要得到速度和时间之间的关系式。解 （1） 物体在空中受重力 mg和空气阻力 Fr kv 作用而减速-1 竖直向上发射 ,物体受到空气的阻力为 Fr kv, 且k 0.03求任意时刻速度。在这个题目中，并不需要得到速由牛顿定律得mgdv m将上式改写成微元等式，有 d

6、tgdvkvdv ，积分得到 kgvmk ln（gmk v）C。由题意，将 t=0时速度为 v060 代入上式，有mk ln（g kmk v0 ），即mln（g k v0） ，km故有时间和速度的关系为 mt k ln（gv0） mk ln（gv） mln（k1v0mg ）k）又当物体发射到最大高度时，速度0 ，所以有此时所对应时间为kv02 -22 质量为 m 的摩托车 ,在恒定的牵引力 F的作用下工作 , 并受到一定的阻力，使得它能达到的最大速率是 以下情况从摩托车由静止加速到 vm/2所需的时间： （1） 阻力Fr kv2；（ 2）阻力 Fr kv ，其中 k为未知比例系数。已知力及初速

7、度（或某个时刻的速度）求任意时刻速度。和上题一样，在这个题目中，并不需要得到速度的表达式，只需要得到速度和时间之间的关系式。解 （1）设摩托车沿 x 轴正方向运动 ,在牵引力 F和阻力 Fr 同时作用下 ,由牛顿定律有t mln 16.11s。vm试计算当加速度 a dv/dt 0 时,摩托车的速率最大 ,此时牵引力和阻力相抵消，因此可得代入上式中有F kv2kF/vm2F 1 v2 vmmdv，将上式改写成微元等式， 并利用 11 v2 vmFt vm ln（1 v ） m 2 vmv2m ln（11有v）F1 v2（ dv21 vmdvv），两边积分有1v vm ln（ 21 vmvm ）

8、由t=0时， v=0 ，代入上式，有 C=0 。则当v=v m/2 时，有 2F1t vm ln（2F m 121）2Fvm ln32）设摩托车沿 x 轴正方向运动 ,在牵引力 F和阻力 Fr 同时作用下 ,由牛顿定律有kv mdvF 1 vkF/vm将上式改写成微元等式，有 F dtdv ，两边积分有1vvm ln（1由t=0时， v=0，代入上式，有 C=0。则当v=v m/2 时，有 tmF vm ln（112）F vmln 2第三章 动量守恒定律和能量守恒定律T1，T3、 4、 5：CCDC3-6 一架以 3.0 102 m -1 的速率水平飞行的飞机 ,与一只身长为 0.20 m、质

9、量为 0.50 kg 的飞鸟相碰设碰撞后飞鸟的 尸体与飞机具有同样的速度 ,而原来飞鸟对于地面的速率甚小 ,可以忽略不计 试估计飞鸟对飞机的冲击力 （碰撞时间可用飞鸟身 长被飞机速率相除来估算 ）质点动量定理的应用：已知速度变化求平均作用力解 以飞鸟为研究对象 ,取飞机运动方向为 x 轴正向由动量定理得F t mv 0式中 F为飞机对鸟的平均冲力 ,等式右边的 0指小鸟的初始动量忽略不计， 而身长为 20cm 的飞鸟与飞机碰撞时间约为 t l /v,以此代入上式可得F mv 2.55 105 Nl根据作用力和反作用力定律，则鸟对飞机的平均冲力为F F 2.55 105 N3-8 Fx 304t

10、（式中Fx 的单位为 N,t 的单位为 s）的合外力作用在质量 m10 kg 的物体上 ,试求： （1） 在开始2 内此力的冲量； （2） 若冲量I 300 Ns,此力作用的时间； （3） 若物体的初速度 v1 10 ms-1 ,方向与 Fx 相同,在t6.86s时,此物体的速 度v2 冲量的定义，质点动量定理的积分形式解 （1） 由冲量定义 I t2 Fdt ，有t1I 30 4t dt 30t 2t202 68 N s（2） 由I 300 30t 2t2 ,解此方程可得t 6 86 s（另一解 t0 处的P点上的（ 1）电场强度 E（2）电势 V ，以无穷远处电势为 0. 连续带电体电场强

11、度、电势求解： 1）电荷元积分法 解：（1）沿着带电细棒建立坐标轴 x，以棒的中点为坐标原点。在棒上任取一个线微元 dx ，其电荷元为 dq，由均匀带电有 dq Qdx/ L 。记该电荷元的坐标为 x，离 P点距离为 r ，则有 r r x ，该电荷元对 P点所产生的电场强度大小为整个带电体在点 P 的电场强度为2）沿着带电细棒建立坐标轴 x，以棒的中点为坐标原点。 在棒上任取一个线微元 dx，其电荷元为 dq，由均匀带电有 dq Qdx/ L记该电荷元的坐标为x，离 P点距离为 r，则有 rr x ，该电荷元对 P 点所产生的电势大小为dV dqQdx ，4 0r 40L（r x）则整个带电

12、体在点 P的电势大小为V dVdqL/2Qdx，（注意积分时 r 是常数）4 0rL/240L（rx）Qr解得 Vln。40L r621 两个带有等量异号电荷的无限长同轴圆柱面，半径分别为 R1 和R2 R1 ） ，单位长度上的电荷为 . 求离轴线为 r 处的电场强度： （1） r R1 ，（2） R1 r R2 . 连续带电体电场强度求解： 2）高斯定理法解 作带电体的同轴圆柱面（半径为 r ，高为 L ）为高斯面，则由电荷分布对称性，在圆柱面侧面上任意一点电场强度大小相 等，方向垂直于高斯面，而在圆柱面底面上电场强度方向与面相平行，无电通量。因此，高斯面上的电通量和 r 处电场强度的Qin

13、 Qin关系为 e ES侧=E 2rL 。又由高斯定理 e Qin / 0，则有 E= in in ，则对应于 r为不同的位置：0S侧 2 rL 01）r R2，高斯面所包围的带电体正负相抵，净电荷为 0故有 Qin 0， E3 0。5 22 如图所示，有三个点电荷 Q1 、Q2 、 Q3 沿一条直线等间距分布且 Q1 Q3 Q. 已知其中任一点电荷所受合力均为 零，求在固定 Q1 、Q3 的情况下，将 Q2从点O 移到无穷远处外力所作的功 .电势差和静电力做功的关系 点电荷的电势，电势定义：电势和电势能的关系，电势和电场强度的关系，解 由题意 Q1 所受的合力为零及库仑力的定义 F q1q2

14、 2 ，有40r2Q1 Q2 2 Q1 Q3 2 04 0d 40 2d11解得 Q2 Q3 Q2 4 3 4由于Q1 、Q3都是点电荷，则由点电荷电势的公式 V q 及电势叠加原理得 Q1 、Q3 在点 O 的电势40rQ1 Q3 Q4 0d 40d 20d则有Q2在点O 的电势能为 EP0 Q2V0 。将Q2 从点O 推到无穷远处（ V 0 ）的过程中，由电场力作功与电势能差的关系有电场力做功为，W EP0 EP Q2 V0 V Q2V0补充例题：均匀带电球体的电场强度设有一半径为 R，均匀带电为 Q 的球体，求球体内部任意一点 P（距离球心 rR ）的电场强度。 （球体外部一点的电场强度

15、求 法和 P169 例 1 相同）解 作带电体的同心球面（半径为 r ）为高斯面，则由电荷分布对称性，在该球面上任意一点电场强度大小相等，方向垂直于高斯面，因此，高斯面上的电通量和 r处电场强度的关系为 e ES球=E 4r2 。又由高斯定理 e Qin / 0，则有Qin2 。又由半径为 r 的高斯面所包围的球体的体积为 4 r ，及球体均匀带电， 有高斯面内所包围电量为： r 2 0 3E （Rr ）3Q rQE 2 34 r 2 0 4 R3 0第十三章 热力学基础T1-5 ： BBCDA3 5 2 313-10 一定量的空气，吸收了1.71 103J 的热量，并保持在1 105Pa 下

16、膨胀，体积从1 10 2m3增加到231.5 10 m ，问空气对外做了多少功？它的内能改变了多少？四个准静态过程的性质 - 等压过程。5 2 3 解：由题意，该过程为等压过程，其中压强为 P 1 10 Pa ，初末状态体积分别为V1 1 10 m ，2 3 3V2 1.5 10 2 m3 ，过程中吸热为 Q 1.71 103 J 。由等压过程做功公式，气体对外做功为PV P（V2 V1） 500J ；由热力学第一定律： Q E W ，代入热量和功的值有内能变化为 E1.21 103J 。13-21 1mol 氢气在温度为 300K，体积为 0.025m3 的状态下，经过（ 1）等压膨胀； （

17、2）等温膨胀；（ 3）绝热膨胀。气体的 体积都变为原来的两倍。试分别计算这三种过程中氢气对外作的功以及吸收的热量。四个准静态过程的性质解：由题目给出条件，氢气为双原子气体，分子自由度 i 5 ，绝热系数 1.4 ，气体的初状态为 T1 300K ，V1 0.025m3 ，末状态体积为 V2 2V1 。（ 1） 等压过程：气体对外做功为 W P V P（V2 V1） ，又由理想气体物态方程（ v 1）， PV1 RT1 ，解得RT1 3则有W P（V2 V1） 1 （V2 V1） RT1 2.49 103J；V1由摩尔定压热容的定义有吸收热量为 Q CP,m（T2 T1） （i 1）R（T2 T

18、1） ，又由理想气体物态方程 （v 1），PV1 RT1， PV2 RT2 有i i i 7 3Q （ 1）R（T2 T1） （ 1）P（V2 V1） （ 1）W W 8.73 103J2 2 2 2（2） 等温过程： E i R T 0 ，由热力学第一定律2 气体吸热等于做功，且 Q W RT lnV2 RTln 2 1.73 103J 。i 1 1 （3） 绝热过程： Q 0 ，由热力学第一定律 W E R（T2 T1） ，需要求 T2 。又由绝热关系 T1V1 1 T2V2 1，2 2 1亦即 T2 T1（V1 ） 1 300 0.50.4 227K ，故有 V2i3 W E R T 2

19、.5 8.31 73 1.52 103 J 。13-31 在夏季，假定室外温度恒定为 37.0 0 C ，启动空调使室内温度始终保持在 17.0 0 C .如果每天有 2.51 108J 的热量通 过热传导等方式自室外流入室内，则空调一天耗电多少？（设该空调制冷机的制冷系数为同条件下的卡诺制冷机制冷系数的 60%）制冷系数定义，卡诺制冷系数 由题目给出条件， 高温热源温度为 T1 310.15 K ，低温热源 T2 290.15K ，每 天输入低温热源热 量为8Qin 2.51 108J 。又由题意，制冷机制冷系数为e 0.6e卡 0.6 T2 8.70 ，且根据制冷系数定义 e Q2 ，其中 Q2 为由低温热源输出的热量，为求 W ，需要知T1 T2 W道 Q2 。由 于 制 冷机 工 作 状 态 下要 令 低 温 热 源 温度 不 变 ， 所 以要 外 界 输 入 热 量 Qin 完 全 输 出 到制 冷 机 ， 也就 是 Q2 Qin 2.51 108J ，故有 W Q2 Qin 2.89 107J 8kW h。v 6t 2 4t C13 -19 一物体在介质中按规律 x ct3 作直线运动 ,c 为一常量设介质对物体的阻力 F（v） kv2，其中 k为已知阻力系数。 试求物体由 x0 0 运动到 x l 时 ,阻力所作的功解 由运动方程 x ct3 ,可得物体的速度