数值分析课程设计Word文件下载.docx
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三、设计任务
利用复合Simpson公式计算定积分：
∫
其中ln（x）表示自然对数.
要求：
（1）通过理论分析，得到∫
1
xln（x）dx
xln（x）dx的值；
（2）选取10个不同的步长h=0.2,0.1,0.05,0.025,0.02,0.01,0.0125,0.01,0.005,0.0025,对
每一个步长，分别用复合中点公式和复合Simpson公式计算上述定积分，并将计算结
果和理论分析所得的值做比较（即给出计算所得值和理论所得值的差）。
（3）给出程序清单。
必须说明程序中哪些是主程序，哪些是子程序；
程序中必须有详
细的注释和参数说明；
必须简明扼要地说明如何运行程序。
四、设计说明书（或论文）内容
前言、问题描述、具体理论知识点、具体实例、程序清单、程序实现、参考
文献、总结、小组成员分工合作清单。
五、进度计划（列出完成项目设计内容、绘图等具体起始日期）
6月3-5日网上查阅资料，6月6-18日上机16节，编程并上机实现。
6月20
日上缴试验报告以及电子文件（试验报告以及原程序）。
指导教师（签名）：
教研室主任（签名）：
一、前言
数值计算方法是一种利用计算机解决数学问题的数值近似解方法，特别是无法用人工计算的数学问题。
数值计算方法常用于矩阵高次代数方程矩阵特征值与特征向量的数值解法，插值法，线性方程组迭代法，函数逼近，数值积分和微分，常微分方程初值问题数值解等。
作为数学与计算机之间的一条通道，数值计算的应用范围已十分广泛，作为用计算机解决实际问题的纽带，数值算法在求解线性方程组，曲线拟和、数值积分、数值微分、迭代方法、插值法、拟合法、最小二乘法等应用广泛。
数值计算方法是和计算机紧密相连的，现代计算机的出现为大规模的数值计算创造了条件，集中而系统的研究适用于计算机的数值方法是十分必要的。
数值计算方法是在数值计算实践和理论分析的基础上发展起来的。
通过数值计算方法与实验将有助于我们理解和掌握数值计算方法基本理论和相关软件的掌握，熟练求解一些数学模和运算，并提高我们的编程能力来解决实际问题。
在科学与工程问题中,经常需要计算各种积分。
在微分中的大多数情况下,被积函数的原函数不易求出，甚至不能用初等函数表示,因此积分的计算有困难。
另外，在有些应用问题中我们不知道被积函数f（x）的表达式，只知道它在一些离散点处的值。
在这些情况下，积分的近似数值计算有很重要的意义。
二、问题描述
利用复合Simpson公式计算积分：
其中ln（x）表示自然对数。
（1）、通过理论分析，得到
的值；
（2）、选取10个步长h=0.2,0.1,0.05,0.025,0.02,0.0125,0.01,0.005,0.0025,0.001.对每一个步长，分别用复合中点公式和复合Simpson公式计算上述定积分，并将计算结果和理论分析所得的值做比较（即给出计算所得值和理论所得值的差）；
（3）、给出程序清单。
程序中必须有详细的注释和参数说明；
必须简明扼要的说明如何运行程序。
为对比复合Simpson数值积分公式和复合中点数值积分公式的优劣分析，可以先对
运用复合中点公式选取相应步长进行计算，再用复合Simpson数值积分公式进行计算。
将计算结果和理论分析的值进行差值比较，通过计算机编程实现可视的优劣对比结果。
三、具体理论和知识点
基本原理：
1、中点公式计算积分问题是最基本的方法，设f（x）
C[a,b]，且已知x=（a+b）/2处的函数值f（（a+b）/2），则得到中点求积公式：
事实上，单独的中点公式是不会被用来作为数值积分的方法。
因此，如果把积分区间等分为很多小区间，这就得到复合中点公式。
对于积分区间[a,b]，要分成一些小区间。
引进等距分点：
，
，i=0,1,2,...,n
并记：
根据定积分的性质，有：
在每个小区间
上使用中点公式得：
2、Simpson公式是比较实用的积分方法，已知f（x）
C[a,b]，令
=a，
=（a+b）/2，
=b三点的函数值f（a），f（（a+b）/2）和f（b），则可以作f（x）的二次插值多项式
，即：
从而有：
同理，引进等距分点并根据定积分的性质得到在每个小区间
上的复合Simpson公式：
复合求积公式对应用于分段多项式逼近被积函数f（x），然后作数值积分。
四、程序清单
1、复合中点公式计算定积分源程序
主函数（以tixing_main.m保存）：
%%复合中点计算函数积分主函数
disp（'
步长为0.2数值积分为'
）
s_1=tixing（0.2）
步长为0.1数值积分为'
s_2=tixing（0.1）
步长为0.05数值积分为'
s_3=tixing（0.05）
步长为0.025数值积分为'
s_4=tixing（0.025）
步长为0.02数值积分为'
s_5=tixing（0.02）
步长为0.0125数值积分为'
s_6=tixing（0.0125）
步长为0.01数值积分为'
s_7=tixing（0.01）
步长为0.005数值积分为'
s_8=tixing（0.005）
步长为0.0025数值积分为'
s_9=tixing（0.0025）
步长为0.001数值积分为'
s_10=tixing（0.001）
%采用符号法计算出积分的严格结果
真实结果为：
'
fenxi_s=int（'
sqrt（x）*log（x）'
0,1）
%取前12位有效数字
s=vpa（fenxi_s,12）
%误差情况
TOL=[s_1-s;
s_2-s;
s_3-s;
s_4-s;
s_5-s;
s_6-s;
s_7-s;
s_8-s;
s_9-s;
s_10-s;
]
方法函数（以tixing.m保存）：
%复合中的计算法计算积分
functions=tixing（h）
%a，b为积分区间
%h为区间步长
a=0;
b=1;
n=（b-a）/h;
s=0;
%循环
fork=0:
（n-1）
s=s+fun_tixing（a+h/2+k*h）;
end
s=h*s;
函数文件（以fun_tixing.m保存）：
%计算函数
functionf=fun_tixing（x）
f=sqrt（x）*log（x）;
2、复合Simpson公式计算定积分源程序
主函数（以xps_main.m保存）：
%%复合Simpson公式计算函数积分主函数
%复合Simpson公式计算法计算积分
s=4*fun_tixing（a+h/2）+fun_tixing（（a+1）*h）;
fork=1:
s=s+4*fun_tixing（a+h/2+k*h）+fun_tixing（a+（k+1）*h）+fun_tixing（a+k*h）;
end
s=（h/6）*s;
五、程序实现
1、复合中点公式计算定积分运行程序：
>
clear
clc
tixing_main
回车得到：
步长为0.2数值积分为
s_1=-0.4552
步长为0.1数值积分为
s_2=-0.4494
步长为0.05数值积分为
s_3=-0.4466
步长为0.025数值积分为
s_4=-0.4454
步长为0.02数值积分为
s_5=-0.4451
步长为0.0125数值积分为
s_6=-0.4448
步长为0.01数值积分为
s_7=-0.4447
步长为0.005数值积分为
s_8=-0.4446
步长为0.0025数值积分为
s_9=-0.4445
步长为0.001数值积分为
s_10=-0.4445
fenxi_s=-4/9
s=-0.444444444444
TOL=
.010*********
-0.0049704266944861383604732478491695
-0.0021860177051453464093229255016393
-0.00092891520754243314905674797077317
-0.00070113981361505681399971454115239
-0.00038470720076858342062432402630456
-0.00028836912264093880986460735615928
-0.00011644401126418044378719660048027
-0.000046336890357132373252212892422719
-0.000013462478238443794764222366522333
2、复合Simpson公式计算定积分运行程序：
xps_main
s_1=-0.4298
s_2=-0.4386
s_3=-0.4422
s_4=-0.4436
s_5=-0.4438
s_6=-0.4441
s_7=-0.4442
s_8=-0.4443
s_9=-0.4444
s_10=-0.4444
fenxi_s=-4/9
TOL=
0.014663714171479738349491029475447
0.0058135953768720074729130405100097
0.0022778570007535272866632143629051
0.0008839879795395047233923409291112
0.00065064614329415595739324398860681
0.00034034172384741736883161447591029
0.00024993362548861000382903821415148
0.000095398992342090841334723699818099
0.000036215571143441119717366200037034
0.0000099935864512315207845889741822276
结果分析：
我们选取10个不同的步长，从结果中可以看出步长越细积分精度越高。
分别用复合中点公式和复合Simpson公式计算上述定积分，并将计算结果和理论分析所得的值做差值比较。
我们不难发现复合Simpson公式比复合中点公式的误差要小。
可以看出复合Simpson公式比复合中点公式能更好的逼近被积函数f（x）。
六、参考文献
[1]张平文，李铁军.数值分析.北京：
北京大学出版社，2007.
[2]徐瑞，黄兆东，等.MATLAB2007科学与工程分析.北京：
科学出版社，2007.
[3]宋叶志，贾东永.MATLAB数值分析与应用.北京：
机械工业出版社，2009.
[4]XX百科，数值积分，
七、总结
经过这次数值分析课程设计以及一学期的学习，在工程问题中经常会遇到一些积分问题，要找到原函数是很困难的，甚至有些更本不能用初等函数表示。
这时用数值方法求解比较理想。
通过这次课程设计，提高了我们对理论知识的理解并且掌握了使用计算机软件的基本技能。
同时各科相关的课程都有了全面的复习，独立思考的能力也有了提高。
这次的课程设计中不仅检验了所学习的知识，也培养了我们如何去把握一件事情，如何去做一件事情，又如何完成一件事情。
在设计过程中，与同学分工设计，和同学们相互探讨，相互学习，相互监督。
学会了合作，学会了理解，学会了做人与处世。
我们今天脚踏实地迈开的每一步，就是为明天能稳健地在社会大潮中奔跑打下坚实的基础。
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