六年级思维专项训练22图论原卷+解析Word文档格式.docx
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厘米.
5、
某城市的交通系统由若干个路口(下图中线段的交点)和街道(下图中的线段)组成,每条街道都连接着两个路口.所有街道都是双向通行的,且每条街道都有一个长度值(标在
图中相应的线段处).一名邮递员传送报纸和信件.要从邮局出发经过他所管辖的每一条街道最后返回邮局(每条街道可以经过不止一次).他合理安排路线.可以使得自己走过最短的总长度是。
6、明明、冬冬、兰兰、静静、思思、毛毛六人参加晚会.见面时每两人都要握一次手,当明明握了5次手,冬冬握了4次手.兰兰握了3次手,静静握了2次手,思思握了一次手,毛毛握了
次手.
7、
六个人传球,每
两人之间至多传一次.
那么这六个人最多共进行次传球.
8、有1007个花坛.其中任意两个花坛所在
位置的正中间都必须安装一个喷水龙头,那么
通过合理安排花坛的位置.最少安装多少个喷水龙头就够用了?
(花坛大小忽略不计)
9、若干台电脑联网,要求:
①任意两台间最多由一条电缆连接;
②任意三台间最多由两条电缆连接;
③两台电脑间如果没有电缆连接.则必须有另一台电脑和它们都连接有电缆,若按此要求最少有79条电缆.问:
(1)这些电脑的台数是多少台?
(2)这些电脑按要求联网,最多可以连多少条电缆?
10、平面上7个点,它们之间可以连接一些线段,使7个点中任意三点必存在两点有线段相
连.问最少要连几条线段?
证明尔的结论.
11、有一个三十人的议会,其中每两人要么是敌人,要么是朋友.已知每个人都恰好有6个敌人.现将这三十人中的任意三个人都组成一个
委
员会,如果某委员会中的三
人两两都是朋友,或两两都是敌人,则将该委员会称为“好委员会”求所有“好委员会”数量的最大值.
六年级思维训练22图论
参考答案
解:
【答案】
(如下图)
2、下图中小黑格
表示网络的结点,结点之间的连线表示它们有网线要联,连续标注的数字
【答案】17
【分析】
方法一:
经观察。
到结点B的信息流必然经
过E或D.经过E到B的信息流最大为7
(BE所能承载的最大信息流).从D到B的信
息流最大为10(DB所能承载的最大值与DFB
所能承载的最大值之和).所以最大信息量为17.
方法二:
从A到B有三条路线.分别是:
.A—C—D—B.A—C—D—F—B,A—C—E—B,每条路线上的最小数为此路线单位时间传递的最大信息量_所以最大信息量为4+7+6=l7.
3、某花园的小径如下图所示.一个人能不能从图中第1个点的位置出发
,不重复地走过所
如果能,请标出所经过各点的顺序(如:
【分析】必须重复的小径有三段。
一个人不可能从图中的第1个点的位置出发.
不重复地走过花园的所有小径.至少必须重
复的小径有3→4,5→6,7→8三段.
说明:
这是“一笔画”问题.我们知道,
任何平面图形都是由点和线组成的,图形中的点分为两类:
凡是从这个点出发的线的数目是偶数的叫做偶点;
凡是从这点出发的线的数目是奇数的叫做奇点.解决“一笔画”问题有三条规律:
(1)凡是仅由偶点组成的图形-一定可以一笔画;
画时也可以从任何一个偶点出发,最后又回到这个点.
(2)凡是只有两个奇点的图形,也一定可以一笔画;
画时只需从某个奇点出发,以另一个奇点为终点.
(3)非以上两种情况的图形,均不能一笔画.如果不能一笔画的图形有2n个奇点(n是大于1的自然数),我们采用添加n一1条连接对对奇点的线(或重复画这力一1条)的做法,使得新图形可以一笔画.这就是解决本题的思路.
另外,本题实质上可以转化为(如图b)一笔画的简单情况:
这里有2×
4
=8(个)奇点,即1、
2、3、4.5
、6、7、8,我们只需加3→4,5→6,7→8这三条弧线(如图c),很容易验证图b可以一笔画,如1→9→10→6→5→12→11→9→8→7→10→12→4→3→11→2.最后只需从第2点出发沿花园的边界画一个整圆,再回到2个点,就是原来问题的解答了.因此,重复的小径至少有三段弧.
还应指出,本题的解答不是唯一的.事实上.重复2→3,4→5,6→7三段弧,也可以画出图c,如1→9→10→6→7→10→12→4→5→12→11→2→3→11→9→8.
4、如下图所示,四个三边长度分别为3厘米、4厘米、5厘米的直角三角形拼成一个大
正方
形.从中去掉一
些线段,使得改动后的图形可以一笔画出,那么去掉的线段长度之和最小是
厘米.
【答案】7
【分析】有八个奇点,需要去掉三条
边剩余两个奇点.
无论去掉两条长度为3的和一条为1
的,还是去掉一条长度为5的和两条为1的,总相为7.
某城市的交通系统由若干个路口(下图中线段的交点)和街道(下图中的线段)组成,每条街道都连接着两个路口.所有街道都是双向通行的,且每条街道都有一个长度值(标在图中相应的线段处).一名邮递员传送报纸和信件.要从邮局出发经过他所管辖的每一条街道最后返回邮局(每条街道可以经过不止一次).他合理安排路线.可以使得自己走过最短的总长度是。
解:
【答案】46
【分析】根据一笔画的有关概念,
道路图中有6个奇点.邮递员不可能不重复地走遍
所有街道并返回邮局.但可以对道路图作一些处理,
相当于邮递员通过走重复的道路,完成一笔画,如
下图:
总路程为3×
10+2×
8=46.
6、明明、冬冬、
兰兰、静静、思思、毛毛六人参加晚会.见面时每两人都要握一次手,当明明握了5次手,冬冬握了4次手.兰兰握了3次手,静静握了2次手,
思思握了一次手,毛毛握了次手.
【答案】3
【分析】先分析明明,他握了5次手,即他与所有人都握了手,这样,排除与明明的握手后,
冬冬与其他人握手3次,兰兰2次,静静1次,思思一次都没有.然后分析思思,她跟明明之外的所有人都没握手,所以冬冬与明明思思之外的其他人握手3次,兰兰2次,静静1次,再用同样方式依次分析冬冬、静静、兰兰,即可得出毛毛握了3次手.
7、六个人传球,每两人之间至多传一次.那么这六个人最多共进行次传球.
【分析】如右图所示,我们记两人之间传一次球,就在两人之间连一条线段,接下来是在完全图一笔画分析,完全图有6个奇点,必须最少减去2条线段,才能一笔画出,
-2=13次.共
8、有1007个花坛.其中任意两个花坛所在位置的正中间都必须安装一个喷水龙头,那么
【答案】2011
【分析】选择一条直线,它不和任何两个花坛的连线垂直(因为直线有无穷多个方向,所以总能选出),把所有的花坛和喷水龙头投影到这条直线上,则花坛仍然有1007个.且喷水龙头数目不增加,
设花坛从一头起依次为P1.P2.….P1007.则把所有的喷水龙头按照下列方式进行分组:
Pl和P2的中点;
Pl和P3的中点;
Pl和P4的中点.P2和P3的中点;
Pl和P5的中点
.P2和P4的中点:
Pl和P6的中点.P2和P5的中点.P3和P4的中点:
Pl和P1006的中点.P2和P1005的中点,….P503和P504的中点:
Pl和P1007的巾点.P2和P1006的中点.….P503和P505的中点;
P2和Pl007的中点.P3和Pl006的中点.….P504和P505的中点;
Pl006和P1007的中点.
每一行的第一个喷水龙头互不重合.共有2011行,所以至少共有2011个喷水龙头,另一方面,如果等间隔排列,则显然每一行的全部重合,所以所求最小值为2011.
③两台电脑间如果没有电缆连接.则必须有另一台电脑和它们都连接有电缆,若按此要求
最少有79条电缆.问:
(3)这些电脑按要求联网,最多可以连多少条电缆?
【答案】(l)80:
(2)1600
【分析】将机器当成点,连接的电缆当成线.我们就得到一个图.如果从图上一个点出发,可以沿着线跑到图上任一个其他的点,这样的图就称为连通的图.条件③表明图是连通图
我们看一看几个点的连通图至少有多少条线.可以假定图没有圈(如果有圈,就在圈上去掉一条绂).从一点出发.沿线前进,已走过的点不再重复.那么走若干步后,必然走到一个点,不能
再继续前进,将这一点与连接这点的线去掉,考虑剩下的n-l个点的图,它仍然是连通的,用同样的办法又可去掉一个点及一条线.这样继续下去.最后只剩下一个点.因此
n个点的连通图至少有n-l条线(如果有圈,线的条数就会增加).并且从一点A向其他n-1个点各连一条线,这样的图恰好有n-1条线.
因此,
(1)的答案是,n=79+1=80.并且将一台计算机与其他79台各用一条线相连,就得到符合要求的联网
下面看看最多连多少条线,
在这80个点(80台计算机)中,设从A1引出的线最多,有k条,与A1相连的点是B1,B2,…,Bk,由于条件②.B1,、B2,、…、Bk。
之间没有线相连
设与A1不相连的点是A2、A3、…、Am。
.则m+k=80
而A2、A3、…、Am。
每一点至多引出k条线,图中至多有mk条线.因为
4×
m×
k=(m+k)²
-(m-k)²
(m+k)²
所以,m×
k≤1600即连线不超过1600条
另外,设80个点分为两组:
A1,A2,…,A40;
B1.B2,…,B40,第一组的每一点与第二组的每一点各用一条线相连,这样的图符合题目要求.共有40×
40=1600条线,因此,最多可连1600条线.
【答案】9
【分析】下图7点间连有9条线段且满足题中要求,故知所求的最小值不大于9.下面证明在满足要求的连线图中,至少要9条线段.
(1)如果存在一点A至多引出1条线段,则不与A相连的5点中,每两点之间都有连线-共有10条线.
(2)如果每点至少引出两条线段且点A恰引出两条线段AB、AC,则不与A相连的4点之间应有6条线段.点B至少要另外引出1条线,总共至少9条线.
(3)若每点至少有3条线,则7点共引出至少21条线,这时每条线段恰被计数两次,所以连线图中至少有11条线.
综上可知,最少要连9条线段.
11、有一个三十人的议会,其中每两人要么是敌人,要么是朋友.已知每个人都恰好有6个敌人.现将这三十人中的任意三个人都组成一个委员会,如果某委员会中的三人两
两都是朋友,或两两都是敌人,则将该委员会称为“好委员会”求所有“好委员会
”数量的最大值.
【答案】1990
【分析】将好委员会的全体记为X,所有其他的委员会所成的集合记为Y.集X和Y中的元素个数分别记为x和y,于是
z+y=
=4060①
对任一议员a,记有a参加的所有委员会所成的集合记为
,在
中,另两人同时为a的朋友或者敌人的委员会总数为
.对于30位议员来说.这种委员会共有268×
30=8040个.显然,在这个计数过程中.X中的每个委员会被计数3次.而y中的委员会则仅被计数1次,
故有3x+y=8040②
将①与②联立得1990.