高等教育自学考试网上辅导概率论与数理统计参数估计内容Word文档格式.docx
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【例7-1】对某型号的20辆汽车记录其每5L汽油的行驶里程(km),观测数据如下:
29.8 27.6 28.3 27.9 30.1 28.7 29.9 28.0 27.9 28.7
28.4 27.2 29.5 28.5 28.0 30.0 29.1 29.8 29.6 26.9
【答疑编号12070101】
(2)概率函数p(x;
θ)已知时未知参数的矩法估计
设总体具有已知的概率函数p(x;
θ1,…,θk),(θ1,…,θk)
是未知参数或参数向量,x1,…,xn是样本,假定总体的k阶原点矩μk存在,则对所有的j(0<
j<
k),μj都存在。
(3)若假设θ1,…,θk能够表示成μ1,…,μk的函数θj=θj(μ1,…,μk),则可给出诸θj的矩法估计。
例题2.P146
【例7-2】设总体为指数分布,其密度函数为
【答疑编号12070102】
这说明矩估计可能是不惟一的,这是矩法估计的一个缺点,此时通常应该尽量采用低阶矩给出未知参数的估计。
例题3.P147
【例7-3】设x1,…,xn是来自服从区间(0,θ)上的均匀分布U(0,θ)的样本,θ>
0为未知参数。
求θ的矩估计
。
【答疑编号12070103】
矩估计法处理三类问题:
第一,直接估计参数,第二,通过总体分布已知,但还有未知参数的情况下,对未知参数进行估计的时候,是要通过总体所服从的分布,找到未知参数和X之间的关系,然后对X进行估计,代进去对未知参数进行估计。
第三,未知参数的函数的估计。
小概率原理:
小概率事件,在一次试验中,几乎不可能发生。
在一次事件中就发生的事件,我们认为它是大概率事件。
(4)极大似然估计
设总体的概率函数为p(x,θ),
,其中θ是一个未知参数或未知参数向量,
是参数θ的取值范围,x1,x2,…xn是该总体的样本,将样本联合概率函数记为
,简记为
,
则称
为样本的似然函数.如果存在统计量
使得
为θ的极大似然估计.
例题4.P147
【例7-4】设有外形完全相同的两个箱子,甲箱中有99个白球和1个黑球,乙箱中有99个黑球和一个白球。
现随机地抽取一箱,并从中随机抽取一球,结果取得白球,问这球是从哪一个箱子中取出的?
【答疑编号12070104】
解:
不管是哪一个箱子,从箱子中任取一球都有两个可能的结果:
A表示取出白球,B表示取出黑球。
如果我们取出的是甲箱,则A发生的概率为0.99,而如果取出的是乙箱,则a发生的概率为0.01。
现在一次试验中结果A发生了,人们的第一印象就是:
“此白球(A)最像从甲箱取出的”,或者说,应该认为试验条件对事件A出现有利,从而可以推断这球是从甲箱中取出的。
这个推断很符合人们的经验事实,这里“最像”就是“极大似然”之意。
例题5.P147
【例7-5】设产品分为合格品与不合格品两类,我们用一个随机变量X来表示某个产品是否合格,X=0表示合格品,X=1表示不合格品,则X服从二点分布B(1,p),其中p是未知的不合格品率。
【答疑编号12070105】
总结计算方法:
①构造似然函数;
②求似然函数的对数.由于似然函数是以乘积形式构成,对数函数
是
的单调增加函数,则似然函数的对数与其有相同的极值点,所以在求导数之前先求似然函数的对数;
③用导数求似然函数对数的极值,得极大似然估计值.
例题6.P148
【例7-6】设一个试验有三种可能结束,其发生的概率分别为
p1=θ2,p2=2θ(1-θ),p3=(1-θ)θ2。
现做了n次试验,观测到三种结果发生的次数分别为n1,n2,n3(n1+n2+n3=n),求似然函数。
【答疑编号12070106】
例题7.P149
【例7-7】对正态总体N(μ,σ2),θ=(μ,σ2)是二维参数,设有样本x1,…xn,求似然函数。
【答疑编号12070107】
例题8.P149
【例7-8】
(1)设总体X服从泊松分布p(λ),求λ的极大似然估计;
【答疑编号12070108】
(2)设总体X服从指数分布E(λ),求λ的极大似然估计。
【答疑编号12070109】
例题9.P150
【例7-9】设x1,x2,…xn是总体的样本,已知总体的密度函数为
试分别求出θ的矩估计
和极大似然估计
.
【答疑编号12070110】
例题10.P150
【例7-10】设x1,…,xn是来自均匀总体U(0,θ)的样本,试求θ的极大似然估计。
类似地,当总体X~U(a,b)时,参数a、b的极大似然估计为
【答疑编号12070111】
极大似然估计的一个简单而有用的性质:
若
是θ的极大似然估计,则对任一θ的函数g(θ),它的极大似然估计为
,这就是极大似然估计的不变性。
例题11P151
【例7-11】设x1,x2,…xn是来正态总体N(μ,σ2)的样本,求标准差σ和概率P{X≤3}的最大似然估计。
【答疑编号12070112】
7.2 点估计的评价标准
1.相合性
(1)定义:
设
为未知参数,
是θ的一个估计量,n是样本容量,若对任何ε>
0,有
,
为参数θ的相合估计.
解释:
相合性被认为是对估计的一项最基本的要求.但是,由于此性质需要有n→∞的极限过程,所以,相合性适合的大样本估计的评价。
例题1.P152
【例7-12】设x1,x2,…是来自正态总体N(μ,σ2)的样本,则由大数定律及相合性定义知:
是μ的相合估计;
是σ2的相合估计;
也是σ2的相合估计。
证明:
是μ的相合估计。
【答疑编号12070201】
(2)相合性判定定理:
是θ的一个估计量,若
则称
例题2.P152
【例7-13】设x1,…,xn是来自均匀总体u(0,θ)的样本,证明θ的极大似然估计是相合估计。
【答疑编号12070202】
为了使用定理判断,我们下面求它的数学期望和方差。
2.无偏性
对于小样本,无偏性是一个常用的评价标准。
是θ的一个估计,θ的参数空间为
,若对任意
,有
为θ的无偏估计;
否则称为有偏估计.
无偏估计表示估计值与被估计量之间没有系统偏差.
例题3.P153
【例7-14】对任一总体而方,样本均值是总体均值的无偏估计。
当总体k阶矩存在时,样本k阶原点矩ak是总体k阶原点矩μk的无偏估计。
但对k阶中心矩则不一样,例如,二阶样本中心矩
就不是部体方差σ2的无偏估计。
【答疑编号12070203】
(2)几个有用的结论
①
的无偏估计;
②
,即
是σ2的渐进无偏估计;
③s2是σ2的无偏估计;
④若
为θ的无偏估计,一般地,除gθ是θ的线性函数外,
不是gθ的无偏估计.
所以,无偏性没有不变性。
3.有效性
是θ的两个无偏估计,如果对任意的
有
且至少有一个
使上式的不等号严格成立,则称
比
有效.
(2)解释:
这是在无偏估计中选择更好的估计的评价标准。
例题15.P154
【例7-15】设x1,…,xn是取自某总体的样本,记总体均值为μ,总体方差为σ2,则
都是μ的无偏估计,
【答疑编号12070204】
而
,所以
有效。
7.3参数的区间估计
点估价的两点不足:
①很难准确;
②没有用数量表示的可信度。
为此,引入区间估计。
1.置信区间的概念
(1)引例
【例7-17】设某种绝缘子抗扭强度X服从正态分布N(μ,σ2),其中未知,σ2已知(σ=45公斤·
米),试对总体均值μ作区间估计.
分析:
首先,通过抽样来估计μ,所以,从总体X抽取容量为n的样本x1,x2,…,xn,可得样本均值
,已知
是μ的无偏估计,且
~
,可以在
的基础上对μ作区间估计.
【答疑编号12070301】
其次,也是最重要的是,要选择一个合适的统计量作为估计函数.为了对μ作估计,要求估计函数应该:
①含有待估计参数μ,②无论μ为何值,估计函数的分布已知,以便通过查该分布的计算表求所需数值.
再次,为了克服点估计的可信程度无法度量的不足,需要设定一个可信概率,记为1-α(0<
α<
1),称为置信度,依此概率进行估计.
从总体X抽取容量为n的样本x1,x2,…,xn,可得样本均值
,从而得到合适的估计函数为
因为是μ的无偏估计及标准正态分布概率密度函数的对称性,又置信度为1-α(0<
1),所以,查表求满足
或
的
,即标准正态分布的上
分位点.
将不等式
转化为
,即为
因此有
所得区间
即为所求的估计区间,由于区间长度随置信度1-α变化而变换,所以称之为置信区间.
小结:
步骤:
①选取合适的估计函数;
②根据置信度查表求上
分位点;
③根据样本及相应的置信区间公式,求出置信区间.
(2)置信区间的定义:
设θ为总体的未知参数,
是由样本x1,x2,…,xn给出的两个统计量,若对于给定的概率1-α(0<
1),有
则随机区间[
]称为参数θ的置信度为1-α的置信区间,
称为置信下限,
称为置信上限.
(3)解释:
参数θ落入区间[
]的概率为1-α.
(4)置信度与精度的关系
①在样本容量固定的条件下,置信度增大,将引起置信区间长度增大,使区间估计的精度降低;
置信度减小,将引起置信区间长度减小,使区间估计的精度提高;
②在置信度固定不变的条件下,样本容量增大,将引起置信区间长度减小,区间估计的精度提高;
反之,精度降低.
2.单正态总体参数的置信区间
设总体X~N(μ,σ2),x1,x2,…,xn为其样本.
(1)σ已知时,μ的置信度为1-α的区间估计
由引例得此置信区间为
【例7-18】某车间生产滚珠,从长期实践知道,滚珠直径X服从正态分布。
从某天产品里随机抽取6个,测得直径为(单位:
毫米):
14.6, 15.1, 14.9, 14.8, 15.2, 15.1.
若总体方差σ2=0.06,求总体均值μ的置信区间(σ=0.05,σ=0.01)
【答疑编号12070302】
【例7-19】用天平称量某物体的质量9次,得平均值为
,已知天平称量结果为正态分布,其标准差为0.1g。
试求该物体质量的0.95置信区间。
【答疑编号12070303】
此外1-α=0.95,α=0.05,查表知u0.025=1.96,于是该物体的体质量μ的0.95置信区间为
=15.4±
0.0653,
从而该物体质量的0.95置信区间为[15.3347,15.4653]。
【例7-20】设总体为正态分布N(μ,1),为得到μ的置信水平为0.95的置信区间长度不超过1.2,样本容量应为多大?
【答疑编号12070304】
(2)σ未知时,μ的置信度为1-α的区间估计
选择统计量
,得到μ的置信度为1-α的置信区间为
其中
,是σ2的无偏估计.
【例7-21】假设轮胎的寿命服从正态分布。
为估计某种轮胎的平均寿命,现随机地抽12只轮胎试用,测得它们的寿命(单位:
万千米)如下:
4.68 4.85 4.32 4.85 4.61 5.02 5.20 4.60 4.58 4.72 4.38 4.70
试求平均寿命的0.95置信区间。
【答疑编号12070305】
3.μ未知,σ2的置信区间
根据样本方差s2的无偏估计及定理6-4
(2)的结论,有估计函数
又根据给定的置信度1-α、
分布密度函数的特点以及置信区间为等尾区间的要求,查
分布表求出
分布的两个分位点
和
,满足
由此得σ2的置信度为1-α的置信区间为
【例7-22】某厂生产的零件质量服从正态分布N(μ,σ2),现从该有利于生产的零件中抽取9个,测得其质量为(单位:
g)
45.3 45.4 45.1 45.3 45.5 45.7 45.4 45.3 45.6
试求总体标准差σ的0.95置信区间。
【答疑编号12070306】
由数据可算得s2=0.0325,(n-1)s2=8×
0.0325=0.26,这里α=0.05,查表知
(8)=2.1797,
(8)=17.5345,代入(7.3.1)可得σ2的0.95置信区间为
本章小结:
一、内容
二、试题选讲
1.设总体X~N(1,σ2),x1,x2,…,xn是来自该总体的样本,
,则
=_____________.
【答疑编号12070307】
答案:
1
2.设总体X具有区间[0,θ]上的均匀分布(θ>
0),x1,x2,…,xn是来自该总体的样本,则
的矩估计
=____________.
【答疑编号12070308】
3.设总体X的概率密度为
,x1,x2,…,xn是总体X的一个样本,则未知
【答疑编号12070309】
4.设总体X服从参数λ的泊松分布,其中λ为未知参数,X1,X2,…,Xn为来自该总体的一个样本,则参数λ的矩估计量为_________________.
【答疑编号12070310】
5.设总体X服从[0,2θ]上的均匀分布(θ>
0),x1,x2,…,xn是来自该总体的样本,
为样本均值,则θ的矩估计
=( ).
A.2
B.
C.
/2 D.1/2
【答疑编号12070311】
B
6.设总体X~N(μ,σ2),x1,x2,x3为来自总体X的样本,则当α=______时,
是未知参数μ的无偏估计.
【答疑编号12070312】
1/4
7.用传统工艺加工某种水果罐头,每瓶维生素C的含量为随机变量X(单位:
mg),设X~N(μ,σ2),其中μ,σ2均未知。
现抽查16瓶罐头进行测试,测得维生素C的平均含量为20.80mg,样本标准差为1.60mg,试求μ的置信度95%的置信区间.
(附:
)
【答疑编号12070313】
8.一台自动车床加工的零件长度X(单位:
cm)服从正态分布N(μ,σ2),从该车床加工的零件中随机抽取4个,测得样本方差s2=
,试求:
总体方差σ2的置信度为95%的置信区间.
【答疑编号12070314】
=[0.0428,1.8518]