高等教育自学考试网上辅导概率论与数理统计参数估计内容Word文档格式.docx

1、【例71】对某型号的20辆汽车记录其每5L汽油的行驶里程（km），观测数据如下：29.827.628.327.930.128.729.928.027.928.728.427.229.528.528.030.029.129.829.626.9【答疑编号12070101】（2）概率函数p（x；）已知时未知参数的矩法估计设总体具有已知的概率函数p（x；1，k），（1，k）是未知参数或参数向量，x1,xn是样本，假定总体的k阶原点矩k存在，则对所有的j（0j0为未知参数。求的矩估计。【答疑编号12070103】矩估计法处理三类问题：第一，直接估计参数，第二，通过总体分布已知，但还有未知参数的情况下，对

2、未知参数进行估计的时候，是要通过总体所服从的分布，找到未知参数和X之间的关系，然后对X进行估计，代进去对未知参数进行估计。第三，未知参数的函数的估计。小概率原理：小概率事件，在一次试验中，几乎不可能发生。在一次事件中就发生的事件，我们认为它是大概率事件。（4）极大似然估计设总体的概率函数为p（x,），其中是一个未知参数或未知参数向量，是参数的取值范围，x1,x2,xn是该总体的样本，将样本联合概率函数记为，简记为，则称为样本的似然函数. 如果存在统计量使得为的极大似然估计.例题4. P147 【例74】设有外形完全相同的两个箱子，甲箱中有99个白球和1个黑球，乙箱中有99个黑球和一个白球。现随

3、机地抽取一箱，并从中随机抽取一球，结果取得白球，问这球是从哪一个箱子中取出的？【答疑编号12070104】解：不管是哪一个箱子，从箱子中任取一球都有两个可能的结果：A表示取出白球，B表示取出黑球。如果我们取出的是甲箱，则A发生的概率为0.99，而如果取出的是乙箱，则a发生的概率为0.01。现在一次试验中结果A发生了，人们的第一印象就是：“此白球（A）最像从甲箱取出的”，或者说，应该认为试验条件对事件A出现有利，从而可以推断这球是从甲箱中取出的。这个推断很符合人们的经验事实，这里“最像”就是“极大似然”之意。例题5. P147 【例75】设产品分为合格品与不合格品两类，我们用一个随机变量X来表示

4、某个产品是否合格，X=0表示合格品，X=1表示不合格品，则X服从二点分布B（1，p），其中p是未知的不合格品率。【答疑编号12070105】总结计算方法： 构造似然函数； 求似然函数的对数. 由于似然函数是以乘积形式构成，对数函数是的单调增加函数，则似然函数的对数与其有相同的极值点，所以在求导数之前先求似然函数的对数； 用导数求似然函数对数的极值，得极大似然估计值.例题6. P148 【例76】设一个试验有三种可能结束，其发生的概率分别为p1=2，p2=2（1-），p3=（1-）2。现做了n次试验，观测到三种结果发生的次数分别为n1,n2,n3（n1+n2+n3=n），求似然函数。【答疑编号1

5、2070106】例题7. P149 【例77】对正态总体N（，2），=（，2）是二维参数，设有样本x1,xn,求似然函数。【答疑编号12070107】例题8. P149 【例78】（1）设总体X服从泊松分布p（），求的极大似然估计；【答疑编号12070108】（2）设总体X服从指数分布E（），求的极大似然估计。【答疑编号12070109】例题9. P150 【例79】设x1,x2,xn是总体的样本，已知总体的密度函数为试分别求出的矩估计和极大似然估计.【答疑编号12070110】例题10. P150 【例710】设x1，xn是来自均匀总体U（0，）的样本，试求的极大似然估计。类似地，当总体XU

6、（a,b）时，参数a、b的极大似然估计为【答疑编号12070111】极大似然估计的一个简单而有用的性质：若是的极大似然估计，则对任一的函数g（）, 它的极大似然估计为，这就是极大似然估计的不变性。例题11 P151 【例711】设x1,x2,xn是来正态总体N（，2）的样本，求标准差和概率PX3的最大似然估计。【答疑编号12070112】 7. 2点估计的评价标准 1.相合性（1）定义：设为未知参数，是的一个估计量，n是样本容量，若对任何0，有 ，为参数的相合估计.解释：相合性被认为是对估计的一项最基本的要求. 但是，由于此性质需要有n的极限过程，所以，相合性适合的大样本估计的评价。例题1.

7、P152 【例712】设x1,x2,是来自正态总体N（，2）的样本，则由大数定律及相合性定义知：是的相合估计；是2的相合估计；也是2的相合估计。证明：是的相合估计。【答疑编号12070201】（2）相合性判定定理：是的一个估计量，若 则称例题2. P152 【例713】设x1, ，xn是来自均匀总体u（0,）的样本，证明的极大似然估计是相合估计。【答疑编号12070202】为了使用定理判断，我们下面求它的数学期望和方差。2.无偏性 对于小样本，无偏性是一个常用的评价标准。是的一个估计，的参数空间为，若对任意，有为的无偏估计；否则称为有偏估计.无偏估计表示估计值与被估计量之间没有系统偏差.例题3

8、. P153 【例714】对任一总体而方，样本均值是总体均值的无偏估计。当总体k阶矩存在时，样本k阶原点矩ak是总体k阶原点矩k的无偏估计。但对k阶中心矩则不一样，例如，二阶样本中心矩就不是部体方差2的无偏估计。 【答疑编号12070203】（2）几个有用的结论的无偏估计；，即是2的渐进无偏估计；s2是2的无偏估计； 若为的无偏估计，一般地，除g是的线性函数外，不是g的无偏估计.所以，无偏性没有不变性。3.有效性是的两个无偏估计，如果对任意的有且至少有一个使上式的不等号严格成立，则称比有效.（2）解释：这是在无偏估计中选择更好的估计的评价标准。例题15. P154 【例715】设x1,xn是取

9、自某总体的样本，记总体均值为，总体方差为2，则都是的无偏估计，【答疑编号12070204】而，所以有效。 7. 3 参数的区间估计 点估价的两点不足： 很难准确； 没有用数量表示的可信度。为此，引入区间估计。1.置信区间的概念（1）引例【例717】设某种绝缘子抗扭强度X服从正态分布N（，2），其中未知，2已知（45公斤米），试对总体均值作区间估计.分析：首先，通过抽样来估计，所以，从总体X抽取容量为n的样本x1，x2，xn，可得样本均值，已知是的无偏估计，且，可以在的基础上对作区间估计.【答疑编号12070301】其次，也是最重要的是，要选择一个合适的统计量作为估计函数. 为了对作估计，要求估

10、计函数应该： 含有待估计参数， 无论为何值，估计函数的分布已知，以便通过查该分布的计算表求所需数值.再次，为了克服点估计的可信程度无法度量的不足，需要设定一个可信概率，记为1（01），称为置信度，依此概率进行估计.从总体X抽取容量为n的样本x1，x2，xn，可得样本均值，从而得到合适的估计函数为因为 是的无偏估计及标准正态分布概率密度函数的对称性，又置信度为1（01），所以，查表求满足或的，即标准正态分布的上分位点.将不等式转化为，即为因此有 所得区间即为所求的估计区间，由于区间长度随置信度1变化而变换，所以称之为置信区间. 小结：步骤： 选取合适的估计函数； 根据置信度查表求上分位点； 根据

11、样本及相应的置信区间公式，求出置信区间.（2）置信区间的定义：设为总体的未知参数，是由样本x1，x2，xn给出的两个统计量，若对于给定的概率1（00），x1，x2，xn是来自该总体的样本，则的矩估计_.【答疑编号12070308】3.设总体X的概率密度为，x1，x2，xn是总体X的一个样本，则未知【答疑编号12070309】4.设总体X服从参数的泊松分布，其中为未知参数，X1，X2，Xn为来自该总体的一个样本，则参数的矩估计量为_.【答疑编号12070310】5.设总体X服从0，2上的均匀分布（0），x1，x2，xn是来自该总体的样本，为样本均值，则的矩估计（）.A.2B.C./2D.1/2【

12、答疑编号12070311】B6.设总体XN（，2），x1，x2，x3为来自总体X的样本，则当_时，是未知参数的无偏估计.【答疑编号12070312】1/47.用传统工艺加工某种水果罐头，每瓶维生素C的含量为随机变量X（单位：mg），设XN（，2），其中，2均未知。现抽查16瓶罐头进行测试，测得维生素C的平均含量为20.80mg，样本标准差为1.60mg，试求的置信度95%的置信区间.（附：）【答疑编号12070313】8.一台自动车床加工的零件长度X（单位：cm）服从正态分布N（, 2），从该车床加工的零件中随机抽取4个，测得样本方差s2，试求：总体方差2的置信度为95%的置信区间.【答疑编号12070314】0.0428，1.8518