第十七章《勾股定理》Word文档格式.docx
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在第二节中，教科书让学生画出一些两边的平方和等于第三边的平方的三角形，可以发现画出的三角形是直角三角形。
从而猜想如果三角形的三边满足两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。
这个猜想可以利用全等三角形证明，得到勾股定理的逆定理。
勾股定理的逆定理给出了判定一个三角形是直角三角形的方法。
教科书安排了两个例题，让学生学会运用这种方法。
这种方法与前面学过的一些判定方法不同，它通过代数运算“算”出来。
实际上利用计算证明几何问题学生已经见过，计算在几何里也是很重要的。
从这个意义上讲，勾股定理的逆定理的学习，对开阔学生眼界，进一步体会数学中的各种方法有很大的意义。
几何中有许多互逆的命题，互逆的定理，它们从正反两个方面揭示了图形的特征性质，所以互逆命题和互逆定理是几何中的重要概念。
学生已见过一些互逆命题（定理），例如：
“两直线平行，内错角相等”与“内错角相等，两直线平行”；
“全等三角形的对应边相等”与“对应边相等的三角形是全等三角形”等，都是互逆命题。
勾股定理与勾股定理的逆定理也是互逆的命题，而且这两个命题的题设和结论都比较简单。
因此，教科书在前面已有感性认识的基础上，在第二节中，结合勾股定理的逆定理的内容的展开，穿插介绍了逆命题、逆定理的概念，并举例说明原命题成立其逆命题不一定成立。
为巩固这些内容，相应配备了一些练习与习题。
本章学习目标如下：
1.
体验勾股定理的探索过程，会运用勾股定理解决简单问题；
2.
会运用勾股定理的逆定理判定直角三角形；
3．通过具体的例子，了解逆命题、逆定理的概念，知道原命题成立其逆命题不一定成立。
二、教学中需要注意的几个问题
（一）让学生体验勾股定理的探索和运用过程
勾股定理的发现从传说故事讲起，从故事中可以发现等腰直角三角形有这样的性质：
以等腰直角三角形两直角边为边长的小正方形的面积的和，等于以斜边为边长的正方形的面积。
再看一些其他直角三角形，发现也有上述性质。
因而猜想所有直角三角形都有这个性质，即如果直角三角形的两直角边长分别为
，斜边长为
，那么
（教科书把这个猜想记作命题1，把下节“如果三角形的三边长
满足
，那么这个三角形是直角三角形”记作命题2，便于引出互逆命题）。
教科书让学生用勾股定理探究三个问题。
探究1是木板进门问题。
按照已知数据，木板横着、竖着都不能进门，只能斜着试试。
由此想到求长方形门框的对角线的长，而这个问题可以用勾股定理解决。
探究2是梯子滑动问题：
梯子顶端滑动一段距离，梯子的底端是否也滑动相同的距离。
这个问题可以转化为已知斜边与一条直角边的长求另一条直角边的长的问题，这也可以用勾股定理解决。
探究3是在数轴上画出表示
的点。
分以下四步引导学生：
（1）将在数轴上画出表示
的点的问题转化为画出长为
的线段的问题。
（2）由长为
的线段是直角边都为1的直角三角形的斜边，联想到长为
的线段能否是直角边为正整数的直角三角形的斜边。
（3）通过尝试发现，长为
的线段是直角边为2,3的直角三角形的斜边。
（4）画出长为
的线段，从而在数轴上画出表示
（二）结合具体例子介绍抽象概念
在本章中，结合勾股定理、勾股定理的逆定理介绍了逆命题、逆定理的内容。
在勾股定理的逆定理一节中，从古埃及人画直角的方法谈起，然后让学生画一些三角形（已知三边，并且两边的平方和等于第三边的平方），可以发现画出的三角形是直角三角形。
因而猜想如果三角形的三边长
，那么这个三角形是直角三角形，即教科书中的命题2。
把命题2的条件、结论与上节命题1的条件、结论作比较，引出逆命题的概念。
接着探究证明命题2的思路。
用三角形全等证明命题2后，顺势引出逆定理的概念。
命题1，命题2属于原命题成立，逆命题也成立的情况。
为了防止学生由此误以为原命题成立，逆命题一定成立，教科书特别举例说明有的原命题成立，逆命题不成立。
（三）注重介绍数学文化
我国古代的学者们对勾股定理的研究有许多重要成就，不仅在很久以前独立地发现了勾股定理，而且使用了许多巧妙的方法证明了它，尤其在勾股定理的应用方面，对其他国家的影响很大，这些都是我国人民对人类的重要贡献。
本章介绍了我国古代的有关研究成果。
在引言中介绍我国古算书《周髀算经》的记载“如果勾是三、股是四、那么弦是五”。
有很多方法可以证明勾股定理。
教科书为了弘扬我国古代数学成就，介绍了我国古人赵爽的证法。
首先介绍赵爽弦图，然后介绍赵爽利用弦图证明命题1的基本思路。
“赵爽弦图”表现了我国古人对数学的钻研精神和聪明才智，它是我国古代数学的骄傲。
正因为此，这个图案被选为2002年在北京召开的世界数学家大会的会徽。
还在习题中安排我国古代数学著作《九章算术》中的问题，展现我国古人在勾股定理应用研究方面的成果。
本章也介绍了国外的有关研究成果。
如勾股定理的发现是从与毕达哥拉斯有关传说故事引入的。
又如勾股定理的逆定理从古埃及人画直角的方法引入。
再如介绍古希腊哲学家柏拉图关于勾股数的结论。
三、对教学的几个建议
（一）让学生获得更多与勾股定理有关的背景知识
与勾股定理有关的背景知识丰富，除正文介绍的有关内容外，教科书在“阅读与思考勾股定理的证明”中介绍了另外几种证明勾股定理的方法，还安排了一个数学活动，让学生收集一些证明勾股定理的方法，并与同学交流。
在教学中，应注意展现与勾股定理有关的背景知识，使学生对勾股定理的发展过程有所了解，感受勾股定理的丰富文化内涵，激发学生的学习兴趣。
特别应通过向学生介绍我国古代在勾股定理研究方面的成就，激发学生热爱祖国，热爱祖国悠久文化的思想感情，培养他们的民族自豪感，同时教育学生发奋图强，努力学习，为将来担负起振兴中华的重任打下基础。
（二）通过教学提高学生分析问题解决问题的能力
本章内容虽然不多，但教学内涵却很丰富。
勾股定理及其逆定理不仅在数学中有重要的地位，定理本身也有重要的实际应用。
本章还结合两个定理引入了逆命题、逆定理等比较抽象的概念。
这些知识本身易混易错，学习有一定的难度。
应该对本章的教学引起重视，使本章的教学对培养学生逻辑思维能力和分析问题、解决问题的能力发挥应有的作用。
在勾股定理的教学中，一方面要重视学生观察、猜想能力的培养，也要重视从特殊结论到一般结论的严密思维能力的培养。
从勾股定理到它的逆定理，学生往往会从直觉出发想当然地认为勾股定理的逆命题也一定成立，而从这种直觉上升到逻辑严密地思考和证明，认识到两个结论有联系但却并不相同，认识到新的结论仍需要经过严格地证明，这是思维能力提高的重要体现，这在教学中是应该引起重视的。
另外，逆命题概念的教学也是一个教学难点，怎样写出一个命题的逆命题，原命题和逆命题真假的多种可能性，怎样的命题可以称为逆定理，这些都是学生容易出错的知识点。
勾股定理及其逆定理在解决实际问题中有广泛的应用价值，在证明几何结论中也起着非常重要的作用，在教学中也要引起充分的重视。
教学中可以适当把一些中外数学史中的材料充实到课堂中，使本章的教学更加充实，取得更好的效果。
（三）围绕证明勾股定理培养学生数学学习的自信心
一个缺乏自信的人是不可能成就一番事业的。
自信就是不示弱，自信就是自强不息，相信自己的能力，相信自己行，勇于同困难作斗争。
数学课往往是初中学生最想学好又不容易学好的一门课，而在数学学习中所培养起来的自信心往往成为学生今后成长的重要力量，所以在数学教学中要特别重视培养学生数学学习的自信心，进而培养更广泛的自信心。
勾股定理被公认是初等几何中的最重要的定理之一，定理结论奇异、形式优美，寻找勾股定理的新证法成为古今中外名家百姓都热衷研究的问题，而勾股定理的赵爽证法被认为是极其优美简洁的证明方法。
了解、理解甚至独立发现一个重要定理的证明方法对于树立数学学习的自信心往往能起到特别的作用。
勾股定理的证明方法相当多，让学生从定理条件和结论去分析找到一个新的证明方法并非高不可攀，所以，在本定理的教学中，除正文介绍的有关内容外，可以根据实际教学情况，对于学生提出不同的教学要求，可以让学生自主探究定理的证明，既可以让学生根据图形分析自主得到证法，也可以安排收集定理多种证法的数学课外活动，通过这些活动，使学生对勾股定理有较好的理解，从而培养他们学好数学的信心。
（四）适当总结与定理、逆定理有关的内容
本章中给出了逆定理的概念，可以在小结中回顾已学的一些结论。
例如，在第十一章“全等三角形”中，利用三角形全等证明了“角的平分线上的点到角的两边的距离相等”“角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上”，前一个结论也称为角的平分线的性质定理，而后一个结论是角的平分线的性质定理的逆定理。
这样就可以从定理、逆定理的角度认识已学的一些结论，明确其中一些结论之间的关系。
互逆命题、互逆定理的概念，学生接受它们困难不大，对于那些不是以“如果……那么……”形式给出的命题，叙述它们的逆命题困难较大，是教学中的一个难点。
解决这个难点的方法是，适当复习命题的有关内容，学会把一个命题变为“如果……那么……”的形式。
注意这些概念是第一次学习，不要要求过高。
四、学法指导
（一）知识内容
1、勾股定理——揭示的是平面几何图形本身所蕴含的代数关系。
（1）重视勾股定理的叙述形式：
①直角三角形直角边上的两个正方形的面积之和等于斜边上的正方形的面积.
②直角三角形斜边长度的平方，等于两个直角边长度平方之和.
从这两种形式来看，有“形的勾股定理”和“数的勾股定理”之分。
（2）定理的作用：
①已知直角三角形的两边，求第三边。
②证明三角形中的某些线段的平方关系。
③作长为
的线段。
（利用勾股定理探究长度为
……的无理数线段的几何作图方法，并在数轴上将这些点表示出来，进一步反映了数与形的互相表示，加深对无理数概念的认识。
）
2、勾股定理的逆定理
（1）勾股定理的逆定理的证明方法，通过构造一个三角形与直角三角形全等，达到证明某个角为直角的目的。
（2）逆定理的作用：
判定一个三角形是否为直角三角形。
（3）勾股定理的逆定理是把数转化为形，是利用代数计算来证明几何问题。
要注意叙述及书写格式。
运用勾股定理的逆定理的步骤如下：
①首先确定最大的边（如c）
②验证
与
是否具有相等关系：
若
，则△ABC是以∠C为90°
的直角三角形。
，则△ABC不是直角三角形。
补充知识：
当
时，则是锐角三角形；
时，则是钝角三角形。
（4）通过总结归纳，记住一些常用的勾股数。
如：
3，4，5；
5，12，13；
6，8，10；
8，15，17；
9，40，41；
……以及这些数组的倍数组成的数组。
勾股数组的一般规律：
丢番图发现的：
式子
的正整数）
毕达哥拉斯发现的：
（
的整数）
柏拉图发现的：
3、勾股定理与勾股定理逆定理的关系
（1）注意分清应用条件：
勾股定理是由直角得到三条边的关系，勾股定理逆定理则是由边的关系来判断一个角是否为直角。
（2）根据课标要求，对原命题、逆命题及命题之间的关系只要求根据例子了解即可，不必专门训练.
（二）解题技能
1、直角三角形的性质与判定小结
（1）直角三角形的性质：
角的关系：
直角三角形两锐角互余。
边的关系：
直角三角形斜边大于直角边。
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
直角三角形斜边的中线等于斜边的一半。
边角关系：
直角三角形中，30°
双垂图：
双垂图中的线段关系。
（2）直角三角形的判定：
①有一个角是直角的三角形是直角三角形。
②有两个角互余的三角形是直角三角形。
③两边的平方和等于第三边（最长的边）的平方的三角形是直角三角形。
2、已知直角三角形的两边长，会求第三边长
设直角三角形的两直角边为a,b,斜边长为c，由勾股定理知道：
。
变形得：
，因此已知直角三角形的任意两边，利用勾股定理可求出第三条边。
3、当直角三角形中含有30°
与45°
角时，已知一边，会求其它的边
（1）含有30°
的直角三角形的三边的比为：
1：
（2）含有45°
（3）等边三角形的边长为
，则高为
，面积为
4、阅读与思考——“希波克拉底月牙形”
（1）如左图：
∠C=90°
，图中有阴影的三个半圆
的面积S1,S2,S3有什么关系？
答：
（2）如图：
，△ABC的面积为20，在AB的同侧，分别以AB,BC,AC为直径作三个半圆，则阴影部分（即“希波克拉底月牙形”）的面积为
（三）典型数学思想、方法的训练
方程思想
1、小明用一根长30厘米的绳子折成三段，围成一个三角形，他用尺子量了一下，其中一条线段的长度比较短线段长7厘米，比较长线段短1厘米，请你帮助小明判断一下，他围成的三角形是直角三角形吗？
2、已知△ABC中，∠C=90°
，D、E分别为BC、AC的中点，AD=5，BE=
，求AB的长.
3、有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺。
如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面。
这个水池的深度与这根芦苇的长度分别为多少？
4、如图所示．已知：
在正方形ABCD中，∠BAC的平分线交BC于E，
作EF⊥AC于F，作FG⊥AB于G．求
的值．
构造直角三角形
5、已知△ABC中，AB=8，AC=7，BC=6，求△ABC的面积。
6、已知△ABC中，∠B=30°
，∠C=45°
，AB－AC=2-
，求BC的长。
7、已知：
如图，AB＝AC＝20，BC＝32，
D为BC边上一点，∠DAC＝90°
．求BD的长．
勾股定理与变换
8、已知矩形ABCD沿直线BD折叠，使点C落在同一平面内C
处，BC
与AD交于点E，AD=8，AB=4，求DE的长。
9、一个直立的火柴盒在桌面上倒下，启迪人们发现了勾股定理的一种证明方法。
如图，火柴盒的一个侧面ABCD倒下到
的位置，连结
，设
，请利用四边形
的面积证明勾股定理。
10、△ABC中,CD是AB边上的中线，AC=8，BC=6，CD=5，判断△ABC的形状。
面积法
11、已知：
平面直角坐标系xOy内，点A（
），B（
），C（0,－3），
（1）判断
的形状并说明理由；
（2）若点D的坐标为
，求
中CD边上的高h的值.
12、如图，已知直线
与x轴、y轴分别
交于点A、B,以线段AB为直角边在第一象限内
作等腰RtΔABC,∠BAC=90O,且P（1,a）为坐标系中
的一个动点.
（1）求ΔABC的面积
；
（2）证明不论a取任何实数，ΔBOP的面积是一个常数；
（3）要使得ΔABC和ΔABP的面积相等，求实数a的值.
代数计算证明几何问题:
13、正方形ABCD的边长为4，E为AB中点，AF=
，求证：
CE⊥EF.
图形的割、补与拼图
14、已知：
如图，四边形ABCD中，AB=3，BC=4，
CD=5，AD=5
，∠B=90°
，求四边形ABCD的面积。
15、一块四边形的草地ABCD,其中∠A=60°
∠B=∠D=90°
AB=20m,CD=10m,求这块草地的面积.
最短路线
16、一圆柱体的底面周长为20㎝，高AB为10㎝，BC是上底面的直径。
一蚂蚁从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C，试求出爬行的最短路程。
17、为筹备迎新生晚会，同学们设计了一个圆筒形灯罩，底色漆成白色，然后缠绕红色油纸，已知圆筒高108cm，其圆筒底面周长为36cm，如果在表面缠绕油纸4圈，应裁剪多长油纸？
折叠问题
18、一块直角三角形的纸片，两直角边AC=6㎝，BC=8㎝。
现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，求CD的长．
19、三角形ABC是等腰三角形AB=AC=13，BC=10，将AB向AC方向对折，再将CD折叠到CA边上，折痕CE，求三角形ACE的面积
20、将正方形ABCD折叠，使顶点A与CD边上的点M重合，折痕交AD于E，交BC于F，边AB折叠后与BC边交于点G。
如果M为CD边的中点，且DE=6，求正方形ABCD的面积
五、教学反思
（一）勾股定理
可用4课时，第一课时主要讲授的是勾股定理的探究和验证，并举例计算有关直角三角形已知两边长求第三边的问题；
第二课时主要讲授了各种类型的有关直角三角形边长或者面积相关问题；
第三课时讲授了如何用勾股定理解决生活中的实际问题；
第四课时主要讲授了怎样在数轴上找出无理数对应的点。
这4个课时采用的教学方法是：
引导—探究—发现法；
为学生设计的学习方法是：
自主探究与合作交流相结合。
第一课时的课堂教学中，始终注意了调动学生的积极性.兴趣是最好的老师，所以无论是引入、拼图，还是历史回顾，我都注意去调动学生，让学生满怀激情地投入到活动中.因此，课堂效率较高.勾股定理作为“千古第一定理”，其魅力在于其历史价值和应用价值，因此我注意充分挖掘了其内涵.特别是让学生事先进行调查，再在课堂上进行展示，这极大地调动了学生，既加深了对勾股定理文化的理解，又培养了他们收集、整理资料的能力.勾股定理的验证既是本节课的重点，也是本节课的难点，为了突破这一难点，我设计了拼图活动，并自制精巧的课件让学生从形上感知，再层层设问，从面积（数）入手，师生共同探究突破了本节课的难点.
第二课时依据“学生是学习的主体”这一理念，在探索勾股定理的整个过程中，本节课始终采用学生自主探索和与同伴合作交流相结合的方式进行主动学习。
教师只在学生遇到困难时，进行引导或组织学生通过讨论来突破难点。
为了让学生在学习过程中自我发现勾股定理，本节课首先情景创设激发兴趣，再通过几个探究活动引导学生从探究等腰直角三角形这一特殊情形入手，自然过渡到探究一般直角三角形，学生通过观察图形，计算面积，分析数据，发现直角三角形三边的关系，进而得到勾股定理．
第三课时在课堂教学中，始终注重学生的自主探究，由实例引入，激发了学生的学习兴趣，然后通过动手操作、大胆猜想、勇于验证等一系列自主探究、合作交流活动得出定理，并运用定理进一步巩固提高，切实体现了学生是数学学习的主人的新课程理念。
对于拼图验证，学生还没有接触过，所以，教学中，教师给予了学生适当的指导与鼓励，教师较好地充当了学生数学学习的组织者、引导者、合作者。
另外教会学生思维，培养学生多种能力。
课前查资料，培养了学生的自学能力及归类总结能力；
课上的探究培养了学生的动手动脑的能力、观察能力、猜想归纳总结的能力、合作交流的能力……但本节课拼图验证的方法以前学生没接触过，稍嫌吃力。
因此，在今后的教学中还需要进一步关注学生的实验操作活动，提高其实践能力。
第四课时另外向学生介绍了勾股定理的证明方法：
以赵爽的“弦图”为代表，用几何图形的截、割、拼、补，来证明代数式之间的恒等关系；
以欧几里得的证明方法为代表，运用欧氏几何的基本定理进行证明；
以刘徽的“青朱出入图”为代表，“无字证明”。
总的来看，学生掌握的情况比较好，都能够达到预期要求，但介于有关勾股定理的类型题很多，不能一一为学生讲解，但我还是建议讲授《蚂蚁怎样走最近》的类型题。
（2）勾股定理的逆定理
本节课是安排在勾股定理之后，主要内容包括，勾股定理的逆定理及其应用、互逆命题（定理）及勾股数的概念，其中前者是重点，勾股定理的逆定理的证明是难点．勾股定理的逆定理既是对直角三角形的再认识，也是判断一个三角形是不是直角三角形（确定直角）的一种重要方法，除此以外，它还是向学生渗透“数形结合”这一数学思想方法的很好素材．作为一种数学模型，它在日常生活中（比如，测量等）也有着极其广阔的应用．
考虑到勾股定理逆定理与勾股定理的互逆关系，在教学中，我们首先从勾股定理的反面出发，给出三组数据，让学生通过摆、画三角形的实践，并结合观察、归纳、猜想等一系列探究性活动，得出勾股定理的逆命题．如何突破“勾股定理的逆定理的证明”这一教学难点呢？
我们又设计了一个由特殊到一般的探索、归纳过程，来凸现“构造直角三角形”这一问题转化的关键．之后，再不失时机地结合勾股定理的逆定理与勾股定理之间的关系，介绍互逆命题（定理）的概念．对于勾股定理的逆定理应用的教学，充分利用课本提供的两道例题，着眼于“双基”和“应用”这两个层面，来突出本节的教学重点．
本节课立足于创新和学生可持续发展，把教学内容分解为一系列富有探究性的问题，让学生在解决问题的过程中经历知识的发生、发展、形成的过程，把知识的发现权交给学生，让他们在获取知识的过程中，体验成功的喜悦，真正体现学生是学习的主人，教师只是学习的参与者、合作者、引导者．在重视基础知识和基本技能的同时，更关注知识的形成过程及应用数学的意识．
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