第九讲 数学游戏Word文档下载推荐.docx

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　　一、甲首先使b、h处填的数尽可能大.譬如，（甲1，b10）。

　　1.乙为了不输，（乙1）必须在h处填数.（否则，即如（乙1）不在h处填数，（甲2）在h处填余下来的最大数后，无论（乙2）怎么填，最后总有b＋h≥10＋8=18＞16＝9＋7≥d+f，甲胜）.这样，必须（乙1，h1）.（乙当然在h处填最小数）

　　2.（甲2）不能在d处或f处填数.（否则，如（甲2，dx），x为任一数，则（乙2）在f处填余下来的最大数后，即有d+f≥3＋9＝12＞11＝10＋1＝b+h，乙胜）.当然（甲2）填9，譬如（甲2，eg）.（以后，只要甲不填错，即只要把余下数中的最小者填入d或f，就不会输了）

　　3.显然，（乙2，d8），乙就不会输了.因此不分胜负（此时（甲3）必须（f3））。

　　同样，若（甲1，h10），只要乙应对正确，乙就不会输。

　　因此，只有

　　二、甲首先使d、f处填的数尽可能小（才有可能必胜）.譬如，（甲1，d1）。

　　1.若（乙1）不在f处填数时，（甲2）在f处填余下来的最小数，则最后必有

　　b＋h≥3＋5＝8＞5=1＋4≥d＋f，甲胜。

　　2.若（乙1，f10）（乙当然在f处填最大数），则（甲2，b9），最后必有

　　b＋h≥9＋3＝12＞11=1＋10=d+f，甲胜.

　　因此，只要（甲1，d1），且以后甲每次应对正确，则甲必胜。

　　解：

甲第一轮采用削弱对方策略，把1填入d格（或f格）内，以后无论乙怎样填，甲第二轮“随机应变”，只要把尽可能大的数填入b或h格内，或者把尽可能小的数填入f格（或d格）内（在乙没有在f或d格内填数的情况下），甲都能获胜。

例2在4×

4的方格纸上有一粒石子，它放在左下角的方格里.甲乙二人玩游戏，由甲开始，二人交替地移动这粒石子，每次只能向上、向右或向右上方移动一格，谁把石子移到右上角谁胜.问甲能取胜吗？

如果要取胜，应采取什么办法？

　　分析见右图，采用倒推法.甲要取胜，就必须使乙在移动最后一次石子后，石子落在再移动一次就能移到右上角的那些方格中，即

.而移动一次石子，石子必定落在这三个方格之一的方格只有

和

，即

必须由甲来占领。

　　这样，如一开始分析的那样，就必须使乙在某一次移动石子后，石子落在再移动一次就能移到

或

的那些方格中，即

.而从哪些方格（除了

外）中移动一次石子，石子必定落在

之一中呢？

只有用

.因此甲第一次移动石子就必须把石子从左下角移到

中。

　　这样，所有的格子被分成“胜位”（

）和“负位”（

）.自然，上图中的

和

也是负位.即，谁占据胜位，谁将获胜（若此后他不失误）；

谁占负位，谁将失败（若此后对方不失误）。

由以上的分析和上图知，甲要取胜，必须向右上走一格.然后，乙如果向上走，甲也向上走；

乙向右走，甲也向右走；

乙向右上走，甲也向右上走.总之，甲走完第一步以后，乙朝哪个方向走，甲就朝哪个方向走，这样甲就能取胜。

　　如果是5×

5的方格，甲要取胜，应采取怎样的策略呢？

　　根据例2的分析，我们仍用

表示胜位，

表示负位，如右图所示.因此，先移动石子者必输——第一次他只能把石子移动到负位。

例3甲乙两人玩下面的游戏：

有两堆玻璃球，一堆8个，另一堆9个，甲乙两人轮流从中拿取，每次只能从同一堆中拿，个数（＞0）不限.规定拿到最后一个球的人为输.问如果甲先拿，他有无必胜的策略？

　　分析解这类题的一个常用的方法是从简单的情形讨论起，逐渐找出规律或找出解来。

　　为了便于叙述，我们用（m，n）表示两堆球，其中一堆有m个，另一堆有n个。

　　我们从最简单的情况（1，0）开始讨论。

　　显然，谁拿过球后两堆球成为（1，0）的状况，则对方必败，因为此时对方只有唯一的一种选择——拿走最后一个球.因此（1，0）是胜位，即谁造成这个局面谁必胜.把这种情形简记为

　　①（1，0），胜位。

　　②（a）（n，0），负位，其中n＞1；

　　（对方只需在n个球的那堆中拿走n—1个，对方就造出（1，0）局面，因而对方胜）。

　　显然，（b）（1，1），负位；

　　（c）（n，1），负位，其中n＞1。

　　（对方只需在n个球的那堆中的球全拿走，就造出（1，0）局面.）此外，

　　③（2，2），胜位.（对方拿走1个变（2，1），即②（c）中的情形；

拿走2个变（2，0），即②（a）中的情形.对方均负）.因此

　　④（n，2），负位，其中n＞2。

　　（对方只需在n个球的那堆中拿走n—2个，对方就占据了胜位（2，2）.）

　　与③类似，有

　　⑤（3，3），胜位.（对方一次拿走任意多个后必变为②（a），②（c），④三种负位之一.）因此

　　⑥（n，3），负位，其中n＞3。

　　（对方只需在n个球的那堆中拿走n—3个，对方就占据了胜位（3，3）.）还有

　　⑦（4，4），胜位.（对方一次拿走任意多个后必变为②（a），②（c），④，⑥四种负位之一.）因此

　　⑧（n，4），负位，其中n＞4。

　　（对方只需在n个球的那堆中拿走n—4个，对方就占据了胜位（4，4）.）如此等等，

　　因此，当两堆球的个数相等但不等于1，或只有一堆球，其中只有一个球时，先拿的必输；

当个数不相等但不是（1，0），或两堆各有1个球时，先拿的必胜（当为（n，0）时，拿走n-1个球；

当为（n，1）时，拿走n个球；

否则，从多的一堆中拿走一些，使两堆个数相等）。

如果甲先拿，甲有必胜的策略.甲的具体做法是：

从9个球的那一堆中拿1个，使两堆球数相等，都是8个。

　　此后，乙从一堆中拿球，甲就从另一堆中拿.如果乙把一堆中的球全拿走，那么甲就比乙少拿一个即可（即就剩下一个球）；

如果乙使得一堆球就剩下一个球，那么甲就把另一堆球都拿走；

否则，当乙拿几个时，甲也拿同样多的个数.在前两种情形，因为只剩下一堆球，而且这堆中只有一个球，因此乙必输；

在后一种情形两堆球的个数相同，只是比原来少了。

　　这样，如果每次都是后一种情形，那么甲总能使得乙面临两堆各有2个球的局面.这时，乙只有两种选择：

拿2个或拿1个，然后，甲拿1个或拿2个，乙也必输。

　　说明：

我们也可用例2的分析中的思考方法来解这道题。

　　先如右图画一表格.其中有“*”的格子表示两堆球的个数分别为3和5.这个方格记为（3，5）（第四行第六列）.显然.（5，3）（第六行第四列）的含义与（3，5）一样（行、列分别为从下到上、从左到右编序）.我们的问题转化为：

　　在（8，9）格中有一石子（即“有两堆玻璃球，一堆8个，另一堆9个”），甲乙两个轮流移动石子（即“甲乙两人轮流从中拿球”），每次只能向下或向左移动（即“每次只能从一堆中拿”），格数不限（即“个数不限”）.规定把石子移到（0，0）格（即左下角）的人为输（即“规定拿到最后一个球的人为输”）.问如果甲先移（即“甲先拿”），他有无必胜的策略？

　　按照例2分析中的思路，我们把解答填在右面的表格里，其中的“+”、“-”分别表示该格为“胜位”和“负位”.如，（1，0）格中的“+”表示谁把石子移动到这一格即会胜.在表格中除了（1，0），（0，1）是胜位外，其余所有的胜位为（n，n），n＝2，3，4，….而（8，9）格是负位.因此，开始时石子在（8，9）格中时，如甲先移，甲有必胜的策略，即甲必胜——把石子移到一个标有“+”的格子，即移到（8，8）格中.此时，无论乙怎样移动石子（只要按规定移），他必把石子移到负位.接着，甲又能把石子移到胜位，….最后，甲必能把石子移到（1，0）格或（0，l）格.因此甲必胜。

　　请同学们自己推导一下上述填“+”、“-”的过程，并把“移石子”的必胜策略“翻译”成“取玻璃球”的策略

习题九

　　1.如果把例1中的九个数改为1、2、3、4、5、6、7、8、10（注意缺少9），得分少者为胜，甲先填，请你为甲找出一种必胜的策略。

　　2.甲乙两人玩轮流从右图中选数的游戏，谁选的数中有三个在同一条直线上（即和为15），谁就胜.先选的人有没有必胜的方案？

　　3.把例2分别改成在8×

8和9×

9方格纸上，甲乙两人交替将右上角石子移到左下角，其他规则不变，问谁能有必胜策略？

　　4.甲乙两人玩下面的游戏：

有三堆玻璃球，A堆有29个，B堆有16个，C堆有16个，甲乙两人依次从中拿取，每次只许从同一堆中拿，至少拿一个，多拿不限，规定拿最后一个者为输.问如果甲先拿，他有无必胜的策略？

习题九解答

　　1.解：

为了叙述方便，在右图中标上字母a、b、c、d、e、f、g、h、i。

此题与例1几乎完全一样，只是把1改为10，把3～10改为8～1，把得分多者胜改为得分少者胜.因此，甲在必胜策略上也相仿，只需把填大（小）数改为填小（大）数.具体如下（记号见例1）：

　　（甲1，d10）.①若（乙1）不在f处填数，则（甲2）在f处填余下来的最大数.甲胜。

　　②若（乙1，f1）（乙当然在已方f处填最小数），则（甲2，b2）.甲胜。

　　2.解：

1、3、7、9这四个数各有两种可能使三个数在一条直线上，2、4、6、8各有三种可能，5有四种可能。

　　设甲先选.为了取胜，甲自然选5.乙选2.有以下几种可能：

　　①甲选4，乙必选6，甲必选7，乙必选3.无胜负.（甲选6与选4类似）。

　　②甲选9，乙必选1，甲选任一已不能获胜.（甲选7与选9类似）。

　　③甲选1，3是类似的，显然不能获胜。

　　④甲选8也显然不能获胜。

　　如果甲不先选5，而先选其他任一数，乙即选5.显然无胜负.因此先选者无必胜策略.

　　3.由例2知，采用倒推法分析得下图

　　我们仍然用“＋”表示胜位，“-”表示负位。

　　对于8×

8的棋盘，先走的人有必胜的策略。

　　对于9×

9的棋盘，后走的人有必胜的策略。

　　4.解：

根据例3，当只有两堆球，且两堆球的个数相同且个数不等于1时，先拿的必败.所以甲先取时，甲把A堆中的29个球全部取走，这时留给乙的是两堆球数相同且个数不等于1的局面.然后按照两堆球游戏的策略，甲就能获胜.

习题十

　　1.有一个珠宝店发生了一起盗窃案，被盗走了许多珍贵的珠宝.经过几个月的侦破，查明作案的人肯定是A、B、C、D中的一个，把这四个人当作重大嫌疑犯进行审讯，这四个人有这样的口供：

　　A：

“珠宝店被盗那天，我在别的城市，所以我是不可能作案的.”

　　B：

“D是罪犯.”

　　C：

“B是盗窃犯，他曾在黑市上卖珠宝.”

　　D：

“B与我有仇，陷害我.”

　　因为口供不一致，无法判断谁是罪犯，经过进一步调查知道，这四个人只有一个说的是真话.你知道罪犯是谁吗？

　　2.甲、乙、丙、丁四位同学的运动衫上印有不同的号码。

　　赵说：

“甲是2号，乙是3号.”

　　钱说：

“丙是4号，乙是2号.”

　　孙说：

“丁是2号，丙是3号.”

　　李说：

“丁是4号，甲是1号.”

　　又知道赵、钱、孙、李每人都只说对了一半，那么丙的号码是几？

　　3.对某班同学进行了调查，知道如下情况：

　　①有哥哥的人没有姐姐；

　　②没有哥哥的人有弟弟；

　　③有弟弟的人有妹妹。

　　试问：

（1）有姐姐的人一定没有哥哥，对吗？

（2）有弟弟的人一定没有哥哥，对吗？

　　（3）没有哥哥的人一定有妹妹，对吗？

　　4.某校办数学竞赛，A、B、C、D.E五位同学得了前五名，发奖前，老师让他们猜一猜各人的名次排列情况。

　　A说：

B第三名，C第五名。

　　B说：

E第四名，D第五名。

　　C说：

A第一名，E第四名。

　　D说：

C第一名，B第二名。

　　E说：

A第三名，B第四名。

　　老师说：

每个名次都有人猜对.那么，这五名同学的名次是怎样排列的？

习题十解答

　　1.根据B、D两人的话矛盾，可知两句话中必有一句真话，一句假话.假设B说真话，那么D是罪犯，而A也说了真话，产生了矛盾，所以只有D说真话，其余三人均说假话，则A偷了珠宝。

　　2.直接推理可得，由于每人只说对一半，且只有李提到了1号，故甲是1号，从而逐步推出：

乙是3号，丙是4号，丁是2号。

　　3.根据条件①得到

（1）是对的；

　　“有弟弟且有哥哥”并不与①②③矛盾，因此得到

（2）是不对的；

根据条件②③得到（3）是对的；

　　4.名次排列为：

C、B、A、E、D解法如第2题.