二次函数与四边形的动点问题含答案Word文件下载.docx

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24时，请判断平行四边形

OEAF是否

F

为菱形？

②是否存在点E，使平行四边形

OEAF为正方形？

若存在，

求出点E

A（6,0）

的坐标；

若不存在，请说明理由．

O

E

1

练习2.（四川省德阳市）25.如图，已知与x轴交于点A（1，0）和B（5，0）的抛物线l1的顶点为

C（3，4），抛物线l2与l1关于x轴对称，顶点为C．

（1）求抛物线l2的函数关系式；

（2）已知原点O，定点D（0，4），l2上的点P与l1上的点P始终关于x轴对称，则当点

P运动到

何处时，以点D，O，P，P为顶点的四边形是平行四边形？

（3）在l2上是否存在点M，使△ABM是以AB为斜边且一个角为

30

的直角三角形？

若存，

求出点M的坐标；

若不存在，说明理由．

l2

5

4

3

B

1O

123

45x

C

l1

练习3.（山西卷）如图，已知抛物线C1与坐标轴的交点依次是A（4，0），B（2，0），E（0，8）．

（1）求抛物线C1关于原点对称的抛物线C2的解析式；

（2）设抛物线C1的顶点为M，抛物线C2与x轴分别交于

C，D两点（点C在点D的左侧），顶点为N，四边形MDNA的面积为S．若点A，点D同时以每秒1个单位的速度沿水平方向分别向右、向左运动；

与此同时，点M，点N同时以每秒2个单位

的速度沿坚直方向分别向下、向上运动，直到点A与点D重合为

止．求出四边形MDNA的面积S与运动时间t之间的关系式，并写出自变量t的取值范围；

（3）当t为何值时，四边形MDNA的面积S有最大值，并求出此最大值；

（4）在运动过程中，四边形MDNA能否形成矩形？

若能，求出此时t的值；

若不能，请说明理由．

二．二次函数与四边形的面积

例1.（资阳市）25.如图10，已知抛物线P：

y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A、B两点（点A在x

轴的正半轴上），与y轴交于点C，矩形DEFG的一条边DE在线段AB上，顶点F、G分别在线段BC、

AC上，抛物线P上部分点的横坐标对应的纵坐标如下：

⋯

-3

-2

-5

-4

（1）求A、B、C三点的坐标；

（2）若点D的坐标为（m，0），矩形DEFG的面积为S，求S与m的函数关系，并指出m的取值范围；

（3）当矩形DEFG的面积S取最大值时，连接DF并延长至点M，使FM=k·

DF，若点M不在抛物线P上，求k的取值范围.

图10

练习1.（辽宁省十二市2007年第26题）．如图，平面直角坐标系中有一直角梯形OMNH，点H的

坐标为（－8，0），点N的坐标为（－6，－4）．

（1）画出直角梯形OMNH绕点O旋转180°

的图形OABC，并写出顶点A，B，C的坐标（点M的对应点为A，点N的对应点为B，点H的对应点为C）；

（2）求出过A，B，C三点的抛物线的表达式；

（3）截取CE=OF=AG=m，且E，F，G分别在线段CO，OA，AB上，求四边形BEFG的面积S与m之间的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；

面积S是否存在最小值?

若存在，请求出这个最小值；

若不存在，请说明理由；

（4）在（3）的情况下，四边形BEFG是否存在邻边相等的情况，若存在，请直接写出此时m的值，并指出相等的邻边；

练习3.（吉林课改卷）如图，正方形

ABCD的边长为2cm，在对称中心O处有一钉子．动点

P，

Q同时从点A出发，点P沿A

C方向以每秒2cm的速度运动，到点C停止，点Q沿A

D

方向以每秒1cm的速度运动，到点D停止．P，Q两点用一条可伸缩的细橡皮B

P

筋联结，设x秒后橡皮筋扫过的面积为

ycm2．

y与

之间的函数关系式；

Q

（）当0≤x≤1时，求

（2）当橡皮筋刚好触及钉子时，求

x值；

（3）当1≤x≤2时，求y与x之间的函数关系式，并写出橡皮筋从触及

钉子到运动停止时∠POQ的变化范围；

（4）当0≤x≤2时，请在给出的直角坐标系中画出

y与x之间的函数图

象．

2x

练习4.（四川资阳卷）如图，已知抛物线

l1：

y=x2-4的图象与x轴相交于A、C两点，B是抛物线

l1上的动点（B不与A、C重合），抛物线l2与l1关于x轴对称，以AC为对角线的平行四边形

ABCD的

第四个顶点为D.

（1）求l2的解析式；

（2）求证：

点D一定在l2上；

（3）□ABCD能否为矩形？

如果能为矩形，求这些矩形公共部分的面积

（若只有一个矩形符合条件，则求此矩形的面积）；

如果不能为矩形，请说明理由.注：

计算结果不取近似值

.

三．二次函数与四边形的动态探究

例1.（荆门市）28.如图1，在平面直角坐标系中，有一张矩形纸片OABC，已知O（0，0），A（4，0），

C（0，3），点P是OA边上的动点（与点O、A不重合）．现将△PAB沿PB翻折，得到△PDB；

再在OC边上选取适当的点E，将△POE沿PE翻折，得到△PFE，并使直线PD、PF重合．

（1）设P（x，0），E（0，y），求y关于x的函数关系式，并求y的最大值；

（2）如图2，若翻折后点D落在BC边上，求过点P、B、E的抛物线的函数关系式；

（3）在

（2）的情况下，在该抛物线上是否存在点Q，使△PEQ是以PE为直角边的直角三角形？

若不

存在，说明理由；

若存在，求出点

Q的坐标．

PAx

Ax

图1

图2

例2.（2010年沈阳市第26题）、已知抛物线y＝ax2＋bx＋c与x

轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中点B在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，线段OB、OC的长（OB<

OC）是方程x2－

10x＋16＝0的两个根，且抛物线的对称轴是直线x＝－2．

（1）求A、B、C三点的坐标；

（2）求此抛物线的表达式；

（3）连接AC、BC，若点E是线段AB上的一个动点（与点A、点B不重合），过点E作EF∥AC交BC于点F，连接CE，设AE的

长为m，△CEF的面积为S，求S与m之间的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；

（4）在（3）的基础上试说明S是否存在最大值，若存在，请求出S

的最大值，并求出此时点E的坐标，判断此时△BCE的形状；

例3..（湖南省郴州）27．如图，矩形

ABCD中，AB＝3，BC＝4，将矩形ABCD沿对角线A平移，

平移后的矩形为

EFGH（A、E、C、G始终在同一条直线上），当点

E与C重时停止移动．平移中

EF与BC交于点N，GH与BC的延长线交于点

M，EH与DC交于点P，FG与DC的延长线交于点

Q．设S表示矩形PCMH的面积，S表示矩形NFQC的面积．

（1）S与S相等吗？

请说明理由．

（2）设AE＝x，写出S和x之间的函数关系式，并求出

x取何值时S有最大值，最大值是多少？

（3）如图

11，连结BE，当AE为何值时，

ABE是等腰三角形．

H

N

M

G

图11

练习1.（07年河池市）如图12，四边形OABC为直角梯形，A（4，0），B（3，4），C（0，4）．点

M从O出发以每秒

2个单位长度的速度向A运动；

点N从B同时出发，以每秒1个单位长度的速度

向C运动．其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．过点

N作NP垂直x轴于点P，

连结AC交NP于Q，连结MQ．

（1）点

（填M或N）能到达终点；

（2）求△AQM的面积S与运动时间t的函数关系式，并写出自

变量t的取值范围，当t为何值时，S的值最大；

（3）是否存在点M，使得△AQM为直角三角形？

M的坐标，

MP

图12

6

练习2..（江西省）25．实验与探究

（1）在图1，2，3中，给出平行四边形

ABCD的顶点A，B，D的坐标（如图所示），写出图

1，

2，3中的顶点C的坐标，它们分别是

（5，2），

，

；

B（12），

B（c，d）

B（c，d）

A（a，b）

D（e，b）

O（A）

D（e，0）

D（4，0）

图3

（2）在图

4中，给出平行四边形

ABCD的顶点A，B，D的坐标（如图所示），求出顶点

C的

坐标（C点坐标用含a，b，c，d，e，f的代数式表示）；

D（e，f）

图4

归纳与发现

（3）通过对图

1，2，3，4的观察和顶点C的坐标的探究，你会发现：

无论平行四边形

ABCD处

于直角坐标系中哪个位置，当其顶点坐标为

A（a，b），B（c，d），C（m，n），D（e，f）（如图4）时，

则四个顶点的横坐标

a，c，m，e

纵坐标b，d，n，f之间的等量关

之间的等量关系为

系为

（不必证明）；

运用与推广

（4）在同一直角坐标系中有抛物线

（5c

3）x

9

c和三个点G

c，c，S

c，c

H（2c，0）（其中c

）．问当c为何值时，该抛物线上存在点

P，使得以G，S，H，P为顶点的四

边形是平行四边形？

并求出所有符合条件的

P点坐标．

答案：

例1.解：

（1）令y=0，解得x1

1或x23∴A（-1，0）B（3，0）；

将C点的横坐标x=2代入yx2

2x3得y=-3，∴C（2，-3）∴直线AC的函数解析式是y=-x-1

（2）设P点的横坐标为

x（-1≤x≤2）则P、E的坐标分别为：

P（x，-x-1），

E（（x,x2

2x3）∵P点在E点的上方，PE=（x1）（x2

2x3）

x2

∴当x

时，PE的最大值=

（3）存在

4个这样的点

F，分别是F1（1,0）,F2（3,0）,F3（4

7，0）,F4（4

7,0）

练习1.解：

（1）由抛物线的对称轴是x

，可设解析式为

7）2

ya（x

k．把A、B两点坐标代入上式，得

a（6

k

0,

）

25

解之，得a

k

a（0

）2

4.

故抛物线解析式为

）.

（x

，顶点为（

（2）∵点E（x,y）在抛物线上，位于第四象限，且坐标适合

2（x

7）225

OEAF的对角线，

∴y<

0，即－y>

0,－y表示点E到OA的距离．∵OA是

∴S2SOAE

OA

6y

4（7）2

25．

因为抛物线与

x轴的两个交点是（

1，0）的（6，0），所以，自变量

x的

取值范围是

1＜x＜6．

①

根据题意，当S=24时，即

4（x

2524．

1.

化简，得（x

解之，得x1

3,x24.

故所求的点E有两个，分别为

E1（3，－4），E2（4，－4）．

点E1（3，－4）满足OE=AE，所以

OEAF是菱形；

点E2（4，－4）不满足OE=AE，所以

OEAF不是菱形．

②

当OA⊥EF，且OA=EF时，OEAF是正方形，此时点

坐标只能是（

3，－3）．

而坐标为（3，－3）的点不在抛物线上，故不存在这样的点

E，

使

OEAF为正方形．

A（6,0）x

E的

练习2.解：

（1）由题意知点C的坐标为（3，4）．设l2的函数关系式为y3a（x

3）2

4．

3485x

12

又

点A（10），在抛物线y

a（x

4上，

（1

3）2a

0，解得a1．

抛物线l2的函数关系式为

（x3）2

4（或y

6x

5）．

（2）P与P始终关于x轴对称，

PP与y轴平行．

设点P的横坐标为m，则其纵坐标为

m2

6m

5，

OD4，

2m2

6m54，即

6m5

2．当m2

52时，解得m3

6．当m2

6m52时，解得

m

2．

当点P运动到（3

6，2）

或（3

6，2）或（3

2，2）或（3

2，2）时，

PP∥OD，以点D，O，P，P为顶点的四边形是平行四边形．

（3）满足条件的点

M不存在．理由如下：

若存在满足条件的点

M在l2上，则

AMB

90，

BAM

30（或

ABM

30），

BM

42．

AB

过点M作ME

AB于点E，可得

BME

30．