高等几何第三版朱德祥参考答案.docx
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高等几何第三版朱德祥参考答案
第一章仿射几何的基本概念
1证明线段的中点是仿射不变性，角的平分线不是仿射不变性。
证明：
设T为仿射变换，根据平面仿射几何的基本定理，T可使等腰厶ABC（AB=AC与一般
△ABC'相对应，设点D为线段BC的中点，贝UADLBC且3=Y,T（D）=D'
（图1）。
VT保留简比不变，
即（BCD=（BCD'）=-1,
•••D'是B'C'的中点。
因此线段中点是仿射不变性。
•••在等腰厶ABC中，3=Y。
设T（3）=3',T（丫）=y',
但一般△A'B'C'中，过A'的中线A'D'并不平分/A',
即B'与丫'一般不等。
•角平分线不是仿射不变性。
在等腰△ABC中，设D是BC的中点，贝UAD?
BC,由于
T（△ABC=△A'B'C'（一般三角形），D'仍为B'C'的中点。
由于在一般三角形中，中线A'D'并不垂直底边B'C'。
得下题
2、两条直线垂直是不是仿射不变性
答：
两直线垂直不是仿射不变性。
3、证明三角形的中线和重心是仿射不变性。
证明：
设仿射变换T将厶ABC变为△A'B'C',DE、F分别是BCCAAB边的中点。
由于仿射变换保留简比不变，所以D'=T（D）,E'=T（E）,F'=T（F）分别是B'C',C'A',A'B'
的中点，因此A'D',B'E',C'F'是厶A'B'C'的三条中线（图2）。
•••G€AD由结合性得
G'€A'D';
又•••（AGD=
（A'G'D'
）即
AD
AD
3
GD
GD
1
BE
BE
3
CF
CF
3
同理可得：
——
GE
GE
1，
GF
GF
1
••G'是厶A'B'C'
的重心。
设G是厶ABC的重心，且G'=T（G）
4、证明梯形在仿射对应下仍为梯形。
证明：
设在仿射对应下梯形ABCD（AB?
?
CD）与四边形A'B'C'D'相对应,
由于仿射对应保持平行性不变，因此A'B'?
?
C'D'，所以A'B'C'D'为梯形。
5、证明两个全等矩形经过仿射变换为两个等积平行四边形。
证明：
设T为仿射变换，ABGD与AE2C2D为两个全等矩形，其面积分别以Si=Sz。
由于T保留平行性，所以：
T（ABCD）:
=平行四边形
A'
1B'1C'Q'1,面积记为：
S'1
T（A2B2CD）:
=平行四边形
A'2B'2C'2D'2,面积记为：
S'2,
且S'1=KS1,
S'2=KS,
§
KS11SS2
S2
KS2
•••A'iB'iC'iD'i与A'2B'2C'2D'2是等积的平行四边形。
6、经过A（-3,2）和B（6,1）两点的直线被直线X+3y-6=0截于P点，求简比
ABP）
解：
设P点的坐标为（xo,y。
）
Q（ABP）
AP
BP
AP
PB
（分割比），而：
xo
yo
且P在直线x+3y-6=0上,
362
（L）3（厂）6°
解得入=1,即P是AB中点，且（ABF）=—1。
y1）和P（X2,
的联线段分成
7、证明直线Ax+By+C=0将两点P1（X1,
的比是便By1C
Ax2By2C
证明设分点为P（X。
y。
），则分割比
入=竺
PB
Qxo1
x1x2,yo牛丄（
1
1）
（xo,yo）在直线Ax+By+C=0上,
A（「B（『C0
Ax1+By1+C+入（Ax2+B舵+C）=0
图⑶
Ax2By2C
8、证明一直线上二线段之比是仿射不变量。
证明：
若直线a上两线段AB和CD经仿射变换T后与直线
a'上的两段
A'B'和CD对应图（3）
ABABBCA^BCAB,得证。
CDBCCDBCCDCD
9、证明图形的对称中心是仿射不变性，图形的对称轴和对称平面是不是仿射不变性证明：
设仿射变换T将中心对称图形F变为图形F'，点O是F的对称中心，
AB为图形F上关于点O对称的任意一对对称点。
设T（O）=O',T（A）=A'T（B）=B'。
•••T（F）=F'，由结合性，点A',B'在图形F'上；
由简比不变性，（ABO=（A'B'O'）。
所以F'是中心对称图形，从而图形的对称中心是仿射不变性。
如果点AB关于直线I（平面n）对称，则线段AB丄1（AB丄n）。
但仿射变换不保留角的度量，所以当T（A）=A',T（B）=B',
T
（1）=1'（T（n）=n'）时，线段A'B'不一定垂直线1'（平面n'）。
10、在仿射坐标系下，直线方程是一次的。
证明：
设在笛氏坐标系下直线方程为:
Ax+By+C=0
（1）
笛氏到仿射的变换式为：
x
1X
2y
0
12
y
1X
2
y
0
12
设其逆变换为：
X
a1x
a?
y
a0
a1
a2
0（3）
y
0X
b2y
b0
b
b2
为仿射坐标。
（x,y）为笛氏坐标，（x',y'）
将（3）式代入
（1）,得
A（ay'+a2y'+ao）+B（bx'+b2y'+bo）+C=0,
即卩：
（Aa1+Bb）x'+（Aa2+Bb）y'+Aa°+Bb0+C=0,记为：
AxByC0是x',y'的一次式。
其中A=Aa1+Bb1,B=Aa2+Bb2,C=Aa0+Bb）+C0
且A,B不全为0,若不然，Aa1+Bb1=0,Aa2+Bb=0
a
bi
a2
b2
0与1
bi
a2
b2
0矛盾。
11、利用仿射变换式,
试求在仿射变换下，三角形的面积是怎样改变的
（从而明确定理5所指常数的意义）。
解：
AA1AA3和
AA'
x
y1
1
=1
2
anX|
a12y
ai3
a21X|
a22y1
a23
1
X2
y2
1
3l1X2
a12y2
a13
a21X2
a22y2
a23
X3
y3
1
811X3
a12y3
ai3
a21X3
a22y3
a23
1
1A'2A'3的面积分别以
S,S'表示,
X1y11
ana210
X2y21
a〔2a220
X3y31
a13a231
2
D（常数）
这结果与§系
三角形（从而多边形或曲线形）的面积经仿射变换后乘以一
个常数k，此地进一步明确了这常数就是仿射变换式的行列式的绝对值，仿射变换
式不同，这常数也不同。
12、在等腰梯形中，两底中心，两对角线交点，两腰（所在直线）交点，这四点显
然共线（在对称轴上），试用仿射变换于此图形，得出什么推广了的命题
解：
设E,F,Q,P分别是等腰梯形ABCD下底，上底的中点，对角线交点，要腰所
在直线交点，T为仿射变换，
TT
则梯形ABCD梯形A'B'C'D'，EE'为BC中点，
T
FF'为A'D'中点。
图⑷
•••（BDQ=（B'D'Q'）,（ACQ）=（A'C'Q'）
（BAP=（B'A'P'）,（CDP）=（C'D'P'）
且E,QF,P共线，•••由结合性得E',Q',F',P'四点共线，但直线P'E'已不是对称轴（图4）。
由此得出，任意梯形上、下底中点，对角线交点，两腰
所在直线交点凡四点共线。
13、求仿射变换x3xy4的自对应点和自对应直线;
y4x2y
解：
求自对应点：
设x=x',y=y'
，因此得
2xy40
4x3y0
解得自对应点的坐标为x=-6,
y=-8。
求自对应直线，设任意直线l
（u,v,w）
在所给的变换下的像1'的方程为
u'x'+v'y'+w'=0
u'（3x—y+4）+v'（4x—2y）+w'=0,或（3u'+4v'）x—（u'+2v'）y+4u'+w'=0
若1为自对应直线，则u"u',v=入v',w=Xw'，因此
3u4vu3u4v0
u2vvu2v0
（1）
4uww4u1w0
因为u',v',w'不全为零，所以方程组
（1）有非零解。
3
4
0
故
1
2
0
0解得入1=2,入2=—1，入3=1,
4
0
1
将入1=2代入方程组
（1），得u'=4,v'=—1,w'=16。
将入2=—1代入方程组
（1），得u'=1,v'=—1,w'=—2。
将入3=1代入方程组
（1），得u'=0,v'=0,w'=1o
就本章内容而言，入=1时，自对应直线不存在，故所求自对应直线为:
4x—y+16=0和x—y—2=0。
第二章欧氏平面的拓广
1、证明中心投影一般不保留共线三点的简比。
证：
设△SAC为等腰三角形（SA=SC,SB丄AC过A作一
射线平行于SC交SB的延长线于B1,交SC于©（图
5）,则A,Bi,C*在中心S的投影下分别是A,B,C的像
占
八、、：
AC十
AC
•••（ABC）
=——2,而（ABC*）:
-1,
BC
B1C
•••（ABC）
工（ABG）,即中心投影
-般不保留共线三点的简比。
2、以下面的坐标表示的直线是怎样的直线
（1）（1，1-1）；
（2）（1,-1,0）;（3）（0,1,0）。
解利用点线结合方程：
U1X1+U2X2+U3X3=0.
先求二直线（2,1,3
0）的交点坐标:
X1：
X2:
X3=
13
3
2
21
10
0
1
11
）,（1,—1,
3:
3:
31:
1:
1
再求两点（1,
的联线的坐标:
1
1
11
11
2
1
11
12
1,—1）,（1,
2,
U1：
U2：
U3=
1:
0:
1所求直线方程为:
X1+X3=0或x+仁0
4、求直线（1,—1,2）与二点（3,4,—1）,（5,
—3,1）之联线的交点坐标。
41
13
U1:
U2：
U3-
31
15
解：
先求二点（3,4,—1）,（5,
1
2
2
X1:
X2：
X3-
再求二直线（1,—1,2）,（1,
82929
1:
8:
29
5
3
—8,
—29）的交点坐标：
1:
1
1
45:
31:
7
1:
1
8
C
—3,1）
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