高等几何第三版朱德祥参考答案.docx

1、高等几何第三版朱德祥参考答案第一章仿射几何的基本概念1证明线段的中点是仿射不变性，角的平分线不是仿射不变性。证明：设T为仿射变换，根据平面仿射几何的基本定理， T可使等腰厶ABC( AB=AC与一般 ABC相对应，设点 D为线段BC的中点，贝U ADL BC且 3 =Y, T ( D) =D(图1)。VT保留简比不变，即(BCD = (BCD ) = -1 , D是BC的中点。因此线段中点是仿射不变性。在等腰厶ABC中，3 =Y。设 T ( 3) = 3 , T ( 丫 ) = y ,但一般 ABC中，过 A的中线AD并不平分/ A,即B与丫 一般不等。角平分线不是仿射不变性。在等腰 ABC中

2、，设D是BC的中点，贝U AD? BC,由于T( ABC= ABC(一般三角形)，D仍为BC的中点。由于在一般三角形中，中线 AD并不垂直底边BC。得下题2、两条直线垂直是不是仿射不变性答：两直线垂直不是仿射不变性。3、证明三角形的中线和重心是仿射不变性。证明：设仿射变换 T将厶ABC变为 ABC , D E、F分别是BC CA AB边的中点。由于仿射变换保留简比不变， 所以D =T(D) ,E=T(E) ,F=T(F)分别是BC,CA,AB的中点，因此 AD , BE , CF是厶ABC的三条中线(图 2)。 G AD由结合性得G AD;又( AGD =(AGD)即ADAD3GDG D1BE

3、B E3CFCF3同理可得：GEGE1，GFGF1G是厶 ABC的重心。设G是厶ABC的重心，且 G=T(G)4、证明梯形在仿射对应下仍为梯形。证明：设在仿射对应下梯形 ABCD( AB? ? CD)与四边形 ABCD相对应,由于仿射对应保持平行性不变，因此 AB ? ? CD，所以ABCD为梯形。5、证明两个全等矩形经过仿射变换为两个等积平行四边形。证明：设T为仿射变换，ABGD与AE2C2D为两个全等矩形，其面积分别以 Si=Sz。由于T保留平行性，所以：T (ABCD):=平行四边形A1B1CQ1,面积记为：S1T (A2B2CD):=平行四边形A 2B2C2D2,面积记为：S 2,且

4、S 1=K S1,S 2=KS,KS1 1 S S2S2KS2 A iBiCiDi与A 2B 2C2D 2是等积的平行四边形。6、经过A (-3 , 2)和B(6, 1)两点的直线被直线 X+3y-6=0截于P点，求简比ABP)解：设P点的坐标为(xo, y。)Q (ABP)APBPAPPB(分割比)，而：xo,yo且P在直线x+3y-6=0上,3 6 2(L)3(厂)6 解得入=1,即P是AB中点，且(ABF) = 1。y1 )和 P ( X2,的联线段分成7、证明直线 Ax+By+C=0将两点P1 (X1,的比是便By1 CAx2 By2 C证明 设分点为P ( X。, y。)，则分割比入

5、=竺PBQxo 1x1 x2,yo 牛丄(11)(xo, yo)在直线 Ax+By+C=0上,A(B(C 0Ax 1+By 1+C+入(Ax 2+B舵+C)=0图Ax2 By2 C8 、证明一直线上二线段之比是仿射不变量。证明：若直线a上两线段AB和CD经仿射变换T后与直线a上的两段AB和CD 对应图(3)AB AB BC ABC AB,得证。CD BC CD BC CD CD9、证明图形的对称中心是仿射不变性，图形的对称轴和对称平面是不是仿射不变性 证明：设仿射变换 T将中心对称图形 F变为图形F，点O是F的对称中心，A B为图形F上关于点O对称的任意一对对称点。设 T ( O) =O, T

6、 ( A) =A T ( B) =B。 T ( F) =F，由结合性，点 A , B在图形F上；由简比不变性，（ABO = （ABO）。所以F是中心对称图形，从而图形的对称中心是仿射不变性。如果点A B关于直线I （平面n）对称，则线段 AB丄1 （AB丄n）。但仿射变换不保留角的度量，所以当 T （A） =A , T （ B） =B,T （1） =1 （T （n） =n ）时，线段 AB不一定垂直线1（平面n ）。10、在仿射坐标系下，直线方程是一次的。证明：设在笛氏坐标系下直线方程为:Ax+By+C=0(1)笛氏到仿射的变换式为：x1X2y01 2y1X2y01 2设其逆变换为： Xa1x

7、a?ya0a1a20 (3)y0Xb2yb0bb2为仿射坐标。（x,y ）为笛氏坐标，（x , y）将(3)式代入(1),得A (ay+a 2y+a o) +B ( bx+b 2y+b o) +C=0,即卩：(Aa1+Bb) x +(Aa2+Bb) y+A a+Bb0+C=0, 记为：Ax By C 0是x,y的一次式。 其中 A =Aa 1+Bb1, B =Aa2+Bb2, C=Aa0+Bb)+C0且 A,B 不全为 0,若不然，Aa1+Bb1=0, Aa2+Bb=0abia2b20与1bia2b20矛盾。11、利用仿射变换式,试求在仿射变换下，三角形的面积是怎样改变的（从而明确定理5所指常

8、数的意义）。解：AA 1AA3 和A Axy11=12an X|a12 yai3a21 X|a22 y1a231X2y213l1 X2a12 y2a13a21 X2a22 y2a23X3y31811X3a12 y3ai3a21 X3a22 y3a2311A 2A3的面积分别以S, S表示,X1 y1 1an a21 0X2 y2 1a2 a22 0X3 y3 1a13 a23 12D （常数）这结果与系三角形（从而多边形或曲线形）的面积经仿射变换后乘以一个常数k，此地进一步明确了这常数就是仿射变换式的行列式的绝对值，仿射变换式不同，这常数也不同。12、在等腰梯形中，两底中心，两对角线交点，两腰

9、（所在直线）交点，这四点显然共线(在对称轴上)，试用仿射变换于此图形，得出什么推广了的命题解：设E, F, Q, P分别是等腰梯形 ABCD下底，上底的中点，对角线交点，要腰所在直线交点，T为仿射变换，T T则梯形ABCD梯形ABCD ，E E为BC中点，TF F为AD中点。图( BDQ = ( BDQ ) ,(ACQ)= (ACQ)(BAP = (BAP ) ,(CDP)=(CDP)且E, Q F, P共线，由结合性得 E , Q , F , P四点共线，但直线 PE 已不是对称轴(图 4)。由此得出，任意梯形上、下底中点，对角线交点，两腰所在直线交点凡四点共线。13、求仿射变换 x 3x

10、y 4的自对应点和自对应直线;y 4x 2y解：求自对应点：设 x=x, y =y，因此得2x y 4 04x 3y 0解得自对应点的坐标为 x=-6 ,y=-8。求自对应直线，设任意直线 l(u,v,w )在所给的变换下的像 1的方程为ux+vy+w=0u (3x y+4)+v (4x 2y) +w =0,或(3u+4v ) x (u+2v)y+4u+w=0若1为自对应直线，则 u u , v=入v , w=X w，因此3u 4v u 3 u 4v 0u 2v v u 2 v 0 (1)4u w w 4u 1 w 0因为u , v , w不全为零，所以方程组(1)有非零解。340故1200解

11、得入1=2,入2= 1，入3=1 ,401将 入1=2代入方程组(1)，得u= 4, v = 1, w =16。将 入 2= 1 代入方程组(1)，得 u=1, v= 1 , w= 2。将 入3=1代入方程组(1)，得u=0, v=0 , w=1 o就本章内容而言，入=1时，自对应直线不存在，故所求自对应直线为: 4x y+16=0 和 x y 2=0。第二章 欧氏平面的拓广1、证明中心投影一般不保留共线三点的简比。证：设 SAC为等腰三角形(SA=SC ,SB丄AC 过A作一射线平行于SC交SB的延长线于B1,交SC于 (图5）,则A,Bi,C*在中心S的投影下分别是 A,B,C的像占八、：

12、AC 十AC( ABC)=2,而(ABC*):- 1 ,BCB1C( ABC)工（ABG）,即中心投影-般不保留共线三点的简比。2、以下面的坐标表示的直线是怎样的直线(1)( 1，1- 1)； (2) (1 , - 1 , 0); ( 3) ( 0, 1, 0)。解 利用点线结合方程：U1X1+U2X2+U3X3 = 0.先求二直线（2,1,30）的交点坐标:X1： X2 : X3=1 3322 11 0011 1),(1, 1 ,3:3: 3 1:1: 1再求两点（1,的联线的坐标:111 11 1211 11 21, 1), (1,2,U1： U2： U3=1:0:1 所求直线方程为:X1+X3=0 或 x+ 仁04、求直线(1, 1,2 )与二点(3, 4, 1) ,(5,3,1）之联线的交点坐标。4 11 3U1 : U2： U3-3 11 5解：先求二点（3 , 4, 1）, （5,122X1 : X2： X3-再求二直线（1, 1,2 ）, （1 ,8 29 291: 8: 29538 ,29）的交点坐标：1 :1145:31: 71 :18C3,1）