第五章 信号的抽取与插值.docx

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第五章信号的抽取与插值

第5章信号的抽取与插值

5.1前言

至今，我们讨论的信号处理的各种理论、算法及实现这些算法的系统都是把抽样频率视为恒定值，即在一个数字系统中只有一个抽样率。

但是，在实际工作中，我们经常会遇到抽样率转换的问题。

一方面，要求一个数字系统能工作在“多抽样率（multirate）”状态，以适应不同抽样信号的需要；另一方面，对一个数字信号，要视对其处理的需要及其自身的特征，能在一个系统中以不同的抽样频率出现。

例如：

1.一个数字传输系统，即可传输一般的语音信号，也可传输播视频信号，这些信号的频率成份相差甚远，因此，相应的抽样频率也相差甚远。

因此，该系统应具有传输多种抽样率信号的能力，并自动地完成抽样率的转换；

2.如在音频世界，就存在着多种抽样频率。

得到立体声声音信号（Studiowork）所用的抽样频率是48kHz，CD产品用的抽样率是44.1kHz，而数字音频广播用的是32kHz[15]。

3.当需要将数字信号在两个具有独立时钟的数字系统之间传递时，则要求该数字信号的抽样率要能根据时钟的不同而转换；

4.对信号（如语音，图象）作谱分析或编码时，可用具有不同频带的低通、带通及高通滤波器对该信号作“子带”分解，对分解后的信号再作抽样率转换及特征提取，以实现最大限度减少数据量，也即数据压缩的目的；

5.对一个信号抽样时，若抽样率过高，必然会造成数据的冗余，这时，希望能在该数字信号的基础上将抽样率减下来。

以上几个方面都是希望能对抽样率进行转换，或要求数字系统能工作在多抽样率状态。

近20年来，建立在抽样率转换理论及其系统实现基础上的“多抽样率数字信号处理”已成为现代信号处理的重要内容。

“多抽样率数字信号处理”的核心内容是信号抽样率的转换及滤波器组。

减少抽样率以去掉过多数据的过程称为信号的“抽取（decimatim）”，增加抽样率以增加数据的过程称为信号的“插值（interpolation）。

抽取、插值及其二者相结合的使用便可实现信号抽样率的转换。

滤波器组，因名思义，它是一组滤波器，它用以实现对信号频率分量的分解，然后根据需要对其各个“子带”信号进行多种多样的处理（如编码）或传输，在另一端再用一组滤波器将处理后的“子带”信号相综合。

前者称为分析滤波器组，后者称为综合滤波器组。

我们将在本章详细讨论抽样率转换的方法，在第6、第7及第8三章讨论滤波器组问题。

5.2信号的抽取

设，欲使减少M倍，最简单的方法是将中每M个点中抽取一个，依次组成一个新的序列，即

n=-¥~+¥（5.2.1）

现在我们证明，和的DTFT有如下关系：

（5.2.2）

证明：

由（5.2.1）式，的变换为

（5.2.3）

为了导出和之间的关系，我们定义一个中间序列：

（5.2.4）

注意，的抽样率仍示，而的抽样率是。

、及如图5.2.1（a），（b）和（c）所示，抽取的框图如图（d）所示。

图中符号表示作M倍抽取。

由该图，显然，这样，有

即（5.2.5）

现在的任务是要找到和之间的关系。

令为一脉冲序列，它在M的整数倍处的值为1，其余皆为零，其抽样频率也为。

由1.8节的Possion和公式及DFS的理论，又可表示为：

（5.2.6）

因为，所以：

即：

（5.2.7）

将该式代入（5.2.5）式，有

（5.2.8）

令代入此式，即得（5.2.2）式，证毕。

（5.2.8）式又常写成如下形式

（5.2.9）

图5.2.1信号抽取示意图，M=3,横坐标为抽样点数

原信号，，抽取后的信号，（d）抽取的框图

（5.2.2）式的含意是，将信号作M倍的抽取后，所得信号的频谱等于原信号的频谱先作M倍的扩展，再在轴上作（）的移位后再迭加。

如图5.2.2的（a），（b），（c）,（d）及（e）所示。

图5.2.2信号抽取后频谱的变化,图中

由抽样定理，在由抽样变成时，若保证，那么抽样的结果不会发生频谱的混迭。

对作M倍抽取得到，若保证由重建出，那么，的一个周期（）也应等于的频谱。

这就要求抽样频率必须满足。

图5.2.2正是这种情况。

图中的频谱限制在内，而又正好作M＝3的抽取，因此中没有发生频谱的混迭，如图（e）所示。

但是，如果的条件不能得到满足，那么中将发生混迭，因此也就无法重建出。

如图5.2.3（a）所示，的频谱在的范围内仍有值，因此，即使作M＝2倍的抽取，也必然发生混迭，如图（b）所示。

由于M是可变的，所以很难要求在不同的M下都能保证。

为此，防止抽取后在中出现混迭的方法是在对抽取前先作低通滤波，压缩其频带，如图（c）所示。

令为一理想低通滤波器，即

（5.2.10）

如图（d）所示，令滤波后的输出为，则

令对抽取后的序列为，则

（5.2.11）

由前面的推导不难得出：

（5.2.12a）

及

（5.2.12b）

的频谱如图（e）所示，如图（f）所示。

由该图可以看出，加上频带为（）的低通滤波器后，可以避免抽取后频谱的混迭。

因此，在对信号抽取时，抽取前的低通滤波一般是不可缺少的。

在图5.2.3（f）中使用了变量“”，现对此稍作解释。

在一个多抽样率系统中，不同位置处的信号往往工作在不同的抽样频率下，因此，标注该信号频率的变量“”也就具有不同的含义。

例如，在图5.2.1（d）中，若令相对的圆周频率为，相对对的圆周频率为，则和有如下关系：

（5.2.13）

若要求，则必须有，这正是（5.2.10）式对频带所提要求的原因。

同时使用和两个变量固然能指出抽取前后信号频率的内涵，但使用起来非常不方便。

故在本书中，除非特别说明，在抽取前后及下一节要讨论的插值前后，信号的圆周频率统一用表示之。

只要搞清了抽取和插值前后的频率关系，一般是不会混淆的。

图5.2.3先滤波再抽取后的频谱的变化，图中M=2

（a），（b）没滤波就抽取得到的，（c）信号抽取框图，（d），（e），（d）滤波后再抽取得到的

5.3信号的插值

如果希望将的抽样频率增加L倍，即变成，那么，最简单的方法是将每两个点之间补L-1个零。

设补零后的信号为，则

（5.3.1）

如图5.3.1（a）和（b）所示。

图5.3.1信号的插值

（a）原信号，（b）插入个零后的，。

现在来分析、各自DTFT之间的关系。

由于

即

（5.3.2）

同理

（5.3.3）

式中，和都是周期的，的周期是，但的周期是。

这样，的周期也是。

（5.3.2）式的含意是：

在的范围内，的带宽被压缩了倍，因此，在内包含了个的压缩样本，如图5.3.2所示。

图5.3.2插值后对频域的影响，

（a）插值前的频谱，（b）插值后的频谱

由该图可以看出，插值以后，在原来的一个周期（）内，出现了个周期，多余的-1个周期称为的映像，我们应当设法去除这些映像。

实际上，图5.3.1用塞进零的方法实现插值是毫无意义的，因为补零不可能增加信息。

自然，我们需要用中的点对这些为零的点作出插值。

实现插值的方法是用和一低通滤波器作卷积。

为此，令

（5.3.4）

式中为常数，是一定标因子。

令通过后的输出为，如图5.3.3所示。

图5.3.3插值后的滤波

这样，滤波器的作用即是去除了中多余的映像，另一方面，也实现了对中零值点的插值。

因为

及

所以

这样，若取，则可保证。

现在，我们来分析一下图5.3.3中的时域关系。

由（5.3.1）式，有

即（5.3.5）

5.4抽取与插值相结合的抽样率转换

对给定的信号，若希望将抽样率转变为倍，可以按以上两节讨论的方法，先将作倍的抽取，再作倍的插值来实现，或是先作倍的插值，再作倍的抽取。

一般来说，抽取使的数据点减少，会产生信息的丢失，因此，合理的方法是先对信号作插值，然后再抽取，如图5.4.1（a）所示。

图中插值和抽取工作在级联状态。

图（a）中滤波器，所处理的信号的抽样率都是，因此可以将它们合起来变成一个滤波器，如图5.4.1（b）所示。

令

（5.4.1）

则该滤波器既去除了插值后的映像又防止了抽取后的混迭。

现在分析一下图5.4.1（b）中各部分信号的关系。

由上两节的讨论可知，有

（5.4.2）

及

（5.4.3）

因为（5.4.4）

图5.4.1插值合抽取的级联实现

（a）使用两个低通滤波器，（b）使用一个低通滤波器

所以

（5.4.5）

及

（5.4.6）

对比（5.2.11）及（5.3.5）式，可以看出（5.4.6）式中的正是单独抽取和单独插值时时域关系的结合。

因为是因果的滤波器，所以，即，这是（5.4.6）式中的取值制约关系。

记

（5.4.7）

式中表示求小于或等于的最大整数，这样，（5.4.5）式可写成

（5.4.8）

由于

我们可最后得到和之间关系的表达式：

（5.4.9）

式中表示对模求余。

现在我们通过一个实例来分析一下上述抽样率转换的过程。

令，，和都是一个四点的序列，如图5.4.2所示。

图5.4.2抽样率转换过程

实现图5.4.1（b）的倍抽样率转换，一个办法是从依次求出，及。

如要求出，按（5.4.4）式，有

显然，式中包含很多乘以零的运算，这实际上是不需要的。

若按（5.4.5）式，则

从而避免了乘以零的不必要的计算。

但是，把，，，……都求出来也是没有必要的，因为我们对要作倍的抽取，这样，，……等要被舍弃，因此，没有必要计算。

改由（5.4.9）式，即一步由得到，有

时，

时，

时

这样，按（5.4.9）式计算时既避免了与插值后为零的点相乘的多余运算，又避免了被舍弃点的多余计算。

可见，在多抽样率转换中，不同计算方法的选取会需要不同的计算量。

解决这一问题的有效方法是采用信号的“多相（polyphase）结构”。

（5.4.9）式即是多相结构的一种表示形式，更多的内容我们将在下一节讨论。

最后，我们给出和的频域关系。

由上两节的讨论，有

（5.4.10）

（5.4.11）

在实际工作中，无论抽取还是插值，所用的滤波器一般都选取截止性能好而且是线性相位的FIR滤波器。

文献[50]给出了信号抽取与插值的概论性的论述。

5.5信号的多相表示

信号的多相表示在多抽样率信号处理中有着重要的作用。

使用多相表示可在抽样率转换的过程中去掉许多不必要的计算，因而大大提高运算的速度。

给定序列，令，假定，有

即（5.5.1）记（5.5.2）则（5.5.3）若再记（5.5.4）

为的多相分量，则

（5.5.5）上面的求和是从，这是考虑是因果序列。

对任一序列，上面各式的求和均可扩展至。

上面的多相表示对FIR和IIR系统均适用。

例如，若

，取，

令，

则

再例如，令

，由关系：

有

令，

则

（5.5.1）~（5.5.5）式称为类型-I多相表示。

如果我们用代替类型I中的，则有（5.5.6）

式中（5.5.7）

这两个表达式称为类型-II多相表示。

若用代替（5.5.1）~（5.5.5）中的，则有

（5.5.8）

（5.5.9）

这两个表达式称为类型-III多相表示。

显然，。

、和是信号重新组合的三种不同形式，在本书中，最常用的是和。

现在，我们来观察它们对原序列重新组合的不同方式。

令

，，

则

，，，

，，