所以f（x）在上单调递增，在（1，e]上单调递减，
所以f（x）max＝f
（1）＝－.
思维升华求函数f（x）在[a，b]上的最大值和最小值的步骤
（1）求函数在（a，b）内的极值．
（2）求函数在区间端点的函数值f（a），f（b）．
（3）将函数f（x）的极值与f（a），f（b）比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值．
跟踪训练设函数f（x）＝x3－－2x＋5，若对任意的x∈[－1,2]，都有f（x）>a，则实数a的取值范围是________________．
答案
解析 由题意知，f′（x）＝3x2－x－2，
令f′（x）＝0，得3x2－x－2＝0，
解得x＝1或x＝－，
又f
（1）＝，f＝，
f（－1）＝，f
（2）＝7，
故f（x）min＝，∴a<.
题型三 函数极值和最值的综合问题
典例（优质试题·珠海调研）已知函数f（x）＝（a>0）的导函数y＝f′（x）的两个零点为－3和0.
（1）求f（x）的单调区间；
（2）若f（x）的极小值为－e3，求f（x）在区间[－5，＋∞）上的最大值．
解
（1）f′（x）＝＝.
令g（x）＝－ax2＋（2a－b）x＋b－c，
因为ex>0，所以y＝f′（x）的零点就是g（x）＝－ax2＋（2a－b）x＋b－c的零点且f′（x）与g（x）符号相同．
又因为a>0，所以当－30，即f′（x）>0，
当x<－3或x>0时，g（x）<0，即f′（x）<0，
所以f（x）的单调递增区间是（－3,0），
单调递减区间是（－∞，－3），（0，＋∞）．
（2）由
（1）知，x＝－3是f（x）的极小值点，
所以有
解得a＝1，b＝5，c＝5，
所以f（x）＝.
因为f（x）的单调递增区间是（－3,0），
单调递减区间是（－∞，－3），（0，＋∞），
所以f（0）＝5为函数f（x）的极大值，
故f（x）在区间[－5，＋∞）上的最大值取f（－5）和f（0）中的最大者，而f（－5）＝＝5e5>5＝f（0），
所以函数f（x）在区间[－5，＋∞）上的最大值是5e5.
思维升华
（1）求极值、最值时，要求步骤规范，含参数时，要讨论参数的大小．
（2）求函数在无穷区间（或开区间）上的最值，不仅要研究其极值情况，还要研究其单调性，并通过单调性和极值情况，画出函数的大致图象，然后借助图象观察得到函数的最值．
跟踪训练若函数f（x）＝x3＋x2－在区间（a，a＋5）上存在最小值，则实数a的取值范围是（ ）
A．[－5,0）B．（－5,0）
C．[－3,0）D．（－3,0）
答案 C
解析 由题意，得f′（x）＝x2＋2x＝x（x＋2），
故f（x）在（－∞，－2），（0，＋∞）上是增函数，
在（－2,0）上是减函数，作出其图象如图所示，
令x3＋x2－＝－，得
x＝0或x＝－3，则结合图象可知，
解得a∈[－3,0）．
利用导数求函数的最值
典例（12分）已知函数f（x）＝lnx－ax（a∈R）．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）当a>0时，求函数f（x）在[1,2]上的最小值．
思维点拨
（1）已知函数解析式求单调区间，实质上是求f′（x）>0，f′（x）<0的解区间，并注意定义域．
（2）先研究f（x）在[1,2]上的单调性，再确定最值是端点值还是极值．（3）两小问中，由于解析式中含有参数a，要对参数a进行分类讨论．
规范解答
解
（1）f′（x）＝－a（x>0），
①当a≤0时，f′（x）＝－a>0，即函数f（x）的单调递增区间为（0，＋∞）．[2分]
②当a>0时，令f′（x）＝－a＝0，可得x＝，
当00；
当x>时，f′（x）＝<0，
故函数f（x）的单调递增区间为，
单调递减区间为.[4分]
综上可知，当a≤0时，函数f（x）的单调递增区间为（0，＋∞）；
当a>0时，函数f（x）的单调递增区间为，单调递减区间为.[5分]
（2）①当≤1，即a≥1时，函数f（x）在区间[1,2]上是减函数，所以f（x）的最小值是f
（2）＝ln2－2a.[6分]
②当≥2，即0（1）＝－a
.[7分]
③当1<<2，即（2）－f
（1）＝ln2－a，
所以当（1）＝－a；
当ln2≤a<1时，最小值为f
（2）＝ln2－2a.[11分]
综上可知，当0（1）＝－a；
当a≥ln2时，函数f（x）的最小值是f
（2）＝ln2－2a.[12分]
用导数法求给定区间上的函数的最值问题的一般步骤
第一步：
（求导数）求函数f（x）的导数f′（x）；
第二步：
（求极值）求f（x）在给定区间上的单调性和极值；
第三步：
（求端点值）求f（x）在给定区间上的端点值；
第四步：
（求最值）将f（x）的各极值与f（x）的端点值进行比较，确定f（x）的最大值与最小值；
第五步：
（反思）反思回顾，查看关键点，易错点和解题规范．
1．下列函数中，既是奇函数又存在极值的是（ ）
A．y＝x3B．y＝ln（－x）
C．y＝xe－xD．y＝x＋
答案 D
解析 由题可知，B，C选项中的函数不是奇函数；A选项中，函数y＝x3单调递增（无极值）；D选项中的函数既为奇函数又存在极值．
2．函数f（x）＝x3－4x＋4的极大值为（ ）
A.B．6C.D．7
答案 A
解析 f′（x）＝x2－4＝（x＋2）（x－2），
f（x）在（－∞，－2）上单调递增，在（－2,2）上单调递减，在（2，＋∞）上单调递增，
所以f（x）的极大值为f（－2）＝.
3．已知函数f（x）＝x3＋ax2＋（a＋6）x＋1有极大值和极小值，则实数a的取值范围是（ ）
A．（－1,2）B．（－∞，－3）∪（6，＋∞）
C．（－3,6）D．（－∞，－1）∪（2，＋∞）
答案 B
解析 ∵f′（x）＝3x2＋2ax＋（a＋6），
由已知可得f′（x）＝0有两个不相等的实根．
∴Δ＝4a2－4×3（a＋6）>0，即a2－3a－18>0.
∴a>6或a<－3.
4．（优质试题·哈尔滨调研）函数f（x）＝x2－lnx的最小值为（ ）
A.B．1C．0D．不存在
答案 A
解析 f′（x）＝x－＝且x>0.
令f′（x）>0，得x>1.
令f′（x）<0，得0∴f（x）在x＝1处取得极小值也是最小值，
且f
（1）＝－ln1＝.
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