导数与函数的极值最值.docx

1、导数与函数的极值最值导数与函数的极值、最值题型一用导数求解函数极值问题命题点1根据函数图象判断极值典例 设函数f(x)在R上可导，其导函数为f(x)，且函数y(1x)f(x)的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是()A函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)B函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)C函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(2)D函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(2)答案D解析由题图可知，当x0；当2x1时，f(x)0；当1x2时，f(x)2时，f(x)0.由此可以得到函数f(x)在x2处取得极大值，在x2处取得极小值命题点2求函数的极值典例 (优质试题泉州质检

2、)已知函数f(x)x1 (aR，e为自然对数的底数)(1)若曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线平行于x轴，求a的值；(2)求函数f(x)的极值解(1)由f(x)x1，得f(x)1.又曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线平行于x轴，得f(1)0，即10，解得ae.(2)f(x)1，当a0时，f(x)0，f(x)为(，)上的单调增函数，所以函数f(x)无极值当a0时，令f(x)0，得exa，即xln a，当x(，ln a)时，f(x)0，所以f(x)在(，ln a)上单调递减，在(ln a，)上单调递增，故f(x)在xln a处取得极小值且极小值为f(ln a)ln a，无极大值综上，当

3、a0时，函数f(x)无极值；当a0时，f(x)在xln a处取得极小值ln a，无极大值命题点3根据极值求参数典例 (1)(优质试题沧州模拟)若函数f(x)x32cx2x有极值点，则实数c的取值范围为_答案解析f(x)3x24cx1，由f(x)0有两个不同的根，可得(4c)2120，c或c.(2)若函数f(x)x2x1在区间上有极值点，则实数a的取值范围是()A. B. C. D. 答案C解析函数f(x)在区间上有极值点等价于f(x)0有2个不相等的实根且在内有根，由f(x)0有2个不相等的实根，得a2.由f(x)0在内有根，得ax在内有解，又x，所以2a，综上，a的取值范围是.思维升华 函数

4、极值的两类热点问题(1)求函数f(x)极值的一般解题步骤确定函数的定义域；求导数f(x)；解方程f(x)0，求出函数定义域内的所有根；列表检验f(x)在f(x)0的根x0左右两侧值的符号(2)根据函数极值情况求参数的两个要领列式：根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解验证：求解后验证根的合理性跟踪训练 (1)函数f(x)(x21)22的极值点是()Ax1 Bx1Cx1或1或0 Dx0答案C解析f(x)x42x23，由f(x)4x34x4x(x1)(x1)0，得x0或x1或x1.又当x1时，f(x)0，当1x0，当0x1时，f(x)1时，f(x)0，x0,1，1都是f(

5、x)的极值点(2)函数y2x的极大值是_答案3解析y2，令y0，得x1.当x0时，y0；当1x0时，y0.当x1时，y取极大值3.题型二用导数求函数的最值典例 (优质试题洛阳模拟)已知函数f(x)kln x，k，求函数f(x)在上的最大值和最小值解f(x).若k0，则f(x)在上恒有f(x)0，所以f(x)在上单调递减若k0，则f(x).()若k0，则在上恒有0，由ke，则x0在上恒成立，所以0，所以f(x)在上单调递减综上，当k0，得x1；令f(x)0，得1a，则实数a的取值范围是_答案解析由题意知，f(x)3x2x2，令f(x)0，得3x2x20，解得x1或x，又f(1)，f，f(1)，f

6、(2)7，故f(x)min，a0)的导函数yf(x)的两个零点为3和0.(1)求f(x)的单调区间；(2)若f(x)的极小值为e3，求f(x)在区间5，)上的最大值解(1)f(x).令g(x)ax2(2ab)xbc，因为ex0，所以yf(x)的零点就是g(x)ax2(2ab)xbc的零点且f(x)与g(x)符号相同又因为a0，所以当3x0，即f(x)0，当x0时，g(x)0，即f(x)5f(0)，所以函数f(x)在区间5，)上的最大值是5e5.思维升华 (1)求极值、最值时，要求步骤规范，含参数时，要讨论参数的大小(2)求函数在无穷区间(或开区间)上的最值，不仅要研究其极值情况，还要研究其单调

7、性，并通过单调性和极值情况，画出函数的大致图象，然后借助图象观察得到函数的最值跟踪训练 若函数f(x)x3x2在区间(a，a5)上存在最小值，则实数a的取值范围是()A5,0) B(5,0)C3,0) D(3,0)答案C解析由题意，得f(x)x22xx(x2)，故f(x)在(，2)，(0，)上是增函数，在(2,0)上是减函数，作出其图象如图所示，令x3x2，得x0或x3，则结合图象可知，解得a3,0)利用导数求函数的最值典例 (12分)已知函数f(x)ln xax(aR)(1)求函数f(x)的单调区间；(2)当a0时，求函数f(x)在1,2上的最小值思维点拨 (1)已知函数解析式求单调区间，实

8、质上是求f(x)0，f(x)0)，当a0时，f(x)a0，即函数f(x)的单调递增区间为(0，)2分当a0时，令f(x)a0，可得x，当0x0；当x时，f(x)0时，函数f(x)的单调递增区间为，单调递减区间为.5分(2)当1，即a1时，函数f(x)在区间1,2上是减函数，所以f(x)的最小值是f(2)ln 22a.6分当2，即0a时，函数f(x)在区间1,2上是增函数，所以f(x)的最小值是f(1)a.7分当12，即a1时，函数f(x)在上是增函数，在上是减函数又f(2)f(1)ln 2a，所以当aln 2时，最小值是f(1)a；当ln 2a1时，最小值为f(2)ln 22a.11分综上可知，当0a0，即a23a180.a6或a0.令f(x)0，得x1.令f(x)0，得0x1.f(x)在x1处取得极小值也是最小值，且f(1)ln 1.5