高考数学理一轮复习分层演练14简单的逻辑联结词全称量词与存在量词含答案Word格式文档下载.docx
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（1）p∧q中一假即假．
（2）p∨q中一真必真．
（3）綈p真，p假；
綈p假，p真．
1．若命题“p或q”与命题“非p”都是真命题，则（ ）
A．命题p不一定是假命题
B．命题q一定是真命题
C．命题q不一定是真命题
D．命题p与命题q同真同假
[答案]B
2．（2016·
高考浙江卷）命题“∀x∈R，∃n∈N*，使得n≥x2”的否定形式是（ ）
A．∀x∈R，∃n∈N*，使得n<
x2
B．∀x∈R，∀n∈N*，使得n<
C．∃x∈R，∃n∈N*，使得n<
D．∃x∈R，∀n∈N*，使得n<
D [解析]根据含有量词的命题的否定的概念可知选D．
3．（2017·
南昌模拟）已知命题p：
“∀x∈R，x＋1≥0”的否定是“∀x∈R，x＋1<
0”；
命题q：
函数y＝x－3是幂函数．则下列命题为真命题的是（ ）
A．p∧q B．p∨q
C．綈qD．p∧（綈q）
B [解析]易知命题p是假命题，命题q是真命题，所以p∨q是真命题．
4.
若p：
2是偶数，q：
3不是素数，则命题p∨q是________命题，p∧q是________命题（填“真”或“假”）．
[答案]真 假
5.
命题“所有可以被5整除的整数，末位数字都是0”的否定为_______________．
[答案]“有些可以被5整除的整数，末位数字不是0”
全称命题、特称命题（高频考点）[学生用书P11]
全称命题与特称命题是高考的常考内容，多和其他数学知识相结合命题，常以选择题、填空题的形式出现．
高考对全称命题、特称命题的考查主要有以下两个命题角度：
（1）判断全称命题、特称命题的真假性；
（2）全称命题、特称命题的否定．
[典例引领]
（1）（2015·
高考浙江卷）命题“∀n∈N*，f（n）∈N*且f（n）≤n”的否定形式是（ ）
A．∀n∈N*，f（n）∉N*且f（n）>
n
B．∀n∈N*，f（n）∉N*或f（n）>
C．∃n0∈N*，f（n0）∉N*且f（n0）>
n0
D．∃n0∈N*，f（n0）∉N*或f（n0）>
（2）已知函数f（x）＝x2＋bx（b∈R），下列结论正确的是（ ）
A．∀b∈R，f（x）在（0，＋∞）上是增函数
B．∀b∈R，f（x）在（0，＋∞）上是减函数
C．∃b∈R，f（x）为奇函数
D．∃b∈R，f（x）为偶函数
【解析】
（1）全称命题的否定为特称命题，“且”的否定为“或”．
（2）注意到b＝0时，f（x）＝x2是偶函数．
【答案】
（1）D
（2）D
（1）全、特称命题的真假判断方法
①要判断一个全称命题是真命题，必须对限定集合M中的每个元素x验证p（x）成立；
但要判断全称命题是假命题，只要能找出集合M中的一个x＝x0，使得p（x0）不成立即可（这就是通常所说的“举出一个反例”）．
②要判断一个特称命题是真命题，只要在限定集合M中，至少能找到一个x＝x0，使p（x0）成立即可，否则，这一特称命题就是假命题．
（2）全称命题与特称命题的否定
一是要改写量词，全称量词改写为存在量词，存在量词改写为全称量词；
二是要否定结论，而一般命题的否定只需直接否定结论即可．
[题点通关]
角度一 判断全称命题、特称命题的真假性
1．（2017·
河南三市第二次联考）若命题“∃x∈R，使得sinxcosx>
m”是真命题，则m的值可以是（ ）
A．－
B．1
C.
D．
A [解析]因为sinxcosx＝
sin2x∈
，
所以m<
.故选A.
角度二 全称命题、特称命题的否定
2．（2017·
陕西西安市第一次质量检测）已知命题p：
∃x∈R，log2（3x＋1）≤0，则（ ）
A．p是假命题；
綈p：
∀x∈R，log2（3x＋1）≤0
B．p是假命题；
∀x∈R，log2（3x＋1）>
C．p是真命题；
D．p是真命题；
B [解析]因为3x>
0，所以3x＋1>
1，则log2（3x＋1）>
0，所以p是假命题；
0.
故应选B．
含有逻辑联结词的命题的真假判断[学生用书P12]
（2017·
洛阳一模）已知命题p：
∃x0∈R，使sinx0＝
；
∀x∈R，都有x2＋x＋1>
0，给出下列结论：
①命题“p∧q”是真命题；
②命题“p∧（綈q）”是假命题；
③命题“（綈p）∨q”是真命题；
④命题“（綈p）∨（綈q）”是假命题．
其中正确的是（ ）
A．②③ B．②④
C．③④D．①②③
【解析】 因为
>
1，所以命题p是假命题．又因为x2＋x＋1＝
＋
≥
0，所以命题q是真命题，由命题真假的真值表可以判断②③正确，故选A.
【答案】 A
若要判断一个含有逻辑联结词的命题即复合命题的真假，其步骤如下：
（1）判断复合命题的结构；
（2）判断构成这个命题的每个简单命题的真假；
（3）依据“或”——一真即真，“且”——一假即假，“非”——真假相反，作出判断即可．
[通关练习]
南昌市第一次模拟测试）已知命题p：
函数f（x）＝|cosx|的最小正周期为2π；
函数y＝x3＋sinx的图象关于原点中心对称，则下列命题是真命题的是（ ）
A．p∧qB．p∨q
C．（綈p）∧（綈q）D．p∨（綈q）
B [解析]因为命题p为假，命题q为真，所以p∨q为真命题．
2．已知命题p：
∀x∈R，2x<
3x，命题q：
∃x∈R，x2＝2－x，若命题（綈p）∧q为真命题，则x的值为（ ）
A．1B．－1
C．2D．－2
D [解析]因为綈p：
∃x∈R，2x≥3x，要使（綈p）∧q为真，
所以綈p与q同时为真．由2x≥3x得
≥1，
所以x≤0，由x2＝2－x得x2＋x－2＝0，
所以x＝1或x＝－2，又x≤0，
所以x＝－2.
由命题的真假确定参数的取值范围[学生用书P12]
山西省名校联考）已知p：
∃x∈R，mx2＋1≤0，q：
∀x∈R，x2＋mx＋1＞0，若p∨q为假命题，则实数m的取值范围为（ ）
A．m≥2 B．m≤－2
C．m≤－2或m≥2D．－2≤m≤2
【解析】 依题意知p，q均为假命题，当p是假命题时，mx2＋1＞0恒成立，则有m≥0；
当q是真命题时，则有Δ＝m2－4＜0，－2＜m＜2.
因此由p，q均为假命题得
即m≥2.
若本例中的条件“p∨q为假命题”变为“p∧（綈q）为真命题”，其他条件不变，求实数m的取值范围．
[解]由p∧（綈q）为真命题，知p为真命题且q为假命题．
p为真命题，则m<
0，q为假命题，所以Δ≥0，则m≥2或m≤－2.所以m≤－2，
即实数m的取值范围为（－∞，－2]．
已知命题p：
“∀x∈[0，1]，a≥ex”；
“∃x0∈R，使得x
＋4x0＋a＝0”．若命题“p∧q”是真命题，求实数a的取值范围．
[解]若命题“p∧q”是真命题，那么命题p，q都是真命题．
由∀x∈[0，1]，a≥ex，得a≥e；
由∃x0∈R，使x
＋4x0＋a＝0，
知Δ＝16－4a≥0，a≤4，因此e≤a≤4.
则实数a的取值范围为[e，4]．
[学生用书P13]
——分类讨论思想求解命题中的参数
已知c>
0，且c≠1，设p：
函数y＝cx在R上单调递减；
q：
函数f（x）＝x2－2cx＋1在
上为增函数，若“p且q”为假，“p或q”为真，求实数c的取值范围．
【解】 因为函数y＝cx在R上单调递减，
所以0<
c<
1，即p：
0<
1.
因为c>
0且c≠1，所以綈p：
c>
又因为f（x）＝x2－2cx＋1在
上为增函数，
所以c≤
，即q：
c≤
.
0且c≠1，所以綈q：
且c≠1.
又因为“p或q”为真，“p且q”为假，
所以p真q假或p假q真．
①当p真，q假时，
{c|0<
1}∩
＝
②当p假，q真时，
{c|c>
＝∅.
综上所述，实数c的取值范围是
（1）解答本题时运用了分类讨论思想，由条件可知p、q一真一假，因此需分p真q假与p假q真两类讨论．
（2）本题是因数学运算引起的分类讨论：
如除法运算中除数不为零，偶次方根为非负，对数真数与底数的要求，指数运算中底数的要求，不等式两边同乘一个正数、负数，三角函数的定义域等．
广州海珠区摸底考试）命题p：
∀x∈R，ax2＋ax＋1≥0，若綈p是真命题，则实数a的取值范围是（ ）
A．（0，4]
B．[0，4]
C．（－∞，0]∪[4，＋∞）
D．（－∞，0）∪（4，＋∞）
D [解析]因为命题p：
∀x∈R，ax2＋ax＋1≥0，所以命题綈p：
∃x0∈R，ax
＋ax0＋1<
0，则a<
0或
解得a<
0或a>
4.
[学生用书P325（独立成册）]
福建福州质检）已知命题p：
“∃x∈R，ex－x－1≤0”，则綈p为（ ）
A．∃x∈R，ex－x－1≥0
B．∃x∈R，ex－x－1>
C．∀x∈R，ex－x－1>
D．∀x∈R，ex－x－1≥0
C [解析]根据特称命题的否定是全称命题，可得綈p为“∀x∈R，ex－x－1>
0”，故选C.
青岛模拟）命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是（ ）
A．任意一个有理数，它的平方是有理数
B．任意一个无理数，它的平方不是有理数
C．存在一个有理数，它的平方是有理数
D．存在一个无理数，它的平方不是有理数
B [解析]根据特称命题的否定是全称命题可知，原命题的否定为“任意一个无理数，它的平方不是有理数”．
广东韶关调研）已知命题p：
对任意x∈R，总有2x>
0；
“x>
1”是“x>
2”的充分不必要条件．则下列命题为真命题的是（ ）
A．p∧q B．（綈p）∧（綈q）
C．（綈p）∧qD．p∧（綈q）
D [解析]命题p是真命题，命题q是假命题，所以p∧q是假命题，（綈p）∧（綈q）是假命题，（綈p）∧q是假命题，p∧（綈q）是真命题，故选D．
4．已知命题p：
∃x∈R，x2＋1<
2x；
若mx2－mx＋1>
0恒成立，则0<
m<
4，那么（ ）
A．“綈p”是假命题B．q是真命题
C．“p∨q”为假命题D．“p∧q”为真命题
C [解析]因为x2＋1<
2x，即x2－2x＋1<
0，也即（x－1）2<
0，所以命题p为假；
0恒成立，则m＝0或
则0≤m<
4，所以命题q为假，故选C.
5．已知函数f（x）＝x2＋bx＋c，则“c＜0”是“∃x0∈R，f（x0）＜0”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
A [解析]若c＜0，则Δ＝b2－4c＞0，
所以“∃x0∈R，f（x0）＜0”成立．若∃x0∈R，f（x0）＜0，则有Δ＝b2－4c＞0，当c＝1，b＝3时，满足Δ＝b2－4c＞0，所以“c＜0”是“∃x0∈R，f（x0）＜0”的充分不必要条件，故选A.
6．若命题“存在实数x0，使x
＋ax0＋1＜0”的否定是真命题，则实数a的取值范围为（ ）
A．（－∞，－2]B．[－2，2]
C．（－2，2）D．[2，＋∞）
B [解析]因为该命题的否定为：
“∀x∈R，x2＋ax＋1≥0”是真命题，则Δ＝a2－4×
1×
1≤0，
解得－2≤a≤2.故实数a的取值范围是[－2，2]．
7．（2017·
河北衡水四调）下列命题中正确的是（ ）
A．若p∨q为真命题，则p∧q为真命题
B．“a>
0，b>
0”是“
≥2”的充分必要条件
C．命题“若x2－3x＋2＝0，则x＝1或x＝2”的逆否命题为“若x≠1或x≠2，则x2－3x＋2≠0”
D．命题p：
∃x0∈R，使得x
＋x0－1<
0，则綈p：
∀x∈R，使得x2＋x－1≥0
D [解析]若p∨q为真命题，则p，q中至少一个为真命题，所以p∧q不一定为真命题；
“a>
0”时“
≥2
＝2”，充分性成立，而
≥2⇒
－2≥0⇒
≥0⇒ab>
0，即“a>
0”不一定成立，即必要性不成立；
命题“若x2－3x＋2＝0，则x＝1或x＝2”的逆否命题为“若x≠1且x≠2，则x2－3x＋2≠0”；
命题“p：
0”的否定綈p：
∀x∈R，使得x2＋x－1≥0.故选D．
8．（2017·
山东省实验中学第一次诊断）下列有关命题的叙述错误的是（ ）
A．若綈p是q的充分条件，则p是綈q的必要条件
B．若p且q为假命题，则p，q均为假命题
C．命题“∀x∈R，x2－x>
0”的否定是“∃x∈R，x2－x≤0”
D．“x>
2”是“
<
”的充分不必要条件
B [解析]易知，A正确；
p且q为假，p，q至少有一个为假，B错误；
“∀”的否定是“∃”，“>
”的否定是“≤”，C正确；
2”一定能推出“
”，但当x＝－1时，满足
，但不满足x>
2，所以“x>
”的充分不必要条件，D正确．综上可知，选B．
9．命题“∃x0∈R，sinx0＋cosx0－2≤0”的否定是________．
[解析]“存在”的否定是“任意”，特指的数“x0”对应改为“x”，“≤”的否定是“＞”．
[答案]∀x∈R，sinx＋cosx－2＞0
10．（2015·
高考山东卷）若“∀x∈
，tanx≤m”是真命题，则实数m的最小值为________．
[解析]由题意，原命题等价于tanx≤m在区间
上恒成立，即y＝tanx在
上的最大值小于或等于m，又y＝tanx在
上的最大值为1，所以m≥1，即m的最小值为1.
[答案]1
11．（2017·
济南模拟）已知命题p：
x2＋4x＋3≥0，q：
x∈Z，且“p且q”与“非q”同时为假命题，则x＝________．
[解析]若p为真，则x≥－1或x≤－3.
因为“非q”为假，则q为真，即x∈Z，
又因为“p且q”为假，所以p为假，故－3<
x<
－1，
由题意，得x＝－2.
[答案]－2
12．已知下列命题．
①∃x0∈
，sinx0＋cosx0≥
②∀x∈（3，＋∞），x2>
2x＋1；
③∃x0∈R，x2－x＝－1；
④∀x∈
，tanx>
sinx.
其中真命题为________．（填序号）
[解析]对于①，当x＝
时，sinx0＋cosx0＝
所以此命题为真命题；
对于②，当x∈（3，＋∞）时，
x2－2x－1＝（x－1）2－2>
0，所以此命题为真命题；
对于③，∀x∈R，x2－x＋1
0，所以此命题为假命题；
对于④，当x∈
时，tanx<
sinx，所以此命题为假命题．
[答案]①②
13．已知a>
0，设命题p：
函数y＝ax在R上单调递减，q：
函数y＝
且y>
1恒成立，若p∧q为假，p∨q为真，求a的取值范围．
[解]若p是真命题，则0<
a<
1，
若q是真命题，则y>
1恒成立，
即y的最小值大于1，
而y的最小值为2a，只需2a>
所以a>
所以q为真命题时，a>
又因为p∨q为真，p∧q为假，
所以p与q一真一假，
若p真q假，
则0<
a≤
若p假q真，
则a≥1，
故a的取值范围为
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