MATLAB课件 第八章 线性代数基础Word文件下载.docx
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102030];
size（a）
43
length（a）ans=
注意size（a）与length（a）两者之间的区别。
1.4矩阵的迹
矩阵的迹定义为该矩阵对角线上的各元素之和，也等于该矩阵的特征值之和。
Matlab调用格式为：
trace（）;
【例5】求矩阵A=[1230;
2203;
3211]的迹
A=[1230;
3211];
trace（A）
32
1.5转置运算
在MATLAB中，矩阵转置运算的表达式和线性代数一样，即对于矩阵Ａ，其转置矩阵的MATLAB表达式为A’或transpose（A）。
但应该注意，在MATLAB中，有几种类似于转置运算的矩阵元素变换运算是线性代数中没有的，他们是：
fliplr（A）将A左右翻转；
flipud（A）将A上下翻转；
rot90（A）将A逆时针方向旋转90。
【例6】求矩阵A=[1230;
3211]的转置矩阵
3211],B=A'
A=
1230
2203
3211
B=
123
2202
30311
transpose（A）
rot90（A）
30311
1.6逆矩阵运算
矩阵的逆运算是矩阵运算中很重要的一种运算。
它在线性代数及计算方法中都有很多的论述，而在MATLAB中，众多的复杂理论只变成了一个简单的命令inv（）。
【例7】求矩阵A=[12;
34]的逆矩阵。
A=[12;
34],invA=inv（A）,A*invA
12
34
invA=
-2.00001.0000
1.5000-0.5000
1.00000
0.00001.0000
从ans变量的结果可以看出，A的逆矩阵没有求错。
在线性代数教材中，通常采用初等行变换的方式来求解矩阵的逆。
这样的方法可以用以下方法可以实现：
34],n=size（A）;
A1=[A,eye（n）];
A2=rref（A1）;
invA=A2（:
1+n
（1）:
end）
【例8】求矩阵A=[ab;
cd]的逆矩阵。
cd];
invA=inv（A）
invA=
[d/（a*d-b*c）,-b/（a*d-b*c）]
[-c/（a*d-b*c）,a/（a*d-b*c）]
1.7广义逆矩阵
由线代知识知道，如果矩阵奇异，则逆矩阵不存在，另外，长方形的矩阵有时也会涉及到求逆的问题，这样就需要定义一种新的“逆矩阵”。
对于矩阵A,如果存在一个矩阵N，满足ANA=A,则N矩阵称为A的广义逆矩阵，记作
，如果A是一个n×
m的长方形矩阵，则N为m×
n阶的矩阵。
满足这样的广义逆矩阵有无穷多个。
可以证明，对于一个给定的矩阵A，存在一个唯一的矩阵M使得下面的3个条件同时成立：
1）AMA=A2）MAM=M3）AM与MA均为对称矩阵
这样的矩阵Ｍ称为矩阵Ａ的Ｍoore-Penrose广义逆矩阵，记作
。
MATLAB提供了求取矩阵Ｍoore-Penrose广义逆矩阵的函数pinv（）,其格式为：
M=pinv（A）%按默认精度求取Ｍoore-Penrose广义逆矩阵
M=pinv（A，e）%按指定精度e求取Ｍoore-Penrose广义逆矩阵
其中，e为判0用误差限，如果省略此参数，则判0用误差限选用机器的精度eps.如果A是非奇异方阵，则该函数得出的结果就是矩阵的逆矩阵，但这样求解的速度将明显慢于函数inv（）.
【例9】求奇异矩阵A=[12;
36]的广义逆矩阵
pinv（A）;
M=pinv（A）,A*M*A,M*A*M,A*M,M*A
M=
0.02000.0600
0.04000.1200
1.00002.0000
3.00006.0000
0.10000.3000
0.30000.9000
0.20000.4000
0.40000.8000
从结果可以看出，所求的广义逆矩阵满足以上的三个条件。
【例10】求矩阵A=[12;
34]的广义逆矩阵。
34];
invA=pinv（A）
1.8伴随矩阵
Matlab中没有直接求矩阵的伴随矩阵的函数，引入伴随矩阵的概念，实际上是为了求逆阵，一般数学软件都有求逆阵的函数。
如果A可逆，则A*=|A|A^（-1），伴随矩阵是容易求得的；
【例11】求矩阵A=[101;
212;
046]的伴随矩阵。
A=[101;
046],bsjz=det（A）*inv（A）
101
212
046
bsjz=
-24-1
-1260
8-41
下面是自编的函数bansui（）,可以直接求得伴随矩阵，但注意一定要将该函数保存在搜索路径之下。
functionB=bansui（A）
ce=poly（eig（A））;
cesize=max（size（ce））;
p=[0ce（1:
（cesize-1））];
s=（-1）^（max（size（A））+1）;
B=s*polyvalm（p,A）;
【例12】求矩阵A=[101;
046]的伴随矩阵
046];
bsjz=bansui（A）
-2.00004.0000-1.0000
-12.00006.00000
8.0000-4.00001.0000
det（A）
6
A*bsjz
6.000000.0000
0.00006.00000.0000
00.00006.0000
从上面结果可以看出，A*bsjz=det（A）*E
【例13】求奇异矩阵A=[12;
36]的伴随矩阵
36];
6-2
-31
2.线性方程组求解
我们将线性方程的求解分为两类：
一类是方程组求唯一解或求特解，另一类是方程组求无穷解即通解。
可以通过系数矩阵的秩来判断：
若系数矩阵的秩和增广矩阵的秩相等且等于n（n为方程组中未知变量的个数），则有唯一解；
若系数矩阵的秩和增广矩阵的秩相等且r<
n，则有无穷解；
线性方程组的无穷解=对应齐次方程组的通解+非齐次方程组的一个特解；
其特解的求法属于解的第一类问题，通解部分属第二类问题。
2.1求线性方程组的唯一解或特解（第一类问题）
利用矩阵除法求线性方程组的特解（或一个解）
方程：
AX=b
解法1：
X=A\b
【例14】求方程组的解
解：
A=[56000
15600
01560
00156
00015];
B=[10001]'
;
R_A=rank（A）%求秩
X=A\B%求解或X=inv（A）*B
运行后结果如下
R_A=
5
X=
2.2662
-1.7218
1.0571
-0.5940
0.3188
这就是方程组的解。
解法2.用函数rref求解：
C=[A,B]%由系数矩阵和常数列构成增广矩阵C
R=rref（C）%将C化成行最简行
R=
1.000000002.2662
01.0000000-1.7218
001.0000001.0571
0001.00000-0.5940
00001.00000.3188
则R的最后一列元素就是所求之解。
【例15】求方程组
的一个特解。
A=[11-3-1;
3-1-34;
15-9-8];
B=[140]'
X=A\B%由于系数矩阵不满秩，该解法可能存在误差。
X=[00-0.53330.6000]’（一个特解近似值）。
此时，不能采用如下命令：
x=inv（A）*B，因为inv要求矩阵为方阵。
而用命令：
x=pinv（A）*B
x=[0.3504-0.0916-0.38810.4232],可用A*x验算
注：
如果矩阵A不是一个方阵，或者A是一个非满秩的方阵时，A没有逆矩阵，但可以找到一个与A的转置同型的矩阵B，使得A*B*A=A,B*A*B=B,此时称B为A的伪逆，也称广义逆矩阵。
使用：
pinv（A）
若用rref求解，则比较精确：
A=[11-3-1;
C=[A,B];
%构成增广矩阵
R=rref（C）
1.00000-1.50000.75001.2500
01.0000-1.5000-1.7500-0.2500
00000
由此得解向量X=[1.2500–0.250000]’（一个特解）。
2.2求线性齐次方程组的通解
在Matlab中，函数null[nʌl]用来求解零空间，即满足A·
X=0的解空间，实际上是求出解空间的一组基（基础解系）。
对齐次线性方程组Ax=0;
格式z=null（A）%z的列向量为方程组的正交规范基，满足
z=null（A,’r’）%z的列向量是方程AX=0的有理基
如果A为数值矩阵，调用null（A,’r’）;
或调用null（A）
如果A为符号矩阵，只能调用null（A）
【例16】求解方程组的通解：
A=[111-1;
1-11-3;
1311];
formatrat%指定有理式格式输出
B=null（A,'
r'
）%求解空间的有理基
运行后显示结果如下：
-12
0-1
10
01
即方程组的通解为：
若调用：
c=null（A）,则应：
formatshort
c=null（A）
得：
c=
-0.50000.7071
-0.1667-0.4714
0.83330.2357
0.16670.4714
或通过行最简型得到基：
B=rref（A）
101-2
0101
0000
2.3求非齐次线性方程组的通解
非齐次线性方程组需要先判断方程组是否有解，若有解，再去求通解。
因此，步骤为：
第一步：
判断AX=b是否有解，若有解则进行第二步
第二步：
求AX=b的一个特解
第三步：
求AX=0的通解
第四步：
AX=b的通解=AX=0的通解+AX=b的一个特解。
【例17】求方程组的解
A=[101-1;
0113;
0211;
14-76];
B=[1-2-80]'
回车可得：
3.0000
-4.0000
-1.0000
1.0000
或采用简化行阶梯形方法：
R=rref（C）
10003
0100-4
0010-1
00011
【例18】求解方程组的通解：
解法一：
在Matlab编辑器中建立M文件如下：
b=[140]'
B=[Ab];
n=4;
R_A=rank（A）
R_B=rank（B）
formatrat
ifR_A==R_B&
R_A==n
X=A\b
elseifR_A==R_B&
R_A<
n
C=null（A,'
）
else
X='
Equationhasnosolves'
end
运行后结果显示为：
2
R_B=
Warning:
Rankdeficient,rank=2tol=8.8373e-015.
InD:
\Matlab\pujun\lx0723.matline11
0
-8/15
3/5
C=
3/2-3/4
3/27/4
01
所以原方程组的通解为X=k1
+k2
+
解法二：
用rref求解
C=rref（B）%求增广矩阵的行最简形，可得最简同解方程组。
10-3/23/45/4
01-3/2-7/4-1/4
00000
对应齐次方程组的基础解系为：
，
非齐次方程组的特解为：
所以，原方程组的通解为：
X=k1
【例19】：
编写程序求解AX=b,要求由人机交互模式输入矩阵A,b,并根据判定定理给出各种情况的求解答案。
编写程序如下：
A=input（'
PleaseinputmatrixA:
'
）;
b=input（'
Pleaseinputmatrixb:
B=[A,b];
n=size（A）;
R_A=rank（A）;
R_B=rank（B）;
R_A==n
（2）
n
（2）
X=pinv（A）*b
）
else
equitionnosolve'
编写完后，保存为mm.m文件，然后在窗口输入mm,回车后按提示输入系数矩阵和常数列，即可自动判定方程组解的情况并求出方程组的解。
mm
[12;
34]
[1;
2]
X=%方程组有唯一解的情况
1/2
24]
X=%方程组有无穷多解的情况
1/5
2/5
-2
1
3]
X=%方程组无解的情况
equitionnosolve
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