最新中考数学专题训练代数与几何综合题分类.docx

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最新中考数学专题训练代数与几何综合题分类

最新中考数学专题训练----代数与几何综合题分类

类型一　动点型探究题

1.如图①，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8cm，BC＝6cm，点P由B出发沿BA方向向点A匀速运动，同时点Q由A出发沿AC方向向点C匀速运动，它们的速度均为2cm/s.以AQ、PQ为边作四边形AQPD，连接DQ，交AB于点E.设运动的时间为t（单位：

s）（0＜t≤4），解答下列问题：

（1）用含有t的代数式表示AE＝____；

（2）如图②，当t为何值时，四边形AQPD为菱形；

（3）求运动过程中，四边形AQPD的面积的最大值．

第1题图

解：

（1）5－t；

【解法提示】∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8cm，BC＝6cm，∴由勾股定理得：

AB＝10cm，∵点P由B出发沿BA方向向点A匀速运动，速度为2cm/s，∴BP＝2tcm，∴AP＝AB－BP＝10－2t，∵四边形AQPD为平行四边形，∴AE＝AP＝5－t.

（2）如解图①，当四边形AQPD是菱形时，DQ⊥AP，则cos∠BAC＝＝，

即＝，解得t＝，

∴当t＝时，四边形AQPD是菱形；

（3）如解图②，作PM⊥AC于M，设平行四边形AQPD的面积为S.

∵PM∥BC，

∴△APM∽△ABC，

∴＝，即＝，

∴PM＝（5－t），

∴S＝AQ·PM＝2t·（5－t）＝－t2＋12t=（0＜t≤4），

∵－＜0，∴当t＝时，S有最大值，最大值为15cm2.

第1题解图

2.已知，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝AC，AB＝6，D是AB的中点，动点E从点D出发，在AB边上向左或右运动，以CE为边向左侧作正方形CEFG，直线BG，FE相交于点N（点E向左运动时如图①，点E向右运动时如图②）．

（1）在点E的运动过程中，直线BG与CD的位置关系为________；

（2）设DE＝x，NB＝y，求y与x之间的函数关系式，并求出y的最大值；

（3）如图②，当DE的长度为时，求∠BFE的度数．

第2题图

解：

（1）BG∥CD；

【解法提示】∵四边形EFGC是正方形，∴CG＝CE，∠GCE＝∠GFE＝∠FEC＝90°，∵∠ACB＝∠GCE＝90°，∴∠GCB＝∠ECA，∵GC＝CE，CB＝CA，∴△CAE≌△CBG.又∵∠ACB＝90°，BC＝AC，D是AB的中点，∴∠CBG＝∠CAE＝45°，∠BCD＝45°，∴∠CBG＝∠BCD，∴BG∥CD.

（2）∵CB＝CA，CD⊥AB，∠ACB＝90°，

∴CD＝BD＝AD＝3，∠CBA＝∠A＝45°，

易得△CAE≌△CBG，

∴∠CBG＝∠A＝45°，

∴∠GBA＝∠GBC＋∠CBA＝90°.

∵∠BEN＋∠BNE＝90°，∠BEN＋∠CED＝90°，

∴∠BNE＝∠CED，

∵∠EBN＝∠CDE＝90°，

∴△NBE∽△EDC，

∴＝，

∴＝，

∴y＝－（x－）2＋，

∵－＜0，∴x＝时，y的最大值为；

（3）如解图，作FH⊥AB于点H.∵CB＝CA，BD＝CD，∠BCA＝90°，

∴CD⊥AB，CD＝BD＝AD＝3，

∴tan∠DCE＝＝，

∴∠DCE＝30°，

∵四边形EFGC是正方形，

∴EF＝EC，

∵∠CDE＝∠EHF＝90°，易证∠DCE＝∠HEF，

∴△CDE≌△EHF，

∴∠DCE＝∠HEF＝30°，FH＝DE，CD＝EH，

∵CD＝BD，

∴BD＝EH，

∴BH＝DE＝FH，

∴△BHF是等腰直角三角形，

∴∠BFH＝45°，∵∠EFH＝90°－∠HEF=60°，

∴∠BFE＝∠BFH+∠EFH＝105°.

第2题解图

3.如图，在直角梯形ABCD中，∠A＝∠D＝90°，AB＝8cm，CD＝10cm，AD＝6cm，点E从点A出发，沿A→D→C方向运动，运动速度为2cm/s，点F同时从点A出发，沿A→B方向运动，运动速度为1cm/s.设运动时间为t（s），△CEF的面积为S（cm2）．

（1）当0≤t≤3时，t＝________，EF＝.

（2）当0≤t≤3时（如图①），求S与t的函数关系式，并化为S＝a（t－h）2＋k的形式，指出当t为何值时，S有最大值，最大值为多少？

（3）当3≤t≤8时（如图②），求S与t的函数关系式，并求出当t为何值时，S有最大值，最大值为多少？

第3题图

解：

（1）；　【解法提示】根据题意知，AF＝t，AE＝2t，∵∠A＝90°，∴AF2＋AE2＝EF2，即t2＋（2t）2＝（）2，解得：

t＝（负值舍去）．

（2）当0≤t≤3时，如解图①，过点C作CP⊥AB，交AB延长线于点P，

第3题解图①

∵∠A＝∠D＝90°，

∴四边形APCD是矩形，

则CP＝AD＝6cm，

∵AB＝8cm，AD＝6cm，

∴BF＝（8－t）cm，DE＝（6－2t）cm，

则S＝S梯形ABCD－S△AEF－S△CBF－S△CDE

＝×（8＋10）×6－×t×2t－×（8－t）×6－×（6－2t）×10

＝－t2＋13t

＝－（t－）2＋，

即S＝－（t－）2＋，

∵当t＜时，S随t的增大而增大，

∴当t＝3时，S取得最大值，最大值为30；

（3）当3≤t≤8时，如解图②，过点F作FQ⊥CD于点Q，

第3题解图②

由∠A＝∠D＝90°，知四边形ADQF是矩形，

∴FQ＝AD＝6cm，

∵AD＋DE＝2t，AD＝6cm，CD＝10cm，

∴CE＝（16－2t）cm，

则此时S＝×（16－2t）×6＝48－6t，

∵－6＜0，

∴S随t的增大而减小，

∴当t＝3时，S取得最大值，最大值为30cm2．

4.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，CD⊥AB于点D.点P从点D出发，沿线段DC向点C运动，点Q从点C出发，沿线段CA向点A运动，两点同时出发，速度都为每秒1个单位长度，当点P运动到C时，两点都停止．设运动时间为t秒．

（1）①求线段CD的长；

②求证：

△CBD∽△ABC；

（2）设△CPQ的面积为S，求S与t之间的函数关系式，并求出S的最大值；

（3）是否存在某一时刻t，使得△CPQ为等腰三角形？

若存在，请直接写出满足条件的t的值；若不存在，请说明理由．

（1）①解：

∵∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，

∴AB＝10，

∵CD⊥AB，

∴S△ABC＝BC·AC＝AB·CD，

∴CD＝＝＝，

∴线段CD的长为；

②证明：

∵∠B＝∠B，∠CDB＝∠BCA＝90°，

∴△CBD∽△ABC；

（2）解：

如解图②，过点P作PH⊥AC，垂足为H，

由题可知DP＝t，CQ＝t，

则CP＝－t，

∵∠ACB＝∠CDB＝90°，

∴∠HCP＝90°－∠DCB＝∠B，

∵PH⊥AC，

∴∠CHP＝90°，

∴∠CHP＝∠ACB，

∴△CHP∽△BCA，

∴＝，

∴＝，

∴PH＝－t，

∴S＝CQ·PH＝t（－t）＝

－（t－）2＋，

∵＜0，

∴当t＝时，S最大＝；

（3）存在，t＝或或.

【解法提示】①若CQ＝CP，如解图①，则t＝－t.解得：

t＝；②若PQ＝PC，如解图②所示．∵PQ＝PC，PH⊥QC，∴QH＝CH＝QC＝.∵△CHP∽△BCA.∴＝.∴＝，解得t＝；③若QC＝QP，如解图③，过点Q作QE⊥CP，垂足为E，同理可得：

t＝.综上所述：

当t为秒或秒或秒时，△CPQ为等腰三角形．

第4题解图

5.如图，在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝8cm.如果点E由点B出发沿BC方向向点C匀速运动，同时点F由点D出发沿DA方向向点A匀速运动，它们的速度分别为2cm/s和1cm/s.FQ⊥BC，分别交AC、BC于点P和Q，设运动时间为t（s）（0＜t＜4）．

（1）连接EF、DQ，若四边形EQDF为平行四边形，求t的值；

（2）连接EP，设△EPC的面积为ycm2，求y与t的函数关系式，并求y的最大值；

（3）若△EPQ与△ADC相似，请直接写出t的值．

解：

（1）在矩形ABCD中，∵AB＝6cm，BC＝8cm，

∴CD＝AB＝6cm，AD＝BC＝8cm，∠BAD＝∠ADC＝∠DCB＝∠B＝90°，

在Rt△ABC中，由勾股定理得：

AC＝10，

∵FQ⊥BC，

∴∠FQC＝90°，

∴四边形CDFQ是矩形，

∴DF＝QC，FQ＝DC＝6cm，

由题意知，BE＝2t，QC＝DF＝t，

∴EQ＝BC－BE－QC＝8－3t，

∵四边形EQDF为平行四边形，

∴FD＝EQ，

即t＝8－3t，

解得t＝2；

（2）∵∠FQC＝90°，∠B＝90°，

∴∠FQC＝∠B，

∴PQ∥AB，

∴△CPQ∽△CAB，

∴＝，

即＝，

∴PQ＝t，

∵S△EPC＝EC·PQ，

∴y＝·（8－2t）·t＝－t2＋3t＝－（t－2）2＋3，

即y＝－（t－2）2＋3，

∵a＝－＜0，

∴当t＝2时，y有最大值，y的最大值为3；

（3）t的值为2或或.

【解法提示】分两种情况讨论：

若E在FQ左边，①当△EPQ∽△ACD时，可得：

＝，即＝，解得t＝2；②当△EPQ∽△CAD时，可得：

＝，即＝，解得t＝.若E在FQ右边，③当△EPQ∽△ACD时，可得：

＝，即＝，解得t＝4（舍去）；④当△EPQ∽△CAD时，可得：

＝，即＝，解得t＝.综上所述，若△EPQ与△ADC相似，则t的值为：

2或或.

类型二　动线型探究题

6.如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，AC＝2cm.长为1cm的线段MN在△ABC的边AB上沿AB方向以1cm/s的速度向点B运动（运动前点M与点A重合）．过M，N分别作AB的垂线交直角边于P，Q两点，线段MN运动的时间为ts.

（1）若△AMP的面积为y，写出y与t的函数关系式（写出自变量t的取值范围），并求出y的最大值；

（2）在线段MN运动过程中，四边形MNQP有可能成为矩形吗？

若有可能，求出此时t的值；若不可能，说明理由；

（3）t为何值时，以C，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似？

第6题图

解：

（1）当点P在AC上时，

∵AM＝t，∴PM＝AM·tan60°＝t，

∴y＝t·t＝t2（0

当t＝1时，y最大＝；

当点P在BC上时，PM＝BM·

tan30°＝（4－t），

∴y＝t·（4－t）＝－t2＋t＝－（t－2）2＋（1＜t<3），

当t＝2s时，y最大＝，

综上所述，

y＝，

∴当t＝2s时，y最大＝；

（2）∵AC＝2，∴AB＝4，∴BN＝AB－AM－MN＝4－t－1＝3－t.

∴QN＝BN·tan30°＝（3－t），

由题知，若要四边形MNQP为矩形，需PM＝QN，且P，Q分别在AC，BC上，

即t＝（3－t），∴t＝，

∴当t＝s时，四边形MNQP为矩形．

（3）由

（2）知，当t＝s时，

四边形MNQP为矩形，此时PQ∥AB，

∴△PQC∽△ABC，

除此之外，当∠CPQ＝∠B＝30°时，

△QPC∽△ABC，此时＝tan30°＝，

∵＝cos60°＝，∴AP＝2AM＝2t，

∴CP＝2－2t，

∵＝cos30°＝，∴BQ＝＝（3－t），

又BC＝2，∴CQ＝2－（3－t）＝，

∴＝，解得t＝，

∴当t＝s或s时，以C，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似．

7.如图，在△ABC中，AB＝AC＝

5cm，BC＝6cm，AD是BC边上的高．点P由C出发沿CA方向匀速运动．速度为1cm/s.同时，直线EF由BC出发沿DA方向匀速运动，速度为1cm/s，EF//BC，并且EF分别交AB、AD、AC于点E，Q，F，连接PQ.若设运动时间为t（s）（0＜